ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.04.2021
Просмотров: 1307
Скачиваний: 2
6
Множества
,
указанные
в
пункте
3),
неравны
,
так
как
элементами
первого
множества
являются
числа
1, 2, 3
,
а
элементами
второго
множества
являются
множества
,
состоящие
из
одного
элемента
{ } { } { }
3
,
2
,
1
.
Пункт
4)
сделайте
самостоятельно
.
Пример
2
.
Следующие
множества
заданы
перечислением
своих
эле
-
ментов
,
задайте
эти
множества
с
помощью
характерного
для
их
элементов
свойства
.
1)
{
}
;
32
,...,
8
,
6
,
4
,
2
=
A
2)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
-
,
Киев Минск Кишинев Таллинн Вильнюс Рига Москва
Ереван Тбилиси Баку Ташкент Ашхабад Душанбе
Алма Ата Фрунзе
ì
ü
ï
ï
= í
ý
ï
ï
î
þ
Κ
Решение
.
Множество
A
представляет
собой
множество
четных
на
-
туральных
чисел
от
1
до
32,
поэтому
это
множество
можно
записать
в
виде
{
}
16
,...,
1
,
2
:
=
=
Î
=
n
n
x
x
N
A
.
Множество
K
представляет
собой
множество
столиц
республик
бывшего
СССР
,
т
.
е
.
это
множество
можно
записать
в
виде
{
}
СССР
республики
столица
x
x
-
=
:
K
.
Пример
3
.
Приведите
примеры
таких
множеств
K
B
A
,
,
,
для
которых
1)
,
,
A B B K
A K
;
2)
K
A
K
B
B
A
Î
Î
Î
,
,
;
3)
;
Β
,
Β
Κ
,
A
A K
4)
K
A
K
B
B
A
Ï
Î
Í
,
,
.
Решение
.
В
качестве
примера
множеств
,
удовлетворяющих
условию
из
пункта
1),
можно
рассмотреть
следующие
множества
{ }
{ }
{
}
{ }
{
}
{
}
= 1,2 ,
= 1,2 ,1
= 3, 1,2 ,1
,
.
A
B
K
Пункту
3)
удовлетворяют
множества
{ }
{ } { }
{
}
{
}
4
,
3
,
2
,
3
,
2
,
1
,
3
,
2
=
=
=
K
B
A
.
Пункты
2)
и
4)
рассмотрите
самостоятельно
.
Пример
4
.
Докажите
следующие
тождества
:
1)
B
A
B
A
Ç
=
\
; 2)
(
) (
)
(
)
K
A
B
A
K
B
A
È
Ç
È
=
È
\
;
3)
(
)
(
)
A
A
B
B
A
=
È
Ç
È
; 4)
(
)
Æ
=
Ç
B
A
B
\
;
5)
(
) (
) (
)
K
A
B
A
K
B
A
Ç
+
Ç
=
+
Ç
.
Решение
.
Для
доказательства
равенства
1)
докажем
два
включения
:
B
A
B
A
Ç
Í
\
,
B
A
B
A
\
Í
Ç
.
Доказательство
первого
включения
проведем
по
схеме
7
B
A
B
A
B
A
B
A
Ç
Î
Þ
î
í
ì
Î
Î
Þ
î
í
ì
Ï
Î
Þ
Î
x
x
x
x
x
x
\
,
а
доказательство
второго
включения
по
схеме
B
A
B
A
B
A
B
A
\
Î
Þ
î
í
ì
Ï
Î
Þ
î
í
ì
Î
Î
Þ
Ç
Î
x
x
x
x
x
x
.
Заметим
,
что
в
данном
примере
мы
могли
рассмотреть
не
две
схемы
,
а
одну
,
но
вместо
знака
следствия
использовать
знак
равносильности
Û
.
Тождество
2
можно
также
доказать
с
помощью
двух
включений
,
но
можно
и
не
использовать
данную
схему
,
а
опираться
на
уже
доказанное
тождество
1)
и
на
основные
законы
1–14.
Мы
приведем
данный
способ
до
-
казательства
,
причем
вверху
над
равенствами
будем
писать
либо
1) –
это
означает
,
что
используется
тождество
1),
либо
номер
используемого
ос
-
новного
закона
.
Итак
,
(
)
(
)
(
)
(
)
K
A
B
A
K
B
A
K
B
A
È
Ç
È
=
Ç
È
=
È
)
5
)
1
\
.
Аналогично
можно
доказать
равенства
3), 4), 5).
Для
равенства
4)
приведем
еще
один
способ
доказательства
–
доказательство
от
против
-
ного
.
Предположим
противное
,
что
множество
(
)
B
A
B
/
Ç
не
пусто
,
т
.
е
.
существует
хотя
бы
один
элемент
(
)
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Î
Þ
ï
î
ï
í
ì
î
í
ì
Ï
Î
Î
Þ
î
í
ì
Î
Î
Þ
Ç
Î
B
A
B
B
A
B
B
A
B
B
A
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
\
\
.
Никакой
элемент
x
не
может
одновременно
принадлежать
и
самому
множеству
,
и
его
дополнению
,
поэтому
мы
пришли
к
противоречию
.
