ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.04.2021
Просмотров: 742
Скачиваний: 1
М И Н И СТ Е РСТ В О
О БРА ЗО В А Н И Я
И
Н А У К И
РО ССИ Й СК О Й
Ф Е Д Е РА Ц И И
В О РО Н Е Ж СК И Й
ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й
У Н И В Е РСИ Т Е Т
ЗА Д А ЧИ
ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н О ГО
ЭК ЗА М Е Н А
П Р А КТ И КУ М
специ альность
010501
–
П РИ К ЛА Д Н А Я
М А Т Е М А Т И К А
И
И Н Ф О РМ А Т И К А
В О РО Н Е Ж
2004
2
У тверждено
у ч ебно
-
м етоди ч еск и м
советом
ф ак у льтета
прик ладной
м атем ати к и
,
и нф орм ати к и
и
м ехани к и
проток ол
№
7
от
18.06.2004
г
.
Состави тели
:
В оронк ов
Б
.
Н
.,
Радч енк о
Т
.
А
.
Рецензент
:
к
.
ф
.-
м
.
н
.,
доцент
к аф едры
ради оф и зи к и
В оронежск ого
госу дарственного
у ни верси тета
М арш ак ов
В
.
К
.
П рак ти к у м
подготовлен
на
к аф едре
техни ч еск ой
к и бернети к и
и
автом ати ч еск ого
регу ли ровани я
ф ак у льтета
прик ладной
м атем ати к и
,
и нф орм ати к и
и
м ехани к и
В оронежск ого
госу дарственного
у ни верси тета
.
Рек ом енду ется
для
сту дентов
4-
го
, 5-
го
к у рсов
дневного
отделени я
и
сту дентов
6-
го
к у рса
веч ернего
отделени я
.
3
П р едис л ов ие
Д анны й
прак ти к у м
содержи т
задач и
по
теории
вероя тностей
и
м атем ати ч еск ой
стати сти к е
,
к оторы е
предлагали сь
сту дентам
ф ак у льтета
П М М
на
госу дарственном
эк зам ене
в
1998
–
2004
годах
.
Разбор
и
реш ени е
представленны х
задач
м ожет
ок азать
сту дентам
пом ощь
в
освоени и
к у рса
теории
вероя тностей
и
м атем ати ч еск ой
стати сти к и
,
а
так же
м ожет
бы ть
полезны м
при
подготовк е
к
вы пу ск ны м
эк зам енам
.
1.
З а дачи
к
экза м ену
на
с теп ень
ба ка л а в р а
, 1997/1998
уч
.
год
1.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
задана
плотностью
распределени я
вероя тностей
=
>
−
≤
−
=
.
,
,
,
0
,
,
2
1
)
(
const
b
a
b
a
x
b
a
x
b
x
f
Н айти
F(x), M
ξ
, P(
ξ≥
M
ξ
).
2.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
задана
плотностью
распределени я
вероя тностей
.
0
,
0
,
)
2
exp(
)
(
2
2
>
≥
−
⋅
⋅
=
a
x
a
x
x
C
x
f
Н айти
к онстанту
С
и
вероя тности
P(
ξ≥
a
)
и
Ρ(ξ<
a
)
.
3.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
задана
плотностью
распределени я
вероя тностей
3
)
(
x
C
x
f
⋅
=
,
|
х
|≤
1.
Н айти
к онстанту
С
, F(x), P(
|ξ|<
0,3).
4.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
задана
ф у нк ци ей
распределени я
вероя тностей
.
0
,
)
exp(
1
)
(
≥
−
⋅
Β
−
=
x
T
x
x
F
Н айти
к онстанту
В
,
М
ξ
,
Р
(
Т
≤ξ<2Τ
).
5.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
задана
ф у нк ци ей
распределени я
вероя тностей
>
≤
<
+
≤
<
−
−
≤
=
.
1
,
1
,
1
0
,
4
,
0
,
0
1
,
4
,
0
,
1
,
0
)
(
x
x
p
x
x
x
F
Н айти
к онстанту
p, M
ξ
, M
η
и
D
η
,
где
η=|ξ|+1
.
6.
П рои зводи тся
и спы тани е
трех
приборов
.
В ероя тность
отк аза
к аждого
и з
ни х
р
=0,1.
О тк аз
лю бого
прибора
не
вли я ет
на
работоспособность
остальны х
.
4
П острои ть
ф у нк ци ю
распределени я
вероя тностей
слу ч айной
вели ч и ны
ξ
-
ч и сла
отк азавш и х
приборов
.
Н айти
среднее
ч и сло
отк азавш и х
приборов
(
М
ξ
).
7.
Слу ч айны е
вели ч и ны
ξ
и
η
-
незави си м ы
и
равном ерно
распределены
в
и нтервале
(0; 2).
Н айти
Μγ
и
D
γ
,
если
γ=ξ
·
(1−ξη)
.
8.
М етодом
м ом ентов
найти
по
вы борке
Х
=(
Х
1
,
Х
2
, ...
