ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.04.2021
Просмотров: 267
Скачиваний: 1
Введение.
Многозначные отображения естественно возникают в различных разделах математики: в теории игр, математической экономике, оптимальном управлении и т.д. Многозначные отображения естественно возникают также и в некоторых классических задачах функционального анализа, например, а задачах теории приближения и в теории аппроксимации.
Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств отображения метрической проекции на замкнутые выпуклые множества.
Дипломная работа состоит из 4 параграфов.
В §1 изучаются свойства метрической проекции в гильбертовом пространстве. Доказывается, что метрическая проекция в этом случае является однозначным отображением, липишцевым с константой 1. Изучены также другие свойства этого отображения.
В §2 дается определение и изучаются свойства метрики Хауедорфа в пространстве замкнутых подмножеств. В нем даются также основные определения и свойства полунепрерывных сверху многозначных отображений.
§3 дипломной работы посвящен изучению метрической проекции в банаховом пространстве. Он состоит из двух пунктов. В пункте 3.1 изучается метрическая проекция на компактное выпуклое подмножество в банаховом пространстве, показывается, что метрическая проекция является многозначным полунепрерывным сверху отображением. Посчитан пример. В пункте 3.2 изучаются свойства метрической проекции на замкнутое ограниченное множество в банаховом пространстве.
В §4 рассматриваются некоторые приложения метрической проекции в различных задачах. В пункте 4.1 метрическая проекция применяется для доказательства существования непрерывного сечения непрерывного многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами. В пункте 4.2 метрическая проекция применяется для доказательства одной теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений.
Содержание.
Введение блаблабла потом не забыть написать
§1. Метрическая проекция в гильбертовом пространстве.
Пусть Е – линейное пространство.
1.1. Определение. Говорят, что в линейном пространстве Е определено скалярное произведение, если каждой паре векторов x,y поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (x,y), причем это соответствие обладает следующими свойствами:
1) для любого вектора
число
причем
тогжда и только тогда, когда
;
2)
для любых
;
3)
,
где
– действительно число;
4)
– дистрибутивность.
1.2. Определение.
Линейное пространство Е называется
нормированным, если в нем каждому вектору
х поставлено в соответствие число,
называемое нормой х и обозначаемое
причем это соответствие обладает
свойствами:
1)
,
причем
тогда и только тогда, когда
;
2)
для любых
3)
для любых
.
Пусть Е – пространство со скалярным произведением, тогда положим
Очевидно, что
удовлетворяет всем свойствам нормы.
Последовательность
точек пространства Е будем называть
фундаментальной, если она удовлетворяет
критерию Коши, т.е. если для любого
существует такое число
?
Xnj
для всех
,
.
1.3. Определение. Если в пространстве Е любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.
1.4. Определение. Гильбертовым пространством Н называется пространство, полное относительно нормы, порожденной введенным в этом пространстве скалярным произведением.
1.5. Определение. Полное нормированное пространство называется Банаховым пространством.
1.6. Лемма. Каковы бы
ни были элементы
,
для них справедливо равенство
параллелограмма
Доказательство. По
определению нормы имеем
1.7. Определение.
Пусть К – непустое замкнутое множество
в пространстве Н. Для
положим
Очевидно, что
Неотрицательное число d
называется расстоянием от точки х до
множества К.
1.8. Теорема. Пусть
Р – гильбертово пространство, Л –
непустое выпуклое замкнутое множество
в Р. Тогда для
существует и единственная точка
такая, что выполняется равенство
(1.1)
Доказательство.
Пусть
– минимализирующая последовательность,
т.е.
В силу выпуклости множества К точка
,
откуда
Положим
Используя правило параллелограмма,
распишем следующее выражение
.Подставляя
вместо
указанные выше обозначения, получим
так как вычитаемое имеет нижний предел
,
а уменьшаемое стремиться к
.
Следовательно, последовательность
является фундаментальной. Поскольку К
– замкнутое множество, а пространство
Н полно, то
при этом
Покажем, что точка
Тогда в силу выпуклости множества К,
так что
.
Однако
и потому
Это равенство, как легко видеть, возможно
только в том случае, когда
Следовательно,
и
.
Теорема доказана.
Пусть К – выпуклое
замкнутое множество пространства Н.
Согласно доказанной теореме каждому
однозначно соответствует точка
такая, что выполняется равенство (1.1).
Тем самым в Н определен оператор
который называется метрической проекцией
пространства Н на множество К.
Изучим свойства метрической проекции.
