ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 2329
Скачиваний: 10
Действительно, пусть произвольное множество
C
∈
Б
(
A
∪
B
)
, т. е.
C
⊆
A
∪
B
. Обозначим через
A
1
=
C
∩
A
,
B
1
=
C
∩
B
. Тогда
A
1
⊆
A
,
B
1
⊆
B
и
C
=
A
1
∪
B
1
, где
A
1
∈
Б
(
A
)
,
B
1
∈
Б
(
B
)
. Докажем обратное
включение. Если
A
1
∈
Б
(
A
)
,
B
1
∈
Б
(
B
)
, то
A
1
⊆
A
,
B
1
⊆
B
. Тогда
A
1
∪
B
1
⊆
A
∪
B
⇒
A
1
∪
B
1
∈
Б
(
A
∪
B
)
.
§ 6. Рекомендации к решению задач
Предположим, что все встречающиеся в задачах этого и следующе-
го параграфов множества являются подмножествами некоторого универ-
сального множества
U
. При решении предложенных для самостоятель-
ной работы задач (
§
7
) полезно использовать следующие факты.
1) Изображение множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна, при
этом множества
A
,
B
,
C
располагаются в
в общем положении
, ко-
гда
A
∩
B
6
=
,
A
∩
C
6
=
,
B
∩
C
6
=
,
A
∩
B
∩
C
6
=
.
Пример 1.
Проверим равенство множеств
(
A
∪
B
)
∩
C
и
A
∪
(
B
∩
C
)
.
Для этого изобразим их с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
Рис. 6:
(
A
∪
B
)
∩
C
Рис. 7:
A
∪
(
B
∩
C
)
На рис. 6 штриховкой обозначено множество
(
A
∪
B
)
∩
C
, а на рис.
7 —
A
∪
(
B
∩
C
)
. Очевидно, что это разные множества.
2) Определения и основные свойства операций над множествами, а
также доказанные свойства этих операций.
Пример 2.
Докажем второй дистрибутивный закон,
A
∪
(
B
∩
C
) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
,
используя определение операций объединения и пересечения для мно-
жеств и второй дистрибутивный закон для высказываний. При этом и в
дальнейшем используется символ
. . .
⇐⇒
. . .
, который означает эквива-
лентность утверждений, стоящих слева и справа от него.
Решение. Пусть
x
∈
U
и
x
∈
A
∪
(
B
∩
C
)
⇐⇒
x
∈
A
или
x
∈
(
B
∪
C
)
⇐⇒
⇐⇒
x
∈
A
или
(
x
∈
B
и
x
∈
C
)
⇐⇒
(
x
∈
A
или
x
∈
B
)
и
11
(
x
∈
A
или
x
∈
C
)
⇐⇒
(
x
∈
A
∪
B
)
и
(
x
∈
A
∪
C
)
⇐⇒
x
∈
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
.
3) При рассмотрении равенств, содержащих символы операций
4
и
\
, полезно выразить последние через дополнение, пересечение и объ-
единение:
A
\
B
=
A
∩
B, A
4
B
= (
A
\
B
)
∪
(
B
\
A
) = (
A
∩
B
)
∪
(
B
∩
A
)
.
(1
.
1)
Первое из этих равенств непосредственно следует из определения
операции
\
:
x
∈
A
\
B
⇐⇒
x
∈
A
и
x /
∈
B
⇐⇒
x
∈
A
и
x
∈
B
⇐⇒
x
∈
A
∩
B.
Второе из равенств (1.1) является следствием первого.
Пример 3.
Докажем равенство
(
A
\
B
)
\
C
= (
A
\
C
)
\
(
B
\
C
)
.
Используем при этом первое из равенств (1.1), закон де Моргана,
первый дистрибутивный закон и др.
(
A
∩
C
)
∩
(
B
∩
C
) =
A
∩
C
∩
(
B
∪
C
) =
= (
A
∩
C
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
∩
C
) = (
A
∩
C
∩
B
)
∪
= (
A
\
B
)
\
C.
Пример 4.
Докажем равенство множеств
A
∩
(
B
4
C
) = (
A
∩
B
)
4
(
A
∩
C
) :
(
A
∩
B
)
4
(
A
∩
C
) = (
A
∩
B
∩
A
∩
C
)
∪
(
A
∩
C
∩
A
∩
B
) =
= (
A
∩
B
∩
(
A
∪
C
))
∪
(
A
∩
C
∩
(
A
∪
B
)) =
= (
A
∩
B
∩
A
)
∪
(
A
∩
B
∩
C
)
∪
(
A
∩
C
∩
A
)
∪
(
A
∩
C
∩
B
)
На первом шаге использовалось второе из равенств (1.1), на следующем
шаге использовался закон де Моргана, далее первый дистрибутивный
закон для множеств. Выражения в первой и третьей скобках последнего
равенства есть пустые множества, поэтому
∪
(
A
∩
B
∩
C
)
∪ ∪
(
A
∩
C
∩
B
) = (
A
∩
B
∩
C
)
∪
(
A
∩
C
∩
B
) =
=
A
∩
((
B
∩
C
)
∪
(
C
∩
B
)) =
A
∩
(
B
4
C
)
.