Х
n
)
и з
генеральной
совок у пности
,
и м ею щей
равном ерное
распределени е
в
и нтервале
(
а
; b),
оценк и
парам етров
«
a
»
,
«
b
»
.
9.
Среди
2020
сем ей
,
и м ею щи х
дву х
детей
:
в
527
сем ьях
-
два
м альчи к а
,
в
476 -
две
девоч к и
,
в
1017
сем ьях
-
м альчи к
и
девоч к а
.
М ожно
ли
при
у ровне
знач и м ости
0,05
сч и тать
,
ч то
к оли ч ество
м альчи к ов
в
сем ье
с
дву м я
детьм и
-
слу ч айная
вели ч и на
,
распределенная
по
би ном и альном у
зак ону
?
10.
Н айти
м етодом
м ак си м ального
правдоподоби я
оценк у
парам етра
θ
пок азательного
распределени я
,
и м ею щего
плотность
распределени я
вероя тностей
f x
x
( )
exp(
)
=
−
1
θ
θ
при
х
≥
0.
Я вля ется
ли
эта
оценк а
несм ещенной
,
состоя тельной
,
эф ф ек ти вной
?
2.
З а дачи
к
гос экза м ену
,
в ечер нее
отдел ение
, 1997/1998
уч
.
год
1.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
распределена
по
зак ону
К ош и
с
плотностью
.
,
,
1
)
(
2
R
x
const
a
x
a
x
f
∈
=
+
=
Н айти
: 1)
к оэф ф и ци ент
a
; 2)
ф у нк ци ю
распределени я
)
(
x
F
ξ
; 3)
вероя тность
попадани я
ξ
в
и нтервал
(-1; 1). 4)
Су ществу ю т
ли
для
ξ
ч и словы е
харак теристи к и
:
м атем ати ч еск ое
ожи дани е
и
ди сперси я
? (
О твет
необходи м о
обосновать
).
2.
Задана
ф у нк ци я
:
=
∞
<
<
−
⋅
−
≤
<
≤
=
.
,
5
,
0
,
)
exp(
1
,
5
,
0
0
,
,
0
,
0
)
(
2
const
a
x
x
a
x
x
x
x
F
ξ
П ри
к ак ом
знач ени и
парам етра
a
данная
ф у нк ци я
я вля ется
ф у нк ци ей
распределени я
вероя тностей
нек оторой
слу ч айной
вели ч и ны
ξ
?
П острои ть
5
граф и к
плотности
распределени я
вероя тностей
)
(
x
f
ξ
;
найти
ξ
M
и
.
}
4
3
4
1
{
≤
<
ξ
P
3.
Задан
ряд
распределени я
вероя тностей
ди ск ретной
слу ч айной
вели ч и ны
ξ
i
x
-3
-1
0
1
5
x
i
p
0,3
q
0,2 0,3
0,1
и
.
5
,
0
−
=
ξ
M
Н айти
знач ени я
5
x
, q.
В ы ч и сли ть
ξ
D
.
Запи сать
анали ти ч еск ое
вы ражени е
и
построи ть
граф и к
ф у нк ци и
распределени я
вероя тностей
)
(
x
F
ξ
.
4. C
лу ч айная
вели ч и на
const
b
a
b
a
=
+
⋅
=
,
,
ξ
η
.
П лотность
=
<
∞
<
≤
−
⋅
=
.
,
0
,
0
,
0
,
)
2
exp(
)
(
const
c
x
x
x
c
x
f
ξ
Н айти
.
η
M
5.
П о
резу льтатам
подбрасы вани я
и гральной
к ости
составлено
распределени е
ч астот
i
x
1
2
3
4
5
6
i
n
5
9
11 8
6
9
где
i
x
-
ч и сло
оч к ов
на
соответству ю щей
грани
к у би к а
;
i
n
-
ч и сло
вы падени й
соответству ю щей
грани
.
И спользу я
к ритерий
2
χ
-
П и рсона
при
у ровне
знач и м ости
05
,
0
=
α
,
проверить
ги потезу
о
ди ск ретном
равном ерном
зак оне
распределени я
ч и сла
вы павш и х
оч к ов
.
3.
З а дачи
к
экза м ену
на
с теп ень
ба ка л а в р а
, 1998/1999
уч
.
год
1.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
задана
плотностью
распределени я
вероя тностей
[
]
[
]
−
∉
−
∈
+
⋅
=
.
2
,
1
,
0
,
2
,
1
,
)
1
(
)
(
x
x
x
a
x
f
Н айти
к онстанту
« а»
, F(x),
а
так же
M
η
и
D
η
,
если
η=ξ−1
.
2.
Слу ч айная
вели ч и на
ξ
распределена
норм ально
с
парам етрам и
(1;1),
а
слу ч айная
вели ч и на
η
-
равном ерно
в
и нтервале
[0
;
2]
.
Н айти
М
(
ξ+η), Μ(ξη), Μξ
2
,
D(
ξ−η)
,
если
к оэф ф и ци ент
к орреля ци и
м ежду
ξ
и
η
равен
ρ
.