Файл: Лекция 5 формы представления математических моделей. Графическая форма.pdf

Лекция № 5 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ГРАФИЧЕСКАЯ ФОРМА.
В
процессе проектирования нового или модернизации существующего технического средства, в том числе и в лесном комплексе,
решаются задачи расчета параметров и
исследования рабочих процессов этого средства.
При проведении многовариантных расчетов реальный технический объект
(
физическую
модель) заменяют абстрактной моделью объекта
– чаще всего математической.
По форме представления математических моделей различают
инвариантную
,
алгоритмическую
,
аналитическую
и
графическую
модели объекта проектирования.

В
инвариантной
форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) вне связи с методом решения этих уравнений.
В
алгоритмической
форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма —
последовательности вычислений.
Аналитическая модель
представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели,
получаемые на основе результатов эксперимента.
Графическая
(схемная)
модель
представляется в
виде графов,
эквивалентных схем,
динамических моделей,
функциональных,
кинематических и алгоритмических схем, диаграмм, циклограмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.
Среди алгоритмических моделей выделяют
имитационные модели
,
предназначенные для имитации физических и
информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды.

В инженерной практике часто используют
графические
формы представления математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели.
Граф
— основной объект изучения раздела математики - теории графов - совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами).
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи —
как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
Графы бывают
ориентированные,
неориентированные
и
смешанные. В ориентированных известны взаимосвязи между вершинами или узлами (компонентами, узлами конструкции и т.д.).

Граф
представляет структурную математическую модель
системы и отображает ее топологию, а эквивалентная схема
-
функциональную модель и отображает топологию и
компонентный состав, также как и динамическая модель. Если ввести обозначения ветвей графа, то он будет содержать ту же информацию, что и эквивалентная схема.
Компонентные уравнения элементов динамической модели представляют собой компоненты полной математической модели объекта.
Характеристики процессов функционирования объекта определяются не только его внутренними физическими свойствами, но и внешними воздействиями. Математические описания этих воздействий также являются компонентами математической модели. Воздействия представляют собой источники потенциалов U
B
= f
1
(I, t)
и источники потоков J
B
= f
2
(U,
t).
При построении полной математической модели в инвариантной форме все компонентные уравнения посредством топологических уравнений сводят в
единую систему.
Это наиболее удобно осуществлять с помощью графов.
Граф представляет собой совокупность узлов (вершин) и
соединяющих их ветвей (ребер). Такое же определение имеет и эквивалентная схема. Определение графа может быть записано в следующем виде: Г = (У, В, И), где У — множество узлов; В —
множество ветвей; И — инцидентор — указатель способа соединения ветвей.

Ветви
графа
и
эквивалентной
схемы
соответствуют
компонентам
математической
модели.
Они отображают математические описания инерционых, упругих и диссипативных элементов динамической модели и
источников внешних воздействий.
Узлы графа и эквивалентной схемы соответствуют узлам
дискретизации непрерывных объектов в геометрическом
пространстве,
вводимым
при
переходе
от
моделей
микроуровня к моделям макроуровня. При дискретизации системы методом сосредоточенных масс узлы дискретизации совпадают с сосредоточенными массами, представляемыми в динамической модели материальными точками или твердыми телами.
Состояние технической системы и характер протекающих в ней процессов определяются фазовыми координатами узлов дискретизации. Эти координаты представляют собой потоковые переменные (например, в механической системе — скорости или геометрические координаты).
Сосредоточенные массы динамической модели обладают дуальными свойствами: они отображают инерционные свойства технической системы и одновременно являются носителями информации о ее состоянии. Последнее выражается в том, что систему фазовых координат динамической модели связывают непосредственно с сосредоточенными массами.

Граф и
эквивалентная схема позволяют эти свойства сосредоточенных масс дифференцировать более четко:
инерционные свойства отображаются ветвями, а носители информации о состоянии технической системы — узлами. В
результате каждая сосредоточенная масса отображается узлом графа или эквивалентной схемы, а ее физические свойства —
ветвью инерционного элемента.
Узлы графа обозначают точками, а ветви - линиями. Узлам механической системы присваивают номера сосредоточенных масс, а ветвям дают обозначения параметров отождествляемых ими элементов динамической модели или обозначения источников- внешних воздействий (источник потен- циалов U
B
или источник потоков I
В
).
Один из узлов графа и эквивалентной схемы отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Его называют
базовым узлом (или базой) и ему присваивается нулевой номер.

Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения,
показанные на рисунке. Ветви эквивалентной схемы и графа,
отображающие внутренние свойства технического объекта,
можно именовать так же, как и соответствующие им элементы динамической модели,
т.е.
инерционные,
упругие и
диссипативные. Поскольку эти ветви - суть компонентов математической модели в графической форме, то компоненты модели имеют те же наименования, что и ветви.
На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и источников внешних воздействий соответственно виду моделируемой технической системы.

Составим графическую форму математической модели для анализа колебаний кузова трактора, обусловленных неровностями дороги.
На рис. а приведена одна из возможных динамических моделей. Твердые тела массами т
1
и т
2
(кузов и колеса трактора) совершают поступательные движения. Фазовые переменные типа потока в механической поступательной системе — скорости

,
а типа потенциала — силы F.
Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (в)
механической поступательной системы с источником внешнего
воздействия типа потока

На систему, наряду с источниками потенциалов F
B1
и F
B2
,
действует источник потока, описываемый функцией
V
*
в1
(t)
Источник потока отображает кинематическое воздействие внешней среды —
неровностей дороги. Характеристикой этого источника является функция изменения скорости вертикального перемещения опорной точки D, определяемая выражением , где

y(t)
—
скорость движения трактора вдоль оси у; h(y) — функция микропрофиля поверхности дороги.
Потенциалы внешних воздействий F
B1
и F
B2
представляют собой силы тяжести, соответственно, кузова и колес трактора. Эти силы постоянны и их обычно не включают в модель при анализе малых колебаний. Однако при определении усилий в упругих элементах их необходимо учитывать. Кроме того, взаимные перемещения кузова и
колес трактора ограничены направляющими устройствами подвески,
а величины допускаемых перемещений зависят от значений усилий F
B1
и F
B2
При наличии источников потоков взаимодействие технического объекта с внешней средой осуществляется посредством упругих и (или) диссипативных элементов. В эквивалентной схеме и ориентированном графе это приводит к
возникновению дополнительных узлов, определяющих соединения ветвей упругих и диссипативных компонентов с ветвями источников потоков.

На рис. б построена эквивалентная схема, а на рис. в орграф рассматриваемой системы.
Узлы
1
и
2
отображают сосредоточенные массы, а узел 1* — внешнюю среду,
генерирующую воздействие типа потока , передаваемое на упругий и диссипативный элементы с
2
и µ
2
колес трактора. Узлы источников потоков имеют свою нумерацию и обозначаются звездочкой.
Таким образом,
ориентированный
граф
позволяет
идентифицировать
структуру
и
физические
свойства
моделируемой технической системы и представляет собой ее
математическую модель в графической форме. Использование орграфа дает возможность формализовать процесс составления полной математической модели объекта в инвариантной форме,
т.е.
получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающих процесс функционирования технического объекта.
Эквивалентную схему применяют обычно лишь при предметном
моделировании, когда необходимо иметь схему замещения для построения эквивалентной динамической модели на элементах иной физической природы. При математическом моделировании технических систем ограничиваются использованием
ориентированных графов.