ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 2132
Скачиваний: 5
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Киясов С. Н., Шурыгин В. В.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ,
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Казань — 2011
УДК 517.9
Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
методической комиссии
механико-математического факультета
Протокол № 9 от 7 апреля 2011 г.
заседания кафедры дифференциальных уравнений
Протокол № 9 от 23 марта 2011 г.
Научный редактор:
доктор физ.-мат. наук, проф. И.А. Бикчантаев
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, проф. КФУ Н.Б. Плещинский
канд. физ.-мат. наук, проф. КВВКУ Л.К. Астафьева
Киясов Сергей Николаевич, Шурыгин Вадим Вадимович.
Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач:
Учебное пособие / С.Н. Киясов, В.В. Шурыгин. – Казань: Казанский феде-
ральный университет, 2011. – 112 с.
Учебное пособие предназначено для студентов II курса механико-матема-
тического факультета КФУ.
c
⃝
Казанский федеральный
университет, 2011
c
⃝
Киясов С.Н., Шурыгин В.В., 2011
Часть 1
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
F
(
x, y, y
′
) = 0
,
(0.1)
в котором
x
— независимая переменная,
y
(
x
)
— неизвестная функция.
Диф-
ференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно
производной
, называется уравнение
dy
dx
=
f
(
x, y
)
.
(0.2)
Правую часть уравнения (0.2) будем считать определенной на некотором от-
крытом множестве
D
плоскости
(
x, y
)
. Иногда уравнение (0.2) записывают
в виде
M
(
x, y
)
dx
+
N
(
x, y
)
dy
= 0
(0.3)
и называют
уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах
.
Решением
уравнения (0.2) (или (0.3)) на интервале
I
оси
x
называется
любая дифференцируемая функция
y
=
φ
(
x
)
, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество на
I
.
Общим решением
уравнения (0.2)
называется множество всех его решений. Общее решение зависит от одной
произвольной постоянной
C
и дается формулой
y
=
φ
(
x, C
)
.
(0.4)
Выражение вида
Φ(
x, y, C
) = 0
,
(0.5)
из которого
y
определяется неявно как функция от
x
называется
общим
интегралом
уравнения (0.2).
Решить уравнение (0.2) означает найти его общее решение или общий ин-
теграл. При этом предпочтение, как правило, отдается более компактной за-
писи ответа.
Формы записи уравнения в виде (0.2) или (0.3) равносильны и из одной
записи можно получить другую. Однако, в некоторых случаях, форма запи-
си (0.3) оказывается предпочтительнее, так как в нее переменные
x
и
y
вхо-
дят симметрично. Поэтому, если независимую переменную и искомую функ-
цию поменять местами (разрешить уравнение относительно
dx
dy
), то общее ре-
шение
x
=
ψ
(
y, C
)
полученного уравнения определит общий интеграл урав-
нения (0.2).
3
Рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения (0.2), удовле-
творяющее условию
y
(
x
0
) =
y
0
,
где
(
x
0
, y
0
)
∈
D.
(0.6)
Условие (0.6) называется
начальным условием
, а сама поставленная зада-
ча —
задачей Коши
. Любое решение
y
=
φ
(
x
)
уравнения (0.2) определя-
ет на множестве
D
некоторую кривую, которую называют
интегральной
кривой
уравнения. Поэтому, геометрический смысл задачи Коши состоит в
том, чтобы найти интегральную кривую уравнения, проходящую через точку
(
x
0
, y
0
)
∈
D
. Чтобы решить задачу Коши, нужно подставить начальное усло-
вие (0.6) в (0.4) или (0.5) и определить оттуда значение
C
=
C
0
, при котором
точка
(
x
0
, y
0
)
лежит на искомой интегральной кривой. Тогда решение задачи
Коши запишется в виде
y
=
φ
(
x, C
0
)
или
Φ(
x, y, C
0
) = 0
.
§
1. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения,
приводящиеся к ним
1.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения с разделяющимися переменными — это уравнения, которые могут
быть записаны в виде
y
′
=
φ
(
x
)
ψ
(
y
)
(1.1)
или же в виде
M
(
x
)
N
(
y
)
dx
+
P
(
x
)
Q
(
y
)
dy
= 0
.
(1.2)
Чтобы решить такое уравнение, необходимо
разделить переменные
, то есть,
привести уравнение к такой форме, чтобы при дифференциале
dx
стояла
функция, зависящая лишь от
x
, а при дифференциале
dy
— функция, зави-
сящая от
y
. Для этого уравнение вида (1.1) следует переписать в форме
dy
ψ
(
y
)
=
φ
(
x
)
dx,
а уравнение вида (1.2) в форме
M
(
x
)
P
(
x
)
dx
+
Q
(
y
)
N
(
y
)
dy
= 0
.
Таким образом, уравнение с разделяющимися переменными сводится к урав-
нению
f
(
x
)
dx
+
g
(
y
)
dy
= 0
.
(1.3)
4
Пусть
F
(
x
) =
∫
x
x
0
f
(
x
)
dx
и
G
(
y
) =
∫
y
y
0
g
(
y
)
dy
,
(
x
0
, y
0
)
∈
D
— первообразные
для функций
f
(
x
)
и
g
(
y
)
соответственно. Тогда их дифференциалы равны
dF
(
x
) =
f
(
x
)
dx
и
dG
(
y
) =
g
(
y
)
dy.
Следовательно, уравнение (1.3) можно переписать в виде
dF
(
x
) +
dG
(
y
) =
d
(
F
(
x
) +
G
(
y
)) = 0
.
Но дифференциал функции равен нулю тогда и только тогда, когда эта функ-
ция — константа. Поэтому общим решением уравнения (1.3) будет
F
(
x
) +
G
(
y
) =
∫
x
x
0
f
(
x
)
dx
+
∫
y
y
0
g
(
x
)
dy
= const
.
Заметим, что при разделении переменных могут теряться решения вида
x
=
x
0
,
y
=
y
0
за счет обращения в нуль функций
P
(
x
)
и
N
(
y
)
. Поэтому,
если потерянное решение не может быть получено из общего решения при
каком-нибудь
C
=
C
0
, его необходимо также включить в ответ.
Пример 1
. Рассмотрим уравнение (задачу Коши)
(
x
+ 1)
y dx
+ (
y
+ 2)
dy
= 0
, y
(1) = 1
.
(1.4)
Решение.
Разделяя переменные, получим
(
x
+ 1)
dx
+
y
+ 2
y
dy
= 0
.
Интегрируем полученные выражения и учитывая, что неопределенный инте-
грал означает множество всех первообразных, отличающихся на постоянную,
получим
∫
(
x
+ 1)
dx
+
∫
y
+ 2
y
dy
=
1
2
(
x
+ 1)
2
+ (
y
+ 2 ln
|
y
|
) +
C
= 0
.
Следовательно, общий интеграл уравнения (1.4) (если произвольную посто-
янную
C
взять в виде
−
C
) есть
1
2
(
x
+ 1)
2
+ (
y
+ 2 ln
|
y
|
) =
C.
В процессе преобразования уравнения мы делили на
y
. Подставив
y
= 0
в
уравнение (1.4), убеждаемся, что
y
= 0
тоже является решением и не полу-
чается из общего интеграла ни при каком значении
C
, так как не входит в
область его определения.
5