Файл: Методические рекомендации по реализации требований к результатам обучения математике содержание основания для разработки примерной.pdf

10
класс,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ГЕОМЕТРИЯ 10 КЛАСС (базовый уровень, соц.-гум. профиль)
ТЕМА «ПИРАМИДА. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ»
Личностные
Трудовое воспитание: интерес к различным сферам профессиональной деятельности, связанным с математикой и ее приложениями
Метапредметные результаты
Базовые исследовательские действия: устанавливать особенности математического объекта, выявлять зависимости между объектами
Предметные результаты:
Распознавать виды пирамид, формулировать свойства ребер, граней и высоты пирамиды. Решать задачи на вычисление, связанные с пирамидами.
18
Учебное задание для формирования комплекса планируемых результатов
ЖИЛОЙ ДОМ
На фотографии виден жилой дом, у которого крыша имеет форму пирамиды. Ниже изображена сделанная учащимися математическая модель
крыши дома и указаны длины некоторых отрезков.
На данной модели пол у чердака дома – квадрат
ABCD
. Балки, на которые опирается крыша, являются сторонами бетонного блока, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда
EFGHKLMN. E
– середина ребра АТ, F –середина
ВТ, G – середина СТ, Н – середина DT. Все ребра пирамиды равны 12 м.
ЗАДАНИЕ 1
Вычислите площадь чердака – квадрата ABCD.
РЕШЕНИЕ
???? = 12 ∙ 12 = 144 м
2
;
ЗАДАНИЕ 2
Найдите длину отрезка EF – горизонтальной стороны бетонного блока
???????? =
1 2
???????? =
1 2
∙ 12 = 6 м .
ОТВЕТ: 144 м
2
, 5 м.

11
класс,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ГЕОМЕТРИЯ 11 КЛАСС (углубленный уровень, соц.-эконом. профиль)
ТЕМА «ПИРАМИДА. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ»
Личностные
Ценности научного познания: сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики
Метапредметные результаты
Базовые логические действия: выявлять математические закономерности, взаимосвязи в фактах, явлениях
Предметные результаты
Свободно оперировать понятиями: объем тела, объем пирамиды; анализировать и моделировать на языке геометрии реальные ситуации
19
Учебное задание для формирования комплекса планируемых результатов
ЗАДАЧА
Дано: FABCD – правильная пирамида,
ABCD
– основание пирамиды (первоначальный капитал фирмы),
FO
– высота (количество клиентов, привлеченных в фирму)
Найдите объём пирамиды (объём капитала, полученного фирмой)
Сравните результаты 1 и 2 задачи
Сделайте экономический вывод о зависимости объема полученного капитала от количества клиентов, привлеченных в фирму
РЕШЕНИЕ
1)
???? =
1 3
????
осн.
∙ ℎ
2)
????
1
=
1 3
∙ 12 2
∙ 4 = 192 ед.
3
– объем капитала, полученного первой фирмой;
3)
????
2
=
1 3
∙ 12 2
∙ 10 = 480 ед.
3
–
объем капитала, полученного второй фирмой;
4)
????
2
????
1
=
480 192
= 2,5 (раза).
Вывод
1.
Количество клиентов, привлечённых в фирму № 2 в 2,5 раза больше количества клиентов, привлеченных в фирму № 1.
2.
Объём полученного капитала фирмой № 2 в 2,5 раза больше капитала, полученного фирмой №1.
3. Следовательно, существует прямая пропорциональная зависимость объема капитала от количества клиентов, привлеченных в фирму.

11
класс,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
20
ГЕОМЕТРИЯ 11 КЛАСС ТЕМА «ПИРАМИДА. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ»
(углубленный уровень, технологический (инженерный) профиль)
ЗАДАЧА
Определите объем пирамиды, у которой основание – треугольник со сторонами 15 см,
16 см и 17 см, а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45

Выполните решение по программе и ответьте на вопрос.
А
В
С
D
H
Программа решения:

найдем площадь основания по формуле Герона;

найдем радиус описанной около треугольника окружности по обобщенной теореме синусов;

делаем вывод о равенстве радиуса описанной окружности высоте пирамиды;

по известной формуле находим объем пирамиды.
ВОПРОС
Можно ли решить задачу, не вычисляя площадь основания и высоту пирамиды?
РЕШЕНИЕ – ОТВЕТ
Да, если решать задачу в общем виде.
???? =
???? ∙ ℎ
3
=
???? ∙ ????
3
=
????
3
∙
????????????
4????
=
????????????
12
=
15 ∙ 16 ∙ 17 12
= 340 см
2
ОТВЕТ: 340 см
2
Личностные
Ценности научного познания: сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики
Метапредметные результаты
Базовые логические действия: выявлять математические закономерности, взаимосвязи в фактах, явлениях
Предметные результаты
Свободно оперировать понятиями: объем тела, объем пирамиды; анализировать и моделировать на языке геометрии реальные ситуации.
???? =
1 3
???? ∙ ℎ
???? =
???? ∙ ???? ∙ ????
4????
ПОДСКАЗКА

