Файл: Методические рекомендации по реализации требований к результатам обучения математике содержание основания для разработки примерной.pdf

29
Учебное задание для подготовки к ЕГЭ по
МАТЕМАТИКЕ (Вероятность сложных событий)
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест.
Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев.
Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.
Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным.
Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
I способ
Решение.
Пусть событие A — пациент болен, событие B — тест выявляет наличие заболевания.
Тогда P(A) = x — вероятность того, что пациент болен.
Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB) = x · 0,86.
Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна
(1
− x) · (1 − 0,94).
Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна
???? ???? = ???? ∙ 0,86 + 1 − ???? ∙ 1 − 0,94 = 0,1
Решая полученное уравнение, находим: ???? = 0,05.
Тогда вероятность того, что человек, у которого тест оказался положительным, действительно имеет заболевание, равна ????(????/????)=
????(????????)
????(????)
=
0,05∙0,86 0,1
=
0,043 0,1
=
????, ????????.
Тип 4 № 508819
II способ
Пусть x — число больных пациентов и y — число здоровых.
Тогда всего имеется x + y пациентов.
Общее число положительных ПЦР-тестов по условию равно 0,1(x + y), из которых 0,86x тестов приходится на больных пациентов и 0,06y тестов — на здоровых.
Тогда 0,1 ???? + ???? = 0,86???? + 0,06???? ⟺ ???? = 19????.
Поэтому вероятность того, что положительный ПЦР-тест был взят у больного пациента,
равна
???? =
0,86????
0,1(????+19????)
=
0,86????
2????
=
????, ????????.
ОТВЕТ: 0,43.
Рассматривайте вариативные способы
решения одной и той же задачи