Файл: Коллоквиум 1 семестр.pdf

Программа коллоквиума по математическому анализу 

(1 – 4 группы 1 курса физического факультета, ноябрь 2013 года) 

1.

Числовые множества. Аксиомы действительных чисел. 

2.

Арифметические  операции  с  комплексными  числами.    Тригонометри-
ческая форма комплексного числа. Формулы Муавра и  Эйлера. 

3.

Вывод формулы для бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты. 

4.

Ограниченные и неограниченные множества. Теорема о существовании  

sup

 и

 inf 

 для

ограниченного множества. 

5.

Принцип вложенных отрезков. 

6.

Счётные и несчётные  множества. Доказательство счётности множества 
целых и рациональных чисел. 

7.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. 

8.

Определение  предела  последовательности.  Единственность  предела, 
ограниченность сходящейся последовательности. 

9.

Бесконечно  малые  и  бесконечно  большие  последовательности.  Опре-
деление, примеры и  свойства. 

10.

Арифметические свойства предела последовательности. 

11.

Предельный  переход  в  равенствах  и  неравенствах.  Лемма  о  2-х  мили-
ционерах. 

12.

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. 

13.

Число Эйлера 

e

. 

14.

Теорема Больцано − Вейерштрасса. 

15.

Критерий Коши для последовательностей. 

16.

Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы. 

17.

Графики  элементарных  функций  (степенных,  показательных,  логариф-
мических, тригонометрических, гиперболических). 

18.

Определение  предела  функции.  Доказательство  эквивалентности  опре-
делений предела функции по Коши и по Гейне. 

19.

Критерий Коши для функций. 

20.

Доказательство непрерывности сложной функции. 

21.

Непрерывность  тригонометрических,  показательных  и  степенных 
функций. 

22.

Вывод 1-го замечательного предела. 

23.

Вывод 2-го замечательного предела. Запись в различных формах. 

24.

Односторонние  пределы.  Классификация  точек  разрыва  функции. 
Примеры. 

В билете 4 вопроса: запись одностороннего предела  на языке 





,

; графики 

элементарных  функций;    определения  или  формулы  без  доказательства;  ут-
верждение с доказательством. 

Образец билета  

1. Написать определение на языке 





,

. Построить график и отрицание: 

 

0

4

x

f

lim

0

5

x











. 

2. Построить эскизы графиков функций 

shx

y



, 

thx

y



. 

3. Определение  предела последовательности. Бесконечные пределы. 
4. Доказательство критерия Коши для последовательностей.