ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 106
Скачиваний: 3
Программа коллоквиума по математическому анализу
(1 – 4 группы 1 курса физического факультета, ноябрь 2013 года)
1.
Числовые множества. Аксиомы действительных чисел.
2.
Арифметические операции с комплексными числами. Тригонометри-
ческая форма комплексного числа. Формулы Муавра и Эйлера.
3.
Вывод формулы для бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты.
4.
Ограниченные и неограниченные множества. Теорема о существовании
sup
и
inf
для
ограниченного множества.
5.
Принцип вложенных отрезков.
6.
Счётные и несчётные множества. Доказательство счётности множества
целых и рациональных чисел.
7.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
8.
Определение предела последовательности. Единственность предела,
ограниченность сходящейся последовательности.
9.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Опре-
деление, примеры и свойства.
10.
Арифметические свойства предела последовательности.
11.
Предельный переход в равенствах и неравенствах. Лемма о 2-х мили-
ционерах.
12.
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
13.
Число Эйлера
e
.
14.
Теорема Больцано − Вейерштрасса.
15.
Критерий Коши для последовательностей.
16.
Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы.
17.
Графики элементарных функций (степенных, показательных, логариф-
мических, тригонометрических, гиперболических).
18.
Определение предела функции. Доказательство эквивалентности опре-
делений предела функции по Коши и по Гейне.
19.
Критерий Коши для функций.
20.
Доказательство непрерывности сложной функции.
21.
Непрерывность тригонометрических, показательных и степенных
функций.
22.
Вывод 1-го замечательного предела.
23.
Вывод 2-го замечательного предела. Запись в различных формах.
24.
Односторонние пределы. Классификация точек разрыва функции.
Примеры.
В билете 4 вопроса: запись одностороннего предела на языке
,
; графики
элементарных функций; определения или формулы без доказательства; ут-
верждение с доказательством.
Образец билета
1. Написать определение на языке
,
. Построить график и отрицание:
0
4
x
f
lim
0
5
x
.
2. Построить эскизы графиков функций
shx
y
,
thx
y
.
3. Определение предела последовательности. Бесконечные пределы.
4. Доказательство критерия Коши для последовательностей.