ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 498
Скачиваний: 1
Московский
государственный
технический
университет
им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Соболев
С
.
К
.
Дифференциальные
уравнения
Методические
указания
к
решению
задач
Москва
МГТУ
им
.
Баумана
2008
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
2
Предисловие
.
В
обычной
школьной
математике
школьники
привыкли
,
что
в
задачах
и
уравнениях
,
к
которым
эти
задачи
сводятся
,
неизвестными
являются
одно
или
несколько
чисел
,
т
.
е
.
постоянных
величин
.
Однако
с
развитием
математики
и
более
глубоким
осознанием
возникающих
проблем
,
которые
можно
было
решить
,
применяя
математику
,
стали
появляться
задачи
,
в
которых
неизвестными
являются
не
постоянные
величины
,
а
переменные
,
т
.
е
.
функции
.
Уравнения
,
содержащие
неизвестную
функцию
,
которую
надо
найти
,
называются
функциональными
.
Большой
класс
функциональных
уравнений
связывает
между
собой
аргумент
,
искомую
функцию
и
её
производную
.
Как
правило
,
аргументом
является
время
.
Например
,
при
прямолинейном
движении
точки
уравнение
( , , , )
0
F t x v a
=
связывает
координату
( )
x t
точки
,
её
скорость
( )
dx
v t
dt
=
и
ускорение
2
2
( )
dv
d x
a t
dt
dt
=
=
в
любой
момент
времени
t
,
что
может
быть
записано
в
виде
2
2
, ,
,
0
dx d x
F t x
dt dt
=
.
Уравнение
,
связывающие
аргумент
,
искомую
функцию
и
её
одну
или
несколько
первых
производных
,
называется
дифференциальным
уравнением
.
Оказывается
,
дифференциальными
уравнениями
связаны
между
собой
многие
физические
величины
,
например
,
величина
заряда
на
конденсаторе
,
электрический
ток
и
скорость
его
изменения
в
замкнутом
контуре
.
Дифференциальными
уравнениями
описываются
многие
процессы
в
технике
,
химии
,
экономике
,
биологии
,
психологии
и
т
.
д
.
Дифференциальное
уравнение
,
в
котором
,
кроме
аргумента
и
искомой
функции
входят
производные
искомой
функции
вплоть
до
п
-
го
порядка
,
называется
дифференциальным
уравнением
п
-
го
порядка
.
Если
дифференциальное
уравнение
содержит
неизвестную
функцию
одного
аргумента
,
то
оно
называется
обыкновенным
.
А
если
неизвестная
функция
зависит
от
двух
или
большего
числа
аргументов
и
в
уравнение
входят
частные
производные
этой
функции
,
то
тогда
оно
называется
дифференциальным
уравнением
с
частными
производными
.
В
настоящем
пособии
рассматриваются
только
обыкновенные
дифференциальные
уравнения
.
Обыкновенное
дифференциальное
уравнение
п
-
го
порядка
имеет
бесконечное
число
решений
,
зависящих
от
п
произвольных
констант
.
Чтобы
найти
значения
этих
констант
,
надо
еще
задать
дополнительные
начальные
условия
.
В
настоящем
пособии
разбираются
методы
решения
дифференциальных
уравнений
,
в
основном
,
первого
и
второго
порядка
.
Подробно
разбираются
линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами
,
метод
Лагранжа
и
метод
неопределенных
коэффициентов
.
Данное
пособие
будет
полезно
студентам
экономических
и
технических
специальностей
.
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
3
1.
Дифференциальные
уравнения
первого
порядка
.
1.1.
Введение
в
дифференциальные
уравнения
первого
порядка
Дифференциальное
уравнение
(
ДУ
)
первого
порядка
имеет
вид
( , ,
)
0
F x y y
′ =
,
где
х
–
аргумент
,
( )
y
y x
=
–
неизвестная
функция
(
которую
надо
найти
),
dy
y
dx
′ =
–
её
производная
.
Его
решение
надо
начать
с
того
,
что
привести
его
в
виду
:
( , )
( , )
dy
y
f x y
f x y
dx
′ =
⇔
=
,
где
( , )
f x y
–
известная
функция
.
Дифференциальное
уравнение
имеет
бесконечное
число
различных
решений
.
Каждое
из
таких
решений
называется
частным
решением
.
Совокупность
всех
частных
решений
называется
общим
решением
дифференциального
уравнения
.
Общее
решение
дифференциального
уравнения
первого
порядка
содержит
одну
произвольную
константу
С
,
т
.
е
.
имеет
вид
( , )
y
x C
ϕ
=
;
это
значит
,
что
при
любом
значении
0
C
C
=
функция
0
( ,
)
y x C
является
решением
,
и
любое
частное
решение
можно
найти
из
общего
,
подобрав
соответствующее
значение
константы
С
.
