ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 446
Скачиваний: 1
ÌÈÍÈÑÒÅÑÒÂÎ
ÎÁ
ÀÇÎÂÀÍÈß
È
ÍÀ
ÓÊÈ
Ô
ÔÅÄÅ
ÀËÜÍÎÅ
ÎÑÓ
ÄÀÑÒÂÅÍÍÎÅ
ÁÞ
ÄÆÅÒÍÎÅ
ÎÁ
ÀÇÎÂÀ
ÒÅËÜÍÎÅ
Ó×ÅÆÄÅÍÈÅ
ÂÛÑØÅÎ
ÏÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÎ
ÎÁ
ÀÇÎÂÀÍÈß
¾ÂÎÎÍÅÆ
ÑÊÈÉ
ÎÑÓ
ÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒ¿
Å.
Á.
Òó
ëåíê
î
ÄÂÎÉÍÎÉ
ÈÍÒÅ
ÀË,
ÅÎ
ÑÂÎÉÑÒÂÀ
È
ÑÏÎÑÎÁÛ
ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß.
ÏÈËÎ
ÆÅÍÈß
Ê
ÅÎÌÅÒÈÈ
È
ÔÈÇÈÊÅ
Ó÷åáíî-ìåòî
äè÷åñê
îå
ïîñîáèå
äëÿ
âóçîâ
Èçäàòåëüñê
î-ïîëèãðàè÷åñêèé
öåíòð
Âîðîíåæ
ñê
îãî
ãîñó
äàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåò
à
2012
Óòâåð
æäåíî
íà
ó÷íî-ìåòî
äè÷åñêèì
ñîâåòîì
èçè÷åñê
îãî
àêó
ëü
òåò
à
05
èþíÿ
2012
ã
.,
ïðîòîê
îë
6
åöåíçåíò
ä-ð
èç.-ìàò
.
íà
óê,
äîö.
ê
àåäðû
òåîðåòè÷åñê
îé
èçèêè
À.
Ñ.
Êîðíåâ
Ó÷åáíî-ìåòî
äè÷åñê
îå
ïîñîáèå
ïî
äãîòîâëåíî
íà
ê
àåäðå
ìàòåìàòè÷åñ-
ê
îé
èçèêè
èçè÷åñê
îãî
àêó
ëü
òåò
à
Âîðîíåæ
ñê
îãî
ãîñó
äàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåò
à.
åê
îìåíäó
åòñ
ÿ
äëÿ
ñòó
äåíòîâ
1-ãî
è
2-ãî
êóðñîâ
èçè÷åñê
îãî
àêó
ëü-
òåò
à
äíåâíîé
è
âå÷åðíåé
îðì
îáó÷åíèÿ.
Äëÿ
ñïåöèàëüíîñòåé:
010801
àäèîèçèê
à
è
ýëåêòðîíèê
à,
010803
Ìèêðîýëåêòðîíèê
à
è
ïîëóïðîâî
äíèê
îâûå
ïðèáîðû,
010701
Ôèçèê
à,
210100
Ýëåêòðîíèê
à
è
íàíîýëåêòðîíèê
à,
210600
Íàíîòåõíîëîãèÿ,
140800
ßäåðíûå
èçèê
à
è
òåõíîëîãèè
2
Ââåäåíèå
Ìåòî
äè÷åñê
îå
ïîñîáèå
ñî
äåð
æèò
ìàòåðèàë
ïî
î
äíîìó
èç
âàæíûõ
ðàçäåëîâ
êóðñà
ìàòåìàòè÷åñê
îãî
àíàëèçà.
Â
íåì
ïðèâåäåíû
íåîá
õ
î
äèìûå
òåîðåòè÷åñêèå
ñâåäåíèÿ,
ðàññìîò-
ðåíî
ïîíÿòèå
äâîéíîãî
èíòåãðàëà,
îïèñûâàþòñ
ÿ
îñíîâíûå
åãî
ñâîéñòâà
è
ñïîñîáû
âû÷èñëåíèÿ.
ÿä
ïðèìåðîâ
ñ
ïî
äðîá-
íûì
îïèñàíèåì
õ
î
äà
ðåøåíèÿ,
à
ò
àêæ
å
èíäèâèäó
àëüíûå
çà-
äàíèÿ
ðàçëè÷íîé
ñëî
æíîñòè
ïîçâîëÿò
ñòó
äåíò
àì
õ
îðîøî
ó
ñâîèòü
äîñò
àòî÷íî
ñëî
æíûé
ìàòåðèàë.
Îñîáîå
âíèìàíèå
ó
äåëåíî
ìåòî
äó
ñâåäåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ïîâòîðíûì
ê
àê
â
ñëó÷àå
äåê
àðòîâîé
ñèñòåìû
ê
îîð
äèíàò
,
ò
àê
è
â
ñëó-
÷àå
ïåðåõ
î
äà
ê
êðèâîëèíåéíûì
ê
îîð
äèíàò
àì,
â
÷àñòíîñòè
ê
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò
.
Ïîñëåäíèé
ðàçäåë
ïîñâÿùåí
ïðèëî
æ
åíèÿì
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ðåøåíèþ
ãåîìåòðè÷åñ-
êèõ
è
èçè÷åñêèõ
çàäà
÷.
Ïîñîáèå
ïðåäíàçíà
÷åíî
äëÿ
èçó-
÷åíèÿ
ìàòåðèàëà
ê
àê
íà
ïðàêòè÷åñêèõ
çàíÿòèÿõ
ïî
ìàòåìà-
òè÷åñê
îìó
àíàëèçó
,
ò
àê
è
âî
âðåìÿ
ñàìîñòî
ÿòåëüíîé
ðàáîòû
ñòó
äåíòîâ.
1.