10 класс:
Представление данных и описательная статистика
Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами
Операции над событиями, сложение вероятностей
Условная вероятность, дерево случайного опыта, формула полной вероятности и независимость событий
Элементы комбинаторики
Серии последовательных испытаний
Случайные величины и распределения
11 класс:
Математическое ожидание случайной величины
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины
Закон больших чисел
Непрерывные случайные величины (распределения)
Нормальное распределения базовый уровень углубленный уровень
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ
И СТАТИСТИКА»
(по годам обучения)
10 класс
Элементы теории графов
Испытания Бернулли
Случайный выбор из конечной совокупности
Математическое ожидание бинарной величины
Дисперсия бинарной величин
11
класс:
Неравенство Чебышёва
Теорема Бернулли
Функция плотности вероятности
Распределение Пуассона
Ковариация двух случайных величин
Линейная регрессия
+
+
21

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
22
10
класс
11
класс
УЧЕБНЫЙ
КУРС
«ВЕРОЯТНОСТЬ И
СТАТИСТИКА»
Читать и строить таблицы и диаграммы
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, размах
Оперировать понятиями: случайный эксперимент, случайное событие; находить вероятность в опытах с равновозможными случайными событиями
Находить и формулировать события: пресечение и объединение данных событий
Оперировать событиями: условная вероятность, независимые события
Применять комбинаторное правило умножения
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания
Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью диаграмм
Оперировать понятием математического ожидания
Иметь представление о законе больших чисел
Иметь представление о нормальном распределении

10
класс,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные
Ценности научного познания:
овладение языком математики и математической культурой как средством познания мира
Метапредметные результаты
Базовые исследовательские действия: проводить самостоятельно спланированный эксперимент
Предметные результаты:
Распознавать и применять формулу полной вероятности в решении задач
23
Учебное задание для формирования комплекса планируемых результатов
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 10 КЛАСС
ТЕМА «ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ»
(базовый уровень, соц.-гум. профиль)
ЗАДАЧА
В эксперименте используются карточки белого и зелёного цветов, на которых изображены геометрические фигуры: квадрат или треугольник. Вероятность того, что на зелёной карточке изображён треугольник, равна 0,85. Для белой карточки эта вероятность равна 0,9. Найдите вероятность того, что наудачу взятая карточка будет содержать треугольник, если в эксперименте используется одинаковое количество карточек зелёного и белого цветов.
РЕШЕНИЕ
Так как в эксперименте используется одинаковое количество карточек белого и зелёного цветов, то выбор карточки любого цвета равновозможен и соответствующая вероятность выбора равна 0,5 для каждого цвета.
Вероятность того, что на зелёной карточке изображён треугольник ෦
????
1
= 0,85, на белой – ෦
????
2
= 0,9.
По формуле полной вероятности ???? = ????
1
∙ ෦
????
1
+ ????
2
∙ ෦
????
2
= 0,5 ∙ 0,85 + 0,5 ∙ 0,9 = 0,875 −
вероятность того, что наудачу взятая карточка будет содержать треугольник.
ОТВЕТ: 0, 875.

10
класс,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные
Ценности научного познания:
овладение языком математики и математической культурой как средством познания мира
Метапредметные результаты
Базовые исследовательские: распознавать по содержанию задачи формулу полной вероятности
Предметные результаты:
Решать задачи на полную вероятность в несколько шагов
24
Учебное задание для формирования комплекса планируемых результатов
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 10 КЛАСС
ТЕМА «ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ»
(базовый уровень, соц.-эконм. профиль)
ЗАДАЧА
Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полёта и в условиях перегрузки при взлете и посадке.
Крейсерский режим полета составляет 80% всего времени полёта,
условия перегрузки – 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна
0,1, в условиях перегрузки – 0,4. Найти вероятность того, что прибор не откажет в течение всего полёта.
РЕШЕНИЕ
Из условия следуют: ????
1
= 0,8, ????
2
= 0,2 – вероятности того, что самолет находится в нормальном режиме и режиме перегрузки соответственно.
෦
????
1
= 1 − 0,1 = 0,9 и ෦
????
2
= 1 − 0,4 = 0,6 − вероятности безотказной работы прибора для соответствующих режимов.
По формуле полной вероятности:
???? =
????
1
∙ ෦
????
1
+ ????
2
∙ ෦
????
2
= 0,8 ∙ 0,9 + 0,2 ∙ 0,6 == 0,72 + 0,12 = 0,84 −
– вероятность того, что прибор не откажет в течение всего полёта.
ОТВЕТ: 0,84.