1.9. Лемма. Равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
для любой точки
выполняется неравенство
(1.2)
Доказательство.
Необходимость. Предположим, что
Возьмем произвольную точку
.
В силу выпуклости множества К точка
Рассмотрим функцию
Функция
имеет минимум на отрезке [0,1] в точке 0,
так как расстояние является кратчайшим
при
.
Вычислим производную
в точке 0:
тогда
для любого
.
Из последнего неравенства вытекает,
что
для любого
Достаточность.
Предположим, что для любой точки
выполнено (1.1). Свернем это неравенство,
тогда
Откуда, воспользовавшись неравенством
,
получим
.
Возможны два случая: 1)
,
тогда
и кратчайшее расстояние
2)
Получим
Следовательно,
откуда
Утверждение доказано.
1.10. Теорема. Пусть
– метрическая проекция гильбертова
пространства Н на выпуклое замкнутое
множество
.
Тогда для любых точек
выполняется неравенство
(1.3)
Доказательство.
Обозначим
В силу доказанной леммы для любой точки
справедливо неравенство
Положив
получим
(1.4)
Для любой точки
справедливо неравенство
Положив
,
получим
(1.5)
Сложим неравенства (1.5) и (1.4)
Откуда
Возможны два случая:
1) если
то
2) если
то
Теорема доказана.
1.11. Следствие.
Метрическая проекция
является непрерывным отображением.
Доказательство.
Отображение
,
если для любого числа
найдется
такое, что
как только
Положив в неравенстве (1.2)
получим требуемое утверждение.
§2. Многозначные отображения. Основные свойства.
2.1 Теорема.
(в)
(г)
(д)
Доказательство. (а) вытекает непосредственно из определения.
(б)
(в)
.
(г)
Тогда
(д)
С
Теорема доказана.
Рассмотрим функцию
Эта функция является метрикой на
множестве
Действительно, для любых
выполнено
1)
2)
3)
4)
Определение. Функция h называется метрикой Хаусдорфа.
Заметим, что из п.(д)
теоремы 2.1 вытекает, что для любых
выполнено
Пусть X,Y
– произвольные множества; многозначные
отображения F множества
X в множестве Y
– это такое соответствие, которое
сопоставляет каждой точке
Пусть
2.3. Определение.
Множество
называется
графиком многозначного отображения F/
2.4. Определение.
Многозначное отображение F
называется полу непрерывным сверху в
точке
2.5. Определение.
Многозначное отображение F
называется полу непрерывным сверху,
если оно полу непрерывно сверху в каждой
точке
.
2.6. Определение.
Многозначное отображение F
называется замкнутым, если его график
Пусть X,Y – нормированные пространства.
2.7. Теорема. (критерий полу непрерывности сверху).
Пусть
- многозначное отображение, X
– замкнутое подмножество в Y,
пусть существует компактное подмножество
такое, что для любого
Отображение
Доказательство.
Необходимость. Пусть F
– полу непрерывно сверху. Докажем
замкнутость графика
,
норма в этом пространстве определяется
условием
Индуцирует покоординатную
сходимость точек. Рассмотрим произвольную
последовательность точек
Если эта последовательность
то это значает, что
график
– не замкнут. Это означает, что существует
последовательность
где
Следовательно,
Согласно условии теоремы имеем
компактного множества
есть компакт, то
Рассмотрим
последовательность
Тогда
необходимость.
Достаточность.
Пусть график
сверху. Предположим,
что F не является полу
непрерывным сверху, тогда существуют
точка
т.е. существует
ограничения общности
можно считать, что
покоординатной
сходимости, то
доказывает теорему.
2.8. Определение.
Многозначное отображение
называется непрерывным в метрике
Науедорфа, если оно непрерывно как
однозначное отображение в метрическое
пространство
§3. Метрическая проекция в баннаховым пространстве.
3.1. Метрическая проекция на компактное множество.
Пусть Е – баннахово
пространство, К – выпуклое компактное
подмножество в пространстве Е. Для
произвольной точки
Доказательство.
Пусть
под последовательность
Таким образом, кратчайшее расстояние
на компакте всегда реализуется. Теорема
доказана.
3.1.2. Пример. Рассмотрим
вещественное пространство
в котором норма произвольного элемента
Найдем множество, на
котором реализуется кратчайшее расстояние
от точки
до множества
Чтобы найти точки, в
которых реализуется кратчайшее
расстояние, нужно решить уравнение:
Оно эквивалентно
уравнению:
Очевидно оно возможно,
когда
В банаховом пространстве в отличие от
гильбертова пространства кратчайшее
расстояние может достигаться на
множестве.
