ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 6571
Скачиваний: 50
671
2. Дайте классическое определение вероятности случайного события.
3. В чем заключаются теоремы сложения и умножения вероятностей?
4. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа для вероятности появления
заданного числа случайных событий.
5. Сформулируйте теорему Бернулли для оценки частоты появления случайных событий
при независимых повторных испытаниях.
6. Что такое случайная величина дискретная? непрерывная?
7. Дайте определение функции распределения непрерывной случайной величины и плотно-
сти распределения.
8. Что такое математическое ожидание и дисперсия случайной величины (при дискретном и
при непрерывном распределениях)?
9. Какое распределение называется нормальным? В чем особая значимость нормального
распределения в теории вероятностей?
10. Что такое независимая повторная выборка? Как находятся выборочные средние? выбо-
рочные дисперсии? В каких связях они с математическим ожиданием и дисперсией случайной ве-
личины?
11. Как построить гистограмму выборочного распределения
случайной величины? Как по
ней судить о функции распределения?
12. Какими свойствами должна обладать точечная оценка параметров функции распределе-
ния?
13. Как оценить отклонение выборочного среднего от математического ожидания при ма-
лом числе испытаний? при большом числе испытаний? Что такое доверительный интервал?
14. Сформулируйте один из критериев согласия эмпирической и теоретической функций
распределения.
15. Что такое «случайное
число»? Сформулируйте метод компьютерной генерации после-
довательности равномерно распределенных псевдослучайных чисел.
16. Сформулируйте один из методов генерации последовательности псевдослучайных чи-
сел с заданным законом распределения.
17. Как формулируются задачи теории массового обслуживания?
18. Какие случайные процессы являются исходными (входными) для обсуждаемой в тексте
задачи? Каковы их характеристики?
19. Какие случайные процессы являются объектом
исследования (выходными
процессами)
для обсуждаемой в тексте задачи?
20. Как промоделировать пуассоновский процесс - входной поток клиентов в очередь?
21. Что такое «марковские» случайные процессы и являются ли исследуемые в данном па-
раграфе процессы «марковскими»?
22. С чем связано в первой из приведенных выше программ ограничение на объем выбор-
ки? Можно ли его преодолеть и какими способами?
23. Может ли данная программа сделаться несостоятельной при очень большом объеме вы-
борки? Как преодолеть проблему, связанную с периодичностью датчика псевдослучайных чисел?
24. Изучите распределения длительности ожидания в очереди и длительности простоя
«продавца» и соответственно средние времена ожидания в системе с одним «прилавком» при раз-
личных комбинациях распределений промежутков времен между приходами «покупателей» и
времен обслуживания, используя следующие распределения: а) равновероятное; б) пуассоновское;
в) нормальное.
25. Выполняя задание 24, возьмите одну из рекомендованных комбинаций параметров и так
варьируйте параметр, задающий одно из распределений, чтобы выяснить его критическое значе-
ние, переход через которое приводит к неограниченному росту очереди.
26. На междугородной телефонной станции несколько телефонисток обслуживают общую
очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась.
Смоделируйте эту ситуацию, обдумайте возникающие проблемы.
27. Пусть на телефонной
станции используется обычная система отказа: если абонент занят
(и не подключена система «ждите ответа»), очередь не формируется, и необходимо набрать номер
вновь. Допустим, что несколько абонентов пытаются связаться с одним и тем же адресатом и в
случае успеха разговаривают с ним некоторое (случайное, но не более 3 минут) времяю Смодели-
672
руйте ситуацию. Какова вероятность того, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет сделать
это
за
определенное время Т?
28. Одна ткачиха обслуживает несколько ткацких станков, осуществляя по мере неполадок
краткосрочное вмешательство, длительность которого - случайная величина. Какова вероятность
простоя сразу нескольких станков? Как велико среднее время простоя одного станка? Если задей-
ствованы две работницы, что выгоднее: поручить каждой по отдельной группе станков или обеим
сдвоенную группу?
29. Разработайте модель перемешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде и осущест-
вите моделирование с целью изучения закономерностей процесса (зависимости ширины зоны
диффузии от числа частиц в газах, их скорости, длины свободного пробега).
30. Разработайте модель поведения газа в плоском канале с поршнем. Рассмотрите случаи
вдвижения и выдвижения поршня в замкнутом канале. Изучите поведение ударной волны в зави-
симости от параметров газа (числа частиц, их скорости, длины свободного пробега)
31 Разработайте модель истечения газа из трубы.
32. Создайте модель «пчелиного роя».
33. Придумайте модель случайного блуждания точки в заданном лабиринте.
34. Предложите модель формирования очереди на стоянке такси.
35. Рассчитайте модель автобусного маршрута с
h
остановками.
36. Смоделируйте работу продовольственного магазина.
37. Опишите модель автозаправочной станции.
§7. КОМПЬЮТЕРНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ
7.1. ПОСТАНОВКА ЗAДAЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В последние годы мы особенно отчетливо ощутили, что нет ничего важнее для общества,
чем здоровая экономика Научное исследование основ функционирования экономики - сложная и
интересная деятельность. Математические методы в ней играют возрастающую с каждым десяти-
летием роль, а реализация возникающих при этом математических моделей и получение практиче-
ски важных результатов невозможны без ЭВМ.
В данном параграфе рассматривается лишь один из разделов - оптимальное планирование -
и внутри него одна из моделей, так называемое, линейное программирование. Это связано с отно-
сительной простотой и ясностью как содержательной постановки соответствующих задач, так и
методов решения. О таких интересных, но более сложных проблемах, как выпуклое программиро-
вание, динамическое программирование, теория игр мы лишь упомянем, отсылая читателей за
подробностями к специальной литературе. Отметим еще, что термин «программирование» в на-
звании этих разделов теории оптимального планирования весьма условен, связан с историческими
обстоятельствами и к программированию в общепринятом сейчас смысле прямого отношения не
имеет.
Общеизвестно, сколь важно для решения экономических задач планирование -как при ры-
ночной, так и при плановой экономике. Обычно для решения экономической проблемы существу-
ет много способов (стратегий), отнюдь не равноценных по затратам финансов, людских ресурсов,
времени исполнения, а также по достигаемым результатам. Наилучший из способов (по отноше-
нию к выбранному критерию - одному или нескольким) называют оптимальным. Приведем про-
стейший пример такого рода задач.
Пример 1.
На некотором предприятии могут выпускать изделия двух видов (например, мо-
тоциклы и велосипеды). В силу ограниченности возможностей сборочного цеха в нем могут соби-
рать за день либо 25 мотоциклов (если не собирать вообще велосипеды), либо 100 велосипедов
(если не собирать вообще мотоциклы), либо какую-нибудь комбинацию тех и других, определяе-
мою приемлемыми трудозатратами. Склад может принять не более 70 изделий любого вида в су-
тки. Известно, что мотоцикл стоит в 2 раза дороже велосипеда. Требуется найти такой план вы-
пуска продукции, который обеспечил бы предприятию наибольшею выручку.
Такого рода задачи возникают повседневно в огромном количестве, но в реальности число
изделий гораздо больше двух, да и дополнительных условий тоже больше. Решить подобную за-
дачу путем перебора всех мыслимых вариантов часто невозможно даже на ЭВМ. В нашем приме-
673
ре, однако, в ЭВМ нет необходимости -задача решается очень легко.
Обозначим число выпускаемых за день мотоциклов
х,
велосипедов
- у.
Пусть
τ
1
-время (в
часах), уходящее на производство одного мотоцикла, а
τ
2
- одного велосипеда. Из условия задачи
следует, что
τ
1
= 4
τ
2
. Если завод работает круглосуточно, то, очевидно, при одновременном выпус-
ке обоих изделий
Но
2
24
-
число максимально производимых велосипедов, равное 100. Итак, возможности
производства определяют условие
4
x + y ≤
100
.
Еще одно условие - ограниченная емкость склада:
x + y ≤
70
Обозначим цену мотоцикла
а
1
(руб.), цену велосипеда –
а
2
(руб.). По условию
а
1
= 2
a
2
. Об-
щая цена дневной продукции
S = а
1
∙ х + a
2
∙ у
= 2
a
2
∙
х
+
а
2
∙ у
=
а
2
∙ (
2
х
+
у).
Поскольку
a
2
-
заданная положительная константа, то наибольшего значения следует доби-
ваться отвеличины
f
=
2х
+
у.
Итак, учитывая все условия задачи, приходим к ее математической модели: среди неотри-
цательных целочисленных решений системы линейных неравенств
(7.71)
найти такое, которое соответствует максимуму линейной функции
(7.72)
Проще всего решить эту задачу чисто геометрически. Построим на плоскости
(х, у)
область,
соответствующую неравенствам (7.71) и условию неотрицательности
x
и
у.
Эта область выделена
на рис. 7.62 жирной линией. Всякая ее точка удовлетворяет неравенствам (7.71) и неотрицательно-
сти переменных. Пунктирные линии на рисунке - семейство прямых, удовлетворяющих уравне-
нию
f
= 2х + у
=
с
(с разными значениями константы
с
)
.
Вполне очевидно, что наибольшему воз-
можному значению
f
, совместному с предыдущими условиями, соответствует жирная пунктирная
линия, соприкасающаяся с областью
М
в точке
Р.
674
Рис. 7.62.
Графическое решение задачи об оптимальном плане производства (к примеру 1)
Этой линии соответствует значение
f
= 80. Пунктирная линия правее хоть и соответствует
большему значению
f
, но не имеет общих точек с
М,
левее - меньшим значениям
f
. Координаты
точки
Р
(10
,
60) - искомый оптимальный план производства.
