Файл: 1 Учебные материалы по дисциплине Элементы высшей математики.pdf

103 Рис. 18 Решив полученную систему двух уравнений, найдем a = 5, b = 3, те. уравнение гиперболы
Расстояние между вершинами гиперболы 2a
= 10, между фокусами где Задание 14. Дан эллипс
Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса. Решение Полуоси эллипса э = 3,
По условию для гиперболы а г = сэ = 2, сг = аэ = 3. Следовательно, по формуле, и уравнение искомой гиперболы рис. 19).

104 Рис. 19
Цит. по Высшая математика для экономистов Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш.
Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — е изд, перераб. и доп. — М
ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия Золотой фонд российских учебников) — С. 114–115. Тема 8. Парабола Определение 41. Геометрическое место точек, равноудаленных отданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой.

105
— каноническое уравнение параболы с вершиной вначале координат, симметричной относительно оси OX. Исследуем форму параболы.
1. Найдем точки пересечения с осями.
OX, OY: y = 0, х = 0, О 0). Определение 42. Точка О называется вершиной параболы.
2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно оси OX.
3. x
∈
[0; +
). Следовательно, кривая расположена правее оси OY. Построим данную кривую (рис. 20). Рис. 20 Если парабола симметрична относительно OY и имеет вершину вначале координат, то ее каноническое уравнение имеет вид x2 = 2 py рис.
21).

106 Рис. 21
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие / СИ. Макаров. — е изд, стер. — М КНОРУС, 2008. — С. 180–181. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Парабола Уравнение Фокус Директриса Уравнение Фокус Директриса

107 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Парабола Уравнение Фокус Директриса Уравнение Фокус Директриса
Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. 25. Задание 15. Парабола с вершиной вначале координат проходит через точку A (2; 4) и симметрична относительно оси Ox. Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы. Решение Так как парабола проходит через точку O (0; 0) и симметрична относительно оси Ox, то ее уравнение y2 = 2 px. Подставляя координаты точки А в это уравнение, те. 42 = 2p · 2, найдем параметр p = 4. Следовательно, уравнение параболы y2 = 8 x. Уравнение ее директрисы x = –
2, фокус параболы F (2; 0) (рис. 22).

108 Рис. 22 Задание 16. Через точку А (3; –1) провести такую хорду параболы которая делилась бы в данной точке пополам. Решение Для построения параболы представим ее в виде те. вершина параболы (2; –3). Уравнение прямой (хорды, проходящей через точку А (3; –1) в соответствии с имеет вид y + 1 = k (x – 3). Точки пересечения хорды с параболой определяются системой

109 решение которой, после исключения y, сводится к уравнению
или x2– 4(k + 1) x + 4(3 k – 1) = 0. (*) По условию точка А (3; –1) делит хорду пополам, следовательно, где x1 и x2 — корни уравнения (*). По теореме Виета x1 + x2 = 4(k + 1), следовательно, или xA = 2(k + 1) = 3, откуда и уравнение хорды или x – 2
y – 5 = 0 (рис. 23). Рис. 23

110
Цит. по Высшая математика для экономистов Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш.
Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — е изд, перераб. и доп. — М
ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия Золотой фонд российских учебников) — С. 112, 115–116.