Пример
5
.
Пусть
A, B, K
–
такие
множества
,
что
K
A
B
Í
Í
.
Най
-
дите
множество
C
,
удовлетворяющее
системе
уравнений
î
í
ì
=
È
=
Ç
K
C
A
B
C
A
.
Решение
.
Из
первого
уравнения
следует
,
что
C
B
Í
,
поэтому
C
можно
представить
в
виде
C
B
C
¢
È
=
,
где
Æ
=
Ç
¢
B
C
.
Из
равенств
Æ
=
Ç
¢
¢
È
=
=
Ç
B
C
C
B
C
B
C
A
,
,
следует
,
что
Æ
=
¢
Ç
C
A
.
Итак
,
нам
осталось
найти
множество
C
¢
.
Заменим
C
во
втором
урав
-
нении
на
C
B
C
¢
È
=
.
Получим
(
)
K
C
B
A
=
¢
È
È
.
По
ассоциативному
за
-
кону
(
)
K
C
B
A
=
¢
È
È
.
Из
включения
A
B
Í
следует
,
что
A
B
A
=
È
,
по
-
этому
получаем
равносильное
уравнение
K
C
A
=
¢
È
.
Два
факта
Æ
=
¢
Ç
C
A
и
K
A
Í
позволяют
заключить
,
что
решением
последнего
урав
-
нения
является
множество
A
K
C
\
=
¢
.
Окончательно
8
(
)
A
B
C
\
K
È
=
.
Пример
6
.
Докажите
,
что
условие
B
A
Í
равносильно
каждому
из
следующих
условий
:
1)
A
B
A
=
Ç
; 2)
B
B
A
=
È
.
Решение
.
Докажем
,
что
B
A
Í
равносильно
условию
1).
Итак
,
пусть
B
A
Í
,
докажем
равенство
A
B
A
=
Ç
.
Равенство
будем
доказывать
в
два
включения
.
Пусть
A
B
A
Î
Þ
Ç
Î
x
x
.
Обратно
,
пусть
B
A
B
A
A
B
A
Ç
Î
Þ
Î
Î
Þ
Î
Í
x
x
x
x
,
.
Теперь
предположим
,
что
выполнено
условие
1),
докажем
,
что
B
A
Í
.
Рассмотрим
B
B
A
A
A
B
A
Î
Þ
Ç
Î
Þ
Î
=
Ç
x
x
x
.
Равносильность
условия
B
A
Í
условию
1)
мы
доказали
,
равносиль
-
ность
условию
2)
докажите
самостоятельно
.
Пример
7
.
Докажите
для
произвольных
множеств
A, B, K
:
1)
если
B
A
Ë
и
Æ
=
Ç
K
A
,
то
K
B
K
A
È
Ë
È
;
2)
если
Æ
=
Ç
K
B
и
Æ
¹
Ç
K
A
,
то
Æ
¹
B
A
\
.
Решение
.
1)
Нам
нужно
доказать
,
что
существует
хотя
бы
один
элемент
x
¢
та
-
кой
,
что
K
B
K
A
È
Ï
¢
È
Î
¢
x
x
,
.
Нам
известно
,
что
B
A
Ë
,
поэтому
суще
-
ствует
некоторый
элемент
A
Î
*
x
и
B
Ï
*
x
.
В
силу
условия
Æ
=
Ç
K
A
,
данный
элемент
K
Ï
*
x
.
Таким
образом
,
K
B
K
A
È
Ï
È
Î
*
*
,
x
x
.
2)
Нам
нужно
доказать
,
что
существует
хотя
бы
один
элемент
в
мно
-
жестве
B
A
\
.
Известно
,
что
Æ
¹
Ç
K
A
,
поэтому
существует
элемент
K
A
Î
Î
*
*
,
x
x
,
причем
,
в
силу
условия
Æ
=
Ç
K
B
,
данный
элемент
B
Ï
*
x
.
Итак
,
мы
построили
элемент
A
Î
*
x
и
B
Ï
*
x
.
Пример
8
.
Докажите
,
что
для
произвольных
множеств
A, B
спра
-
ведливо
равенство
(
)
( )
( )
B
R
A
R
B
A
R
Ç
=
Ç
.
Решение
.
Доказательство
проведем
в
виде
двух
включений
,
объеди
-
нив
их
одной
записью
.
Пусть
(
)
Û
Í
Í
Û
Ç
Í
Û
Ç
Î
B
C
A
C
B
A
C
B
A
R
C
,
( )
( )
( )
( )
B
R
A
R
C
B
R
C
A
R
C
Ç
Î
Û
Î
Î
Û
,
.
9
ЗАДАЧИ
И
УПРАЖНЕНИЯ
1.
Каждое
из
следующих
множеств
задайте
в
виде
некоторого
интервала
числовой
прямой
:
1)
{
}
;
:
1
2
2
=
+
Î
$
Î
y
x
R
y
R
x
2)
;
:
þ
ý
ü
î
í
ì
+
+
=
Î
$
Î
1
1
2
y
y
x
R
y
R
x
3)
{
}
0
2
3
2
<
+
+
Î
$
Î
a
ax
x
R
x
R
a
:
.