10
класс,
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные
Ценности научного познания:
овладение языком математики и математической культурой как средством познания мира
Метапредметные результаты
Самоорганизация: самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения
Предметные результаты:
оценивать изменение вероятностей событий по мере наступления других событий в случайном опыте
25
Учебное задание для формирования комплекса планируемых результатов
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА 10 КЛАСС
ТЕМА «ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ФОРМУЛА БАЙЕСА»
(углубленный уровень, технологический (инженерный) профиль)
ЗАДАЧА
Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров.
РЕШЕНИЕ
Выбор любой из 10 урн равновозможен, и вероятность выбора каждой урны составляет 1/10.
По классическому определению вероятности, вероятность извлечения белого шара из первых девяти урн составляет ½, вероятность извлечения белого шара из десятой урны составляет 5/6.
По формуле полной вероятности: ???? =
1 10
∙
1 2
+
1 10
∙
1 2
+ ⋯ +
1 10
∙
1 2
+
1 10
∙
5 6
=
8 15
−
−вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен белый шар.
По формуле Байеса:
????
10
=
1 12 8
15
=
1 12
∙
15 8
=
5 32
= 0,15625 −
вероятность того, что извлеченный белый шар был извлечен из белой урны.
ОТВЕТ: 0, 15625.

УМЕНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ГИА (ЕГЭ)
26
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) представляет собой форму государственной итоговой аттестации, проводимой в целях определения соответствия результатов освоения обучающимися образовательных программ среднего общего образования соответствующим требованиям федерального государственного образовательного стандарта.
Здесь вы найдете
Спецификацию
КИМ для
проведения ЕГЭ
по МАТЕМАТИКЕ
в 2023 году
(профильный
уровень)

27
Учебное задание для подготовки к ЕГЭ по
МАТЕМАТИКЕ
Тип 11 № 245180
Найдите наибольшее значение функции
???? = log
5 4 − 2???? − ????
2
+ 3
I способ
Решение.
Поскольку функция
???? = log
5
????
возрастающая, она достигает наибольшего значения в той точке, в которой достигает наибольшего значения выражение, стоящее под знаком логарифма.
Квадратный трехчлен
???? = ????????
2
+ ???????? + ????
с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке ???? =
−????
2????
, в нашем случае — в точке −1.
Значение функции в этой точке
???? = log
5 4 − 2 ∙ −1 − −1 2
+ 3 =
????.
II
способ
1)
???? = log
5 4 − 2???? − ????
2
+ 3 =
ln(4−2????−????
2
)
ln 5
+ 3,
2)
????` =
−2????−2
ln 5∙ 4−2????−????
2
=
2????+2
ln 5∙ ????
2
+2????−4
,
3)
????` = 0, ???? = −1, ???? ≠ −1 ± 5
y`
–
+
–
+
y
−1 − 5
−1
−1 + 5
????
????????????
= −1, ???? −1 =
????.
ОТВЕТ: 4.
Выбирайте наиболее рациональный
способ решения задачи

28
Учебное задание для подготовки к ЕГЭ по
МАТЕМАТИКЕ
№ 508197
В правильной четырехугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 2.
Точка M — середина ребра AA
1
Найдите расстояние от точки M до плоскости DA
1
C
1
I способ
Решение
Элементарно-геометрический метод исследования.
Воспользуемся методом объемов. Вычислим объем треугольной пирамиды C
1
A
1
MD
, основанием которой служит ∆ А
1
М????, а высотой
— отрезок C
1
D
1.
С другой же стороны: ????
пир.
=
1 3
∙ ????(????
1
????С
1
) ∙ ????, где ???? – искомое расстояние.
Для вычисления площади ∆????
1
????С
1
найдём А
1
????, ????
1
????
1
, ????????
1
Высоту h этого треугольника, проведенную к стороне A
1
C
1
, получим по теореме Пифагора:
II способ
Решение (координатно-векторный метод исследования)
Поместим заданную призму в декартову систему координат с началом в точке D(0;0;0).
Выпишем координаты нужных точек:
Будем искать уравнение плоскости DA
1
C
1 в виде
Поскольку плоскость проходит через начало координат, заведомо d = 0. Подставим координаты точек A
1
и C
1
в уравнение плоскости.
Искомое уравнение будет иметь вид
ОТВЕТ:
????
????
.
Обращайтесь к
различным методам
исследования