Äâîéíîé
èíòåãðàë
àññìîòðèì
çàìêíóòóþ
ïëîñêóþ
îáëàñòü
D
,
è
ïó
ñòü
ýò
à
îáëàñòü
êâàäðèðó
åìà,
òî
åñòü
èìååò
ê
îíå÷íóþ
ïëîùàäü.
Åñ
ëè
ïëîñêàÿ
îá
ëàñòü
îãð
àíè÷åíà
êîíå÷íûì
÷èñ
ëî
ì
êðè-
âûõ,
çàäàííûõ
ÿâíûìè
óð
àâíåíèÿìè,
òî
òàêàÿ
îá
ëàñòü
êâàäðèðóå
ìà.
Ïó
ñòü
íà
îáëàñòè
D
îïðåäåëåíà
óíêöèÿ
äâóõ
ïåðåìåí-
íûõ
f
(
x, y
)
.
àçîáüåì
îáëàñòü
D
ïðîèçâîëüíûì
îáðàçîì
(ñåòê
îé
êðèâûõ)
íà
n
êâàäðèðó
åìûõ
÷àñòåé
D
i
, i
= 1
,
2
, . . . , n
ò
àê,
÷òîáû
îíè
ïåðåñåê
àëèñü
äðóã
ñ
äðóãîì
íå
áîëåå
÷åì
ïî
îáùåé
÷àñòè
ãðàíèöû
(ðèñ.
1).
3
èñ.
1
Îáîçíà
÷èì
ïëîùàäü
ê
àæäîé
i
-é
÷àñòè
÷åðåç
∆
S
i
,
à
íàè-
áîëüøèé
èç
äèàìåòðîâ
âñåõ
i
-õ
îáëàñòåé
d
.
Äèàìåòðî
ì
îá
ëàñòè
íàçûâàåòñÿ
íàèáî
ëüøåå
ð
àññòîÿ-
íèå
ìåæäó
òî÷êàìè
äàííîé
îá
ëàñòè.
Â
ê
àæäîé
÷àñòè
D
i
âûáåðåì
ïðîèçâîëüíî
òî÷êó
M
i
(
ξ
i
, η
i
)
,
âû÷èñëèì
â
ê
àæäîé
òî÷ê
å
çíà
÷åíèå
óíêöèè
f
(
ξ
i
, η
i
)
è
óìíî
æèì
íà
∆
S
i
.
Ïîñòðîèì
ñóììó:
σ
=
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
, η
i
)∆
S
i
.
(1)
Ýò
à
ñóììà
íàçûâàåòñ
ÿ
èíòåãðàëüíîé
ñóììîé
äëÿ
óíê-
öèè
f
(
x, y
)
íà
îáëàñòè
D
.
Îïðåäåëåíèå
1.
Åñ
ëè
ñóùåñòâóåò
êîíå÷íûé
ïðåäå
ë
èí-
òåãð
àëüíîé
ñóììû
(1)
ïðè
d
→
0
è
îí
íå
çàâèñèò
íè
îò
ñïîñîá
à
ð
àçáèåíèÿ
îá
ëàñòè
D
íà
÷àñòè,
íè
îò
âûáîð
à
òî÷åê
M
i
,
òî
îí
íàçûâàåòñÿ
äâîéíûì
èíòåãð
àëî
ì
îò
óíêöèè
f
(
x, y
)
ïî
îá
ëàñòè
D
è
îáîçíà÷àåòñÿ
Z Z
D
f
(
x, y
)
dS,
(2)
ãäå
dS
ý
ëå
ìåíò
ïëîùàäè.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
óíêöèÿ
íàçûâàåòñ
ÿ
èíòåãðèðó
åìîé
íà
îá-
ëàñòè
D
.
4
Â
äåê
àðòîâîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò
dS
=
dxdy
,
ïîýòîìó
äâîéíîé
èíòåãðàë
ìî
æ
åì
çàïèñàòü
â
âèäå
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy.
Îñíîâíûå
ñâîéñòâà
äâîéíîãî
èíòåãðàëà:
1
o
.
Åñëè
óíêöèè
f
(
x, y
)
è
g
(
x, y
)
èíòåãðèðó
åìû
íà
D
,
òî
óíêöèÿ
f
(
x, y
) +
g
(
x, y
)
èíòåãðèðó
åìà
íà
îáëàñòè
D
,
ïðè÷åì
Z Z
D
(
f
(
x, y
) +
g
(
x, y
))
dxdy
=
=
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
+
Z Z
D
g
(
x, y
)
dxdy.
2
o
.
Åñëè
óíêöèÿ
f
(
x, y
)
èíòåãðèðó
åìà
íà
D
,
òî
óíêöèÿ
kf
(
x, y
)
,
ã
äå
k
=
const
èíòåãðèðó
åìà
íà
îáëàñòè
D
,
ïðè÷åì
Z Z
D
kf
(
x, y
)
dxdy
=
k
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy.
3
o
.
Ïó
ñòü
óíêöèÿ
f
(
x, y
)
èíòåãðèðó
åìà
íà
D
,
à
ñàìà
îá-
ëàñòü
ñîñòîèò
èç
äâóõ
êâàäðèðó
åìûõ
îáëàñòåé
D
1
è
D
2
,
ïå-
ðåñåê
àþùèõ
ñ
ÿ
òîëüê
î
ïî
îáùåé
÷àñòè
ãðàíèöû,
òîã
äà
óíê-
öèÿ
f
(
x, y
)
èíòåãðèðó
åìà
ïî
ê
àæäîé
èç
ýòèõ
îáëàñòåé
è
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
Z Z
D
1
f
(
x, y
)
dxdy
+
Z Z
D
2
f
(
x, y
)
dxdy.
5