Пример 5.
Докажем равенство
(
A
∩
B
)
×
(
C
∩
D
) = (
A
×
C
)
∩
(
B
×
D
)
.
Произвольным элементом множества, стоящего справа, является упо-
рядоченная пара
(
x, y
)
. Пусть
(
x, y
)
∈
(
A
∩
B
)
×
(
C
∩
D
)
⇐⇒
(
x
∈
A
∩
B
)
и
(
y
∈
C
∩
D
)
⇐⇒
(
x
∈
A
и
x
∈
B
)
и
(
y
∈
C
и
y
∈
D
)
⇐⇒
(
x, y
)
∈
(
A
×
C
)
и
(
x, y
)
∈
(
B
×
D
)
⇐⇒
⇐⇒
(
x, y
)
∈
(
A
×
C
)
∩
(
B
×
D
)
.
12
§ 7. Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.1. Доказать следующие тождества при помощи диаграмм Эйлера-
Венна:
1)
A
∩
(
B
4
C
) = (
A
∩
B
)
4
(
A
∩
C
)
;
2)
A
∪
B
= (
A
4
B
)
4
(
A
∩
B
)
;
3)
A
\
B
=
A
4
(
A
∩
B
)
.
1.2. Доказать следующие тождества с использованием определений
операций над множествами и основных свойств операций над множества-
ми:
1)
(
A
∩
B
) =
A
∪
B
;
2)
(
A
∪
B
) =
A
∩
B
;
3)
A
\
(
B
∪
C
) = (
A
\
B
)
∩
(
A
\
C
)
;
4)
A
\
(
B
∩
C
) = (
A
\
B
)
∪
(
A
\
C
)
;
5)
A
\
(
A
\
B
) =
A
∩
B
;
6)
A
\
B
=
A
\
(
A
∩
B
)
;
7)
A
∩
(
B
\
C
) = (
A
∩
B
)
\
(
A
∩
C
) = (
A
∩
B
)
\
C
;
8)
A
∪
B
= (
A
4
B
)
∪
(
A
∩
B
)
;
9)
A
∪
B
=
A
∩
(
B
\
A
)
;
10)
A
=
A
;
11)
A
∪
A
=
U
;
12)
A
∩
A
=
;
13)
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∪
B
) = (
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
B
) =
A
;
14)
(
A
∪
B
)
∩
A
=
A
∩
B
;
15)
A
∩
(
B
\
A
) =
;
16)
(
A
∪
B
)
\
C
= (
A
\
C
)
∪
(
B
\
C
)
;
17)
A
\
(
B
\
C
) = (
A
\
B
)
∪
(
A
∩
C
)
;
18)
A
\
(
B
∪
C
) = (
A
\
B
)
\
C
;
19)
A
4
B
=
B
4
A
;
20)
A
4
(
B
4
C
) = (
A
4
B
)
4
C
;
21)
A
∩
(
B
4
C
) = (
A
∩
B
)
4
(
A
∩
C
)
;
22)
A
4
(
A
4
B
) =
B
;
23)
A
∪
B
=
A
4
B
4
(
A
∩
B
)
;
24)
A
\
B
=
A
4
(
A
∩
B
)
.
1.3. Доказать с использованием определений операций над множе-
ствами и основных свойств операций над множествами:
1)
A
⊆
B
⇔
A
∪
B
=
B
⇔
A
∩
B
=
A
⇔
A
\
B
=
⇔
A
∪
B
=
U
;
2)
A
∪
B
⊆
C
⇔
A
⊆
C
и
B
⊆
C
;
3)
A
⊆
B
∩
C
⇔
A
⊆
B
и
A
⊆
C
;
4)
A
∩
B
⊆
C
⇔
A
⊆
B
∪
C
;
13
5)
A
⊆
B
∪
C
⇔
A
∩
B
⊆
C
;
6)
(
A
\
B
)
∪
B
=
A
⇔
B
⊆
A
;
7)
(
A
∩
B
)
∪
C
=
A
∩
(
B
∪
C
)
⇒
C
⊆
A
;
8)
A
⊆
B
⇒
A
∪
C
⊆
B
∪
C
;
9)
A
⊆
B
⇒
A
∩
C
⊆
B
∩
C
;
10)
A
⊆
B
⇒
A
\
C
⊆
B
\
C
;
11)
A
⊆
B
⇒
C
\
B
⊆
C
\
A
;
12)
A
⊆
B
⇒
B
⊆
A
;
13)
A
∪
B
=
A
∩
B
⇒
A
=
B
;
14)
A
=
B
⇔
A
∩
B
=
и
A
∪
B
=
U
;
15)
A
4
B
=
⇔
A
=
B
;
16)
A
∩
B
=
⇒
A
∪
B
=
A
4
B
;
17)
A
4
B
=
C
⇔
B
4
C
=
A
⇔
C
4
A
=
B
;
18)
A
=
B
⇔
(
A
\
B
)
∪
(
B
\
A
) =
.