Отметим, что нам «повезло» - решение
(х, у)
оказалось целочисленным. Если бы прямые
4x + y = 100
х + у = 70
пересеклись в точке с нецелочисленными координатами, мы бы столкнулись со значительными
проблемами. Еще больше их было бы, если бы наш завод выпускал три и более видов продукции.
Прежде чем обсуждать возникающие при этом математические проблемы, дадим формули-
ровки нескольких классических задач линейного программирования в общем виде.
Пример 2. Транспортная задача.
Некий продукт (например, сталь) вырабатывается на
т
за-
водах
P
1
,
P
2
, ...,
Р
m
, причем ежемесячная выработка составляетдь
а
1
, a
2
, …, а
m
тонн, соответствен-
но. Пусть эту сталь надо доставить на предприятия
Q
1
, Q
2
,..., Qk
(всего
k),
причем
b
1
, b
2
, ..., b
k
-
ежемесячная потребность этих предприятий. Наконец, пусть задана стоимость
c
ij
перевозки одной
тонны стали с завода
Р
i
на предприятие
Q
j
,.
Естественно считать, что общее производство стали
равно суммарной потребности в
ней:
a
1
+ a
2
+…+a
m
= b
1
+ b
2
+…+b
k
(7.73)
Необходимо составить план перевозок, при котором
1) была бы точно удовлетворена потребность в стали предприятий
Q
1
, Q
2
,..., Q
k
,
2)
была бы вывезена вся сталь с заводов
Р
1
, Р
2
,....,P
m
;
3) общая стоимость перевозок была бы наименьшей.
Обозначим через
x
ij
количество стали (в тоннах), предназначенной к отправке с завода
Р
i
на
предприятие
Q
j
.
План перевозок состоит из
(m∙k)
неотрицательных чисел
x
ij
(i=
1, 2,...,
m;j =
1,2,...,
k).
Таблица 7.10
Схема перевозок стали
в
Q
1
в
Q
2
в
Q
3
…
в
Q
k
Отправлено
из P
1
x
11
x
12
x
13
…
x
1k
a
1
из Р
2
x
21
x
22
x
23
…
x
2k
a
2
…
…
…
…
…
…
…
из P
m
x
m1
x
m2
x
m3
…
x
mk
a
m
Привезено
b
1
b
2
b
3
…
b
k
675
Первое условие примет вид
(7.74)
Второе условие примет вид
(7.75)
Раз стоимость перевозки одной тонны из
Р
i
в
Q
j
равна
c
ij
,
то общая стоимость
S
всех пере-
возок равна
(7.76)
Таким образом, мы приходим к следующей чисто математической задаче: дана система
m+k
линейных алгебраических уравнений (7.74) и (7.75) c
m∙k
неизвестными (обычно
т∙k >> m+k)
и линейная функция
S.
Требуется среди всех неотрицательных решений данной системы найти та-
кое, при котором функция
S
достигает наименьшего значения (минимизируется).
Практическое значение этой задачи огромно, ее умелое решение в масштабах нашей страны
могло бы экономить ежегодно огромные средства.
Пример 3. Задача о диете.
Пусть у врача-диетолога имеется
n
различных продуктов
F
1
, F
2
,
..., F
n
,
из которых надо составить диету с учетом их питательности. Пусть для нормального пита-
ния человеку необходимо
т
веществ
N
1
, N
2
, ...,
N
m
. Предположим, что за месяц каждому человеку
необходимо
γ
1
кг вещества
N
1
, γ
2
кг вещества
N
2
, ...,
γ
m
кг вещества
N
m
.
Для составления диеты не-
обходимо знать содержание питательных веществ в каждом продукте. Обозначим через
α
ij
количе-
ство
i
-го питательного вещества, содержащегося в одном килограмме
j
-го продукта. Всю эту ин-
формацию представляют в виде, так называемой, матрицы питательности (табл. 7.11).
Таблица 7.11
Матрица питательности
Питательное вещество
Продукт
F
1
F
2
…
F
n
N
1
α
11
α
12
…
α
1n
N
2
α
21
α
22
…
α
2n
…
…
…
…
…
N
m
α
m1
α
m2
…
α
mn
Предположим, что диетолог уже выбрал диету, т.е. определил, что человек должен за месяц
потреблять
η
1
кг продукта
F
1
,
...,
η
n
кг продукта
F
n
.
Полное количество питательного вещества
N
1
будет
По условию требуется, чтобы его, по крайней мере, хватило
η
1
α
11
+ η
2
α
12
+…+ η
n
α
1n
≥ γ
1
Точно то же и для остальных веществ. В целом
η
1
α
i1
+ η
2
α
i2
+…+ η
n
α
in
≥ γ
i
(i =
1, 2,…
m)