Если
задано
дополнительное
начальное
условие
:
0
0
(
)
y x
y
=
,
то
,
как
привило
,
можно
найти
единственное
частное
решение
,
удовлетворяющее
ему
.
Дифференциальное
уравнение
вида
( , )
y
f x y
′ =
с
начальным
условием
0
0
(
)
y x
y
=
называется
задачей
Коши
.
Решение
дифференциального
уравнения
может
быть
получено
как
в
явном
виде
( )
y
y x
=
(
у
выражено
через
х
),
так
и
в
неявном
,
т
.
е
.
в
виде
( , )
0
G x y
=
(
когда
не
удается
явно
выразить
у
через
х
).
В
последнем
случае
решение
дифференциального
уравнения
называется
интегралом
этого
ДУ
.
Теорема
Коши
.
Если
в
некоторой
(
двумерной
)
окрестности
1
точки
0
0
0
(
;
)
M
x
y
функция
( , )
f x y
и
её
частная
производная
по
у
( , )
f x y
y
∂
∂
непрерывны
,
то
найдется
такая
(
одномерная
)
окрестность
точки
0
x
в
которой
решение
задачи
Коши
( , )
y
f x y
′ =
,
0
0
(
)
y x
y
=
,
существует
и
единственно
.
1.2.
Основные
типы
дифференциальных
уравнений
первого
порядка
и
методы
их
решения
.
Пусть
дано
дифференциальное
уравнение
первого
порядка
вида
( , )
( , )
dy
y
f x y
f x y
dx
′ =
⇔
=
.
Мы
будем
классифицировать
эти
уравнения
в
зависимости
от
вида
функции
( , )
f x y
.
1)
( , )
( )
( )
f x y
g x
h y
=
⋅
–
дифференциальное
уравнение
с
разделяющимися
переменными
.
В
этом
случае
дифференциальное
уравнение
имеет
вид
( )
( )
dy
g x
h y
dx
=
⋅
.
1
Окрестность
точки
0
M
на
плоскости
–
это
внутренность
круга
или
квадрата
с
центром
в
данной
точке
0
M
.
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
4
Метод
решения
:
разделить
переменные
(
т
.
е
.
отделить
их
друг
от
друга
),
а
затем
проинтегрировать
:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
dy
dy
dy
g x
h y
g x
dx
g x dx
dx
h y
h y
=
⋅
⇔
=
⋅
⇒
=
∫
∫
( )
( )
H y
G x
C
⇒
=
+
.
2)
( )
( , )
y
x
f x y
ϕ
=
–
дифференциальное
уравнение
с
однородной
2
правой
частью
,
т
.
е
.
данное
дифференциальное
уравнение
имеет
вид
:
( )
y
x
dy
dx
ϕ
=
Метод
решения
:
ввести
новую
неизвестную
( )
y
dy
du
u
u x
y
x u
u
x
x
dx
dx
=
=
⇒
= ⋅
⇒
=
+ ⋅
,
получим
дифференциальное
уравнение
с
разделяющимися
переменными
относительно
функции
( )
u x
:
( )
( )
( )
( )
( )
y
x
dy
u
u
du
du
du
dx
du
dx
u
x
u
dx
dx
dx
x
u
u
x
u
u
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
⇔
+ ⋅
=
⇔
=
⇔
=
⇒
=
−
−
∫
∫
.
Интегрируя
,
находим
функцию
( )
u x
,
а
затем
и
( )
( )
y x
x u x
= ⋅
.
3)
( , )
( )
( )
f x y
A x y
B x
=
⋅ +
(
где
( )
A x
и
( )
B x
–
некоторые
известные
функции
)
–
линейное
дифференциальное
уравнение
,
т
.
е
.
вида
( )
( )
y
A x y
B x
′ =
⋅ +
.
Метод
решения
:
существуют
два
метода
решения
этого
уравнения
,
которые
различаются
лишь
обозначениями
.
Первый
метод
(
метод
Бернулли
)
:
Решение
линейного
дифференциального
уравнения
( )
( )
y
A x y
B x
′ =
⋅ +
ищут
в
виде
произведения
двух
функций
( )
( )
y
u x
v x
=
⋅
,
которые
находят
по
формулам
:
( )
( )
A x dx
u x
e
∫
=
(
без
произвольной
константы
)
( )
( )
( )
B x
v x
dx
u x
=
∫
(
с
произвольной
константой
).
Обоснование
:
пусть
( )
( )
y
u x
v x
=
⋅
,
тогда
y
u v
u v
′
′
′
=
⋅ + ⋅
,
подставим
в
ДУ
(*),
получим
(
)
( )
( )
( )
( )
u v
u v
A x u v
B x
v
u
A x u
u v
B x
′
′
⋅ + ⋅
=
⋅ ⋅ +
′
′
⋅
−
⋅
+ ⋅
=
Мы
имеем
одно
дифференциальное
уравнение
с
двумя
неизвестными
функциями
( )
u x
и
( )
v x
.