1.4. Определить операции
∪
,
∩
,
\
через а)
4
,
∩
, б)
\
,
4
.
1.5. Найти все подмножества множеств
,
{}
,
{
x
}
,
{
1; 2
}
.
1.6. Сколько подмножеств из
k
элементов имеет множество из
n
элементов
(
k
≤
n
)
?
1.7. Доказать, что
(
A
×
B
)
∪
(
C
×
D
)
⊆
(
A
∪
C
)
×
(
B
∪
D
)
. При
каких
A
,
B
,
C
и
D
получается равенство?
1.8. Пусть имеется последовательность множеств
X
0
⊂
X
1
⊆
. . .
⊆
X
n
⊆
. . .
Доказать, что объединение любой бесконечной подпоследовательно-
сти этих множеств совпадает с объединением всей последовательности.
1.9. Существуют ли такие множества
A
,
B
и
C
, что
A
∩
B
6
=
,
A
∩
C
=
,
(
A
∩
B
)
\
C
=
? Привести примеры.
1.10. Какие из утверждений верны для всех
A
,
B
и
C
?
1) Если
A
∈
B
и
B
∈
C
, то
A
∈
C
;
2) Если
A
⊆
B
и
B
⊆
C
, то
A
⊆
C
;
3) Если
A
∩
B
⊆
C
и
A
∪
C
⊆
B
, то
A
∩
C
=
;
4) Если
A
6
=
B
и
B
6
=
C
, то
A
6
=
C
;
5) Если
A
⊆
(
B
∪
C
)
и
B
⊆
A
∪
C
, то
B
=
.
1.11. Найти
A
×
B
,
B
×
A
,
A
2
,
B
3
, если
A
=
{
a, b, c
}
,
B
=
{
7
,
9
}
.
1.12. Доказать, что имеют место следующие равенства:
1)
(
A
∪
B
)
×
C
= (
A
×
C
)
∪
(
B
×
C
)
;
2)
(
A
∩
B
)
×
C
= (
A
×
C
)
∩
(
B
×
C
)
;
3)
(
A
\
B
)
×
C
= (
A
×
C
)
\
(
B
×
C
)
;
4)
A
×
(
B
\
C
) = (
A
×
B
)
\
(
A
×
C
)
.
5)
A
×
(
B
∪
C
) = (
A
×
B
)
∪
(
A
×
C
)
.
14
1.13. Доказать, что
(
A
×
B
)
∪
(
C
×
D
)
⊆
(
A
∪
C
)
×
(
B
∪
D
)
. При
каких
A
,
B
,
C
и
D
получается равенство?
1.14. Найти геометрическую интерпретацию множеств: 1)
A
×
B
;
2)
A
2
; 3)
B
3
, где
A
=
{
x
|
x
∈
R
,
0
≤
x
≤
1
}
,
B
=
{
x
|
x
∈
R
,
1
< x <
2
}
.
1.15. Перечислить все элементы множества Б
(
A
)
, если:
1)
A
=
{
0
,
1
}
; 2)
A
=
{{
1
,
2
}
,
{
3
}
,
1
}
.
1.16. Доказать следующее свойство булеана:
Б
(
A
)
∩
Б
(
B
) =
Б
(
A
∩
B
)
.
1.17. Доказать, что
|
Б
(
A
×
B
)
|
= 2
|
A
×
B
|
= 2
n
·
m
, где
|
A
|
=
n
,
|
B
|
=
m
.
1.18. Доказать свойства мощностей конечных множеств, приведен-
ные на странице 8 данного пособия.
1.19. Пусть
A
1
, . . . , A
k
— произвольные конечные множества. Дока-
зать следующее равенство для мощности объединения этих множеств:
|
A
1
∪
A
2
∪
. . .
∪
A
k
|
=
k
X
i
=1
|
A
k
| −
X
1
≤
i<j
≤
k
|
A
i
∩
A
j
|
+
+
. . .
−
(
−
1)
s
X
1
≤
i
1
<...<i
s
≤
k
|
A
i
1
∩
A
i
2
∩
. . .
∩
A
i
s
|
+
. . .
+
. . .
−
(
−
1)
k
|
A
1
∩
A
2
∩
. . .
∩
A
k
|
.
15