ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.04.2021
Просмотров: 360
Скачиваний: 1
Учебно
-
методическое пособие
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
Мешков В.З
.
Половинкин И.П.
Половинкина М.В.
Попков А.В.
Ляхов Л. Н.
Шишкина Э.Л.
2
Утверждено научно
-
методическим советом факультета ПММ
__.__.201__
, протокол №
__.
Рецензент:
_________________.
Учебно
-
методическое пособие подготовлено на
кафедре
математического
и
прикладного
анализа
факультета
ПММ
Воронежского
государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения факультета
ПММ.
Для специальностей:
010200 –
Прикладная математика и информатика,
010500 –
Механика,
010503 –
Математическое обеспечение и
администрирование информационных
систем
3
Поточечная и равномерная сходимость функциональных
последовательностей и рядов. Критерий Коши о равномерной
сходимости. Необходимое условие равномерной сходимости
функционального ряда.
Объектами
наших
исследований
будут
функциональные
последовательности, то есть последовательности функций
)}
(
{
x
f
n
,
определенных
на одном и том же
множестве
D
, и функциональные ряды,
то есть ряды вида
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
, члены которых
–
функции
)
(
x
u
n
, определенные
на одном и том же
множестве
D
.
Определение.
Пусть функции
)
(
x
f
n
(члены функционального ряда
–
функции
)
(
x
u
n
)
, n=1,2,…, определены на множестве
D
и пусть
D
x
∈
0
.
Если числовая последовательность
)}
(
{
0
x
f
n
(числовой ряд
∑
∞
=
1
0
)
(
n
n
x
u
)
сходится, то говорят, функциональная последовательность
)}
(
{
x
f
n
(функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
)
сходится в точке
0
x
.
Если функциональная
последовательность
}
)
(
{
x
f
n
(функциональный ряд
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
) сходится в
каждой точке
D
x
∈
к некоторому значению f(x), то говорят, что она (он)
сходится к функции
f(x
) поточечно на множестве
D
. Функцию f(x)
называют предельной функцией последовательности
)}
(
{
x
f
n
(суммой
функционального ряда
∑
∞
=
1
)
(
n
n
x
u
).
При этом используются следующие записи:
).
(
)
(
;
),
(
)
(
;
),
(
)
(
lim
x
f
x
f
D
x
x
f
x
f
D
x
x
f
x
f
D
n
n
n
n
→
∈
→
∈
=
∞
→
4
∈
=
∑
∞
=
1
),
(
)
(
n
n
D
x
x
f
x
u
.
Согласно определениям предела числовой последовательности и суммы
числового ряда эти записи соответственно означают, что
ε
ε
<
−
>
∀
∃
>
∀
∈
∀
)
(
)
(
:
0
0
0
x
f
x
f
N
n
N
D
x
n
-
для функциональной
последовательности
(
∑
=
=
<
−
>
∀
∃
>
∀
∈
∀
n
k
k
n
n
x
u
x
S
x
f
x
S
N
n
N
D
x
1
0
0
)
(
)
(
,
)
(
)
(
:
0
ε
ε
-
для
функционального ряда
).
Отметим, что номер
)
,
(
0
0
ε
x
N
N
=
в этих определениях подбирается после
произвольного задания точки
D
x
∈
и сколь угодно малого числа
0
>
ε
, а
поэтому зависит от
х
и
ε
.
Пример 1.
Найти предельную функцию
f(x)
функциональной
последовательности
( )
n
n
f x
x
=
на множестве
[0,1].
Решение.
Если
[0,1)
x
∈
, то
lim
0
n
n
x
→∞
=
а если
1,
x
=
то
lim
1
n
n
x
→∞
=
.
Следовательно, предельная функция имеет вид
0,
если 0
1,
( )
1,
если
1.
x
f x
x
≤ <
=
=
Пример 2.
Найти предельную функцию
f(x)
функциональной
последовательности
nx
n
x
f
n
1
sin
=
)
(
на множестве
)
(0,
+∞
.
Решение.
Используя первый замечательный предел, который имеет
вид
0
sin
lim
1
y
y
y
→
=
, получим
1
sin
1
1
1
1
lim sin
lim
sin
lim
.
1
n
n
n
nx
nx
n
nx
x
nx
x
x
nx
→∞
→∞
→∞
=
=
=
5
Таким образом, предельная функция имеет вид
1
( )
f x
x
=
.
Для нахождения области сходимости функционального ряда при
фиксированном значении
х
можно использовать необходимый признак
сходимости числового ряда, признаки
сходимости знакоположительных
числовых
рядов
(признаки Даламбера, Коши, интегральный и др.) и признак
Лейбница для знакочередующихся рядов.
Пример 3
.
Определить область сходимости (абсолютной и условной)
функционального ряда
n
n
n
x
x
n
+
−
−
−
∑
∞
1
1
1
2
1)
(
1
=
.
Решение.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого
рассмотрим ряд
n
n
x
x
n
+
−
−
∑
∞
1
1
1
2
1
1
=
, общий член которого имеет вид
1
1
( )
0.
2
1 1
n
n
x
u x
n
x
−
=
≥
−
+
При фиксированном значении
х
применим признак
Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда
1
1
( )
1
1
1
1
=
:
lim
lim
( )
2(
1) 1 1
2
1 1
n
n
n
n
n
n
u
x
x
x
u x
n
x
n
x
+
+
→∞
→∞
−
−
=
+ −
+
−
+
2
1 1
1
.
lim
2
1 1
1
n
n
x
x
n
x
x
→∞
−
−
−
=
=
+
+
+
Таким образом, для сходимости этого ряда необходимо, чтобы
1
<
1
1
x
x
+
−
.
Решая это неравенство, получаем
0
>
x
. Следовательно, ряд
сходится абсолютно при
0
>
x
.
Если
1
=
1
1
x
x
+
−
, то
0
=
x
и
.
1
2
1)
(
=
(0)
−
−
n
u
n
n
Получаем знакочередующийся
ряд
1
2
)
1
(
1
=
−
−
∑
∞
n
n
n
. Исследуем его на сходимоть, применяя признак Лейбница:
1.
1
1
1
2
1
2(
1) 1
2
1
n
n
n
>
=
−
+ −
+
для всех натуральных
n
,
т.е. модули членов
исследуемого ряда образуют убывающую последовательность;
2.
1
lim
0
2
1
n
n
→∞
=
−
.
Все условия признака Лейбница выполнены,
следовательно ряд
1
2
)
1
(
1
=
−
−
∑
∞
n
n
n
сходится (сходится неабсолютно).