Однозначно
эти
функции
найти
нельзя
.
Добавим
еще
одно
условие
,
а
именно
,
положим
равной
нулю
выражение
в
скобках
в
последнем
уравнении
.
Получим
систему
2
однородная
функция
порядка
k
–
функция
нескольких
переменных
1
2
( ,
, ...,
)
n
f x x
x
,
для
которой
выполняется
равенство
1
2
1
2
(
,
, ...,
)
( ,
, ...,
)
k
n
n
f
x
x
x
f x x
x
λ
λ
λ
λ
=
⋅
для
любого
λ
∈
R
.
Однородная
функция
нулевого
порядка
называется
просто
однородной
,
для
неё
выполняется
условие
:
1
2
1
2
(
,
, ...,
)
( ,
, ...,
)
n
n
f
x
x
x
f x x
x
λ
λ
λ
=
.
Однородная
функция
двух
переменных
( , )
f x y
зависит
только
от
отношения
переменных
,
т
.
е
.
имеет
вид
( )
( , )
y
x
f x y
ϕ
=
.
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
5
дифференциальных
уравнений
:
{
( )
( )
( )
0,
( )
( )
( )
( )
( )
du
du
A x dx
A x u
u
A x u
u
dx
B x
dv
u v
B x
dv
u x
B x
dx
u x
dx
=
=
⋅
′ −
⋅ =
⇔
⇔
′
⋅
=
=
⋅
=
∫
∫
Возьмем
частное
решение
первого
уравнения
( )
( )
A x dx
u x
e
∫
=
и
подставим
его
во
второе
,
получим
( )
( )
B x
v
dx
u x
=
∫
.
Второй
способ
решения
линейного
ДУ
( )
( )
y
A x y
B x
′ =
⋅ +
:
(
метод
Лагранжа
вариации
постоянной
).
Сначала
решим
соответствующее
линейное
однородное
ДУ
( )
( )
dy
y
A x y
A x y
dx
′ =
⋅ ⇔
=
⋅
.
Решив
это
уравнение
,
получим
его
общее
решение
1
( )
y
C y x
=
⋅
,
где
( )
1
( )
A x dx
y x
e
∫
=
.
Общее
решение
неоднородного
линейного
дифференциального
уравнения
( )
( )
y
A x y
B x
′ =
⋅ +
будем
искать
в
виде
1
( )
( )
y
C x
y x
=
⋅
,
где
функцию
( )
C x
надо
найти
.
Найдем
производную
1
1
( )
( )
( )
( )
y
C x
y x
C x
y
x
′
′
′
=
⋅
+
⋅
и
подставим
её
в
неоднородное
ДУ
( )
( )
y
A x y
B x
′ =
⋅ +
,
получим
:
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
C x
y x
C x
y
x
A x C x y x
B x
′
′
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
+
.
Поскольку
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
y
A x y
C x y
C x A x y
′
′
≡
⋅
⇒
⋅
≡
⋅
⋅
,
получим
такое
уравнение
:
1
( )
( )
( )
C x
y x
B x
′
⋅
=
,
из
которого
находим
1
( )
( )
( )
B x
C x
y x
′
=
,
интегрируя
которого
находим
( )
C x
(
при
этом
возникает
настоящая
произвольная
постоянная
).
Понятно
,
что
эти
два
метода
различаются
лишь
обозначениями
:
1
( )
( ), ( )
( )
u x
y x v x
C x
=
=
.
4) ( , )
( )
( )
f x y
A x y
B x
y
α
=
⋅ +
⋅
, (
где
0
α
≠
и
1
α
≠
)
–
дифференциальное
уравнение
типа
Бернулли
,
т
.
е
.
это
ДУ
вида
( )
( )
y
A x y
B x
y
α
′ =
⋅ +
⋅
.
Для
этого
ДУ
также
существуют
два
метода
решения
:
метод
Бернулли
и
метод
сведения
к
линейному
ДУ
.
Первый
метод
:
метод
Бернулли
.
пусть
( )
( )
y
u x
v x
=
⋅
,
тогда
y
u v
u v
′
′
′
=
⋅ + ⋅
,
подставим
в
ДУ
(*),
получим
(
)
( )
( )
( )
( )
u v
u v
A x u v
B x u
v
v
u
A x u
u v
B x u
v
α
β
α
β
′
′
⋅ + ⋅
=
⋅ ⋅ +
⋅
⋅
′
′
⋅
−
⋅
+ ⋅
=
⋅
⋅
Опять
положим
равной
нулю
выражение
в
скобках
в
последнем
уравнении
.
Получим
систему
дифференциальных
уравнений
с
разделяющимися
переменными
: