Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)ⁿ в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (a+b)² и «куба суммы» (a+b)³, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:



где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Видно, что в любом многочлене присутствуют aⁿ и bⁿ с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени.

Чтобы правильно расставить коэффициенты при каждом элементе пользуются треугольником Паскаля.

Строится он следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)⁰, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:(a+b)¹=a+b.  Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

a²+2ab+b².

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.



Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:

---

(a+b)⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶.

Основные свойства биноминальных коэффициентов:

1. 
   Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и от конца разложения бинома, равны между собой.
   

2. 
   Коэффициент (k+1) члена разложения бинома равен произведению коэффициента k – го члена на показатель степени x в этом члене, деленному на k.
   

3. Сумма всех биноминальных коэффициентов равна 2ⁿ

4. 
   Сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биноминальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах
   

Пример: Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:

1. 
   ; Ответ:  .
   
2. 
   ; Ответ: .
   

---

Смотрите также файлы

• Восприятие и познание друг друга Подготовила Студентка 222ф(2) группы.pptx

• Нет Когда критикуют мнение, которое вы разделяете, или коллектив, в котором вы работаете, возражаете ли вы (или хотя бы возникает у вас такое желание) Да.docx

• Контрольная работа 2 Электромагнитная индукция.docx

• Произведены расчеты себестоимости обслуживания и ремонта аво газа.docx

• Лабораторная работа 2 По дисциплине Архитектура информационных систем Фамилия Никитин Имя Александр Отчество Владимирович.docx