2.
Вставьте
между
множествами
символ
Î
или
Í
так
,
чтобы
получилось
истинное
утверждение
.
1)
{ }
{ }
{
}
;
2
,
1
,
1
1
2)
{ }
{ } { }
{
}
;
2
,
1
,
2
,
1
2
,
1
3)
{ }
{ }
{
}
;
2
,
1
,
2
,
1
2
,
1
4)
{ } { }
{
}
;
,
1
,
2
,
1
Æ
Æ
5)
{ }
;
Æ
Æ
6)
{ }
{ }
Æ
Æ
.
3.
Перечислите
элементы
каждого
из
следующих
множеств
:
1)
{ }
{
}
;
1
:
Í
x
x
2)
{
}
{
}
;
3
,
2
,
1
:
Í
x
x
3)
{
}
Æ
Í
x
x
:
.
4.
Докажите
следующие
тождества
:
1)
(
) (
)
;
\
A
B
A
B
A
=
Ç
È
2)
(
)
;
B
A
A
B
A
È
Ç
=
Ç
3)
(
) (
)
;
\
B
A
B
A
B
A
+
=
Ç
È
4)
(
)
(
)
(
) (
)
;
\
\
\
B
A
B
A
B
A
B
A
Ç
È
=
È
5)
(
) (
) (
) (
)
;
\
\
B
A
A
B
B
A
B
A
È
Ç
È
=
È
6)
(
)
;
\
\
B
A
B
A
A
Ç
=
7)
(
)
;
\
B
A
B
A
B
È
=
È
8)
(
)
(
)
;
K
B
A
K
B
A
+
+
=
+
+
9)
Æ
=
+
A
A
.
5.
Считая
L
универсальным
множеством
для
данного
рассмотрения
,
най
-
дите
множество
Х
,
удовлетворяющее
следующим
условиям
:
1)
;
,
\
L
C
A
A
C
A
=
È
=
2)
;
,
L
C
A
C
A
=
È
Æ
=
Ç
3)
(
)
;
\
\
Æ
=
C
A
A
4)
;
,
\
A
C
A
C
A
=
È
Æ
=
5)
(
)
Æ
=
Ç
Æ
=
C
A
C
A
A
,
\
\
.
10
6.
Найдите
решение
системы
уравнений
î
í
ì
=
=
K
A
C
B
C
A
\
\
,
если
известно
,
что
Æ
=
Ç
Í
K
A
A
B
,
.
7.
Каждое
из
следующих
утверждений
либо
докажите
,
либо
покажите
при
помощи
диаграмм
Эйлера
–
Венна
,
что
оно
не
всегда
верно
:
1)
(
)
(
)
K
B
A
K
B
A
Ç
È
=
Ç
È
;
2)
(
)
;
\
A
B
B
A
=
È
3)
(
)
;
\
A
B
B
A
=
È
4)
(
)
;
\
Æ
=
Ç
A
B
A
5)
(
)
(
) (
)
;
\
\
K
B
K
A
K
B
A
È
È
=
È
6)
(
) (
)
;
B
A
B
B
A
Í
Ç
È
Ç
7)
(
) (
)
Æ
=
Þ
Ç
È
Ç
=
A
A
B
B
A
B
.
8.
Верно
ли
,
что
:
1)
;
K
B
K
A
B
A
=
Þ
È
=
È
2)
;
K
B
K
A
B
A
=
Þ
Ç
=
Ç
3)
K
A
B
A
È
=
È
и
K
B
K
A
B
A
=
Þ
Ç
=
Ç
.
9.
Докажите
:
1.
(
)
(
)
;
K
A
K
B
A
K
B
A
Í
Û
Ç
È
=
Ç
È
2.
;
Æ
=
+
Û
=
B
A
B
A
3.
;
Æ
=
=
Û
Æ
=
È
B
A
B
A
4.
(
)
;
\
Æ
=
Ç
Û
=
È
B
A
A
B
B
A
5.
;
\
\
B
A
B
A
B
A
=
Û
=
6.
;
\
Æ
=
Û
=
È
B
B
A
B
A
7.
;
\
Æ
=
Û
Ç
=
A
B
A
B
A
8.
K
A
K
B
A
Í
Û
Í
È
и
K
B
Í
;
9.
;
\
K
B
A
K
B
A
Í
Û
È
Í
10.
A
K
B
A
K
Í
Û
Ç
Í
и
B
K
Í
;
11.
B
A
B
A
B
A
=
Û
È
=
Ç
;
12.
;
K
B
B
A
K
B
A
Ç
=
È
Û
Í
Í
13.
;
\
\
K
B
K
A
B
A
Í
Þ
Í
14.
A
B
Í
и
;
\
K
B
A
B
A
K
È
=
Þ
=
15.
B
B
A
A
B
A
=
Ç
Þ
=
È
.
10.
Объединением
семейства
множеств
(
)
I
A
Î
i
i
называется
множество
{
}
U
I
A
I
A
Î
Î
Î
$
=
i
j
i
x
j
x
:
.