Изучим свойства
метрической проекции
3.1.3. Теорема. Для
любой точки
множеством.
Доказательство.
Докажем сначала выпуклость множества
точку
В силу выпуклости множества
Так как d – это кратчайшее
расстояние, то
С другой стороны оценим
Итак, получили
Для доказательства
замкнутости множества
перейдя к пределу при
Теорема доказана.
Определим функцию
3.1.4. Лемма. Функция
Доказательство.
Предположим противное, тогда существуют
точка
последовательность
В определении функции
расстояние всегда реализуется, поэтому
для любой
(3.1.1)
И для любого
Так как последовательность
к пределу в равенстве (3.1.1) получим
.
Следовательно,
.
Возьмем
.
Оценим расстояние
так как
Итак,
.
Получили противоречие. Следовательно,
функция
непрерывна. Лемма доказана.
3.1.5. Теорема.
Отображение
Доказательство.
Так как
доказать замкнутость графика этого
отображения. Пусть
Следовательно,
.
Теорема доказана.
3.2. Метрическая проекция на замкнутое множество.
Пусть У – баннахово пространство.
3.2.1. Определение.
Совокупность всех непрерывных линейных
функционалов
образует линейное пространство, которое
называется пространством, сопряженным
с Е, и обозначается
.
Пространство
,
сопряженное к
,
- это есть совокупность всех линейных
непрерывных функционалов на
.
Поскольку можно каждый
элемент из Е рассматривать еще и как
элемент пространства
,
удобно для значений линейного функционала
вместо записи
ввести обозначение:
Рассмотрим каноническое
вложение
3.2.2. Определение.
Банахово пространство Е называется
рефлексивным, если
,
т.е. Е изометрично
при каноническом вложении i.
3.2.3. Определение.
Последовательность
Любого линейного
функционала
последовательность чисел
.
3.2.4. Теорема. В рефлексивном банаховом пространстве любое ограниченное замкнутое выпуклое множество является слабо компактным.
3.2.5. Лемма (Мазура).
Пусть Е – рефлексивное банахово
пространство, С – замкнутое выпуклое
множество в Е, последовательность
…
Тогда существует последовательность
что выполняются следующие условия: 1)
3.2.6. Теорема. Пусть
Е – рефлексивное банахово пространство,
С – замкнутое выпуклое множество в Е.
Тогда для любой точки
.
Доказательство.
Пусть
.
Возьмем минимизирующую последовательность
Так как
общности
можно считать, что
слабо сходится к
В силу леммы Мазура найдется
последовательность
В полученном неравенстве
Теорема доказана.
Возникает отображение
3.2.7. Лемма. Для любого
является ограниченным выпуклым замкнутым
множеством.
Доказательство.
Выпуклость и замкнутость множества
доказывается аналогично теореме 3.1.3.
Представляет интерес
изучение непрерывности многозначного
отображения
.
§4. Некоторые приложения
метрической
Проекции.
4.1 . Непрерывное сечение многозначного отображения
В Гильбертовом пространстве.
Пусть Х –
метрическое пространство,
-
непрерывное по Хаусдорфу многозначное
отображение.
4.1.1. Определение.
Однозначное
отображение
называется
сечением многозначного отображения F,
если
f(X)
F(X) для
каждой точки x
X.
Докажем теорему о существовании сечения отображения F.
Возьмем
точку D
Н
и определим отображение
по
следующему правилу: для любого
выполнено
,
т.е. m(K) –
это точка К такая, на которой реализуется
кратчайшее расстояние до нуля пространства
H.
4.1.2. Лемма.
Для любых
,
где h – метрика Хаусдорфа,
выполняется неравенство
.
Доказательство.
По определению
.
Это означает, что
.
Для любой
найдется
точка
такая,
что
и для любой
найдется
точка
такая, что
.
Обозначим
.
Тогда для
найдется точка
,
для
.
Воспользовавшись леммой 1.6 получим
Откуда
Сложим
последние два неравенства
.
Следовательно,
.
Итак, получим, что
.
Лемма доказана.
4.1.3. Теорема.
Отображение
является
непрерывным отображением.
Доказательство.
Докажем,
что для любого открытого множества V
в Н его прообраз
является
открытым множеством. Это означает, что
какое бы
мы
не взяли – существует число
такое, что
-окрестность
тогда
и только тогда, когда
.
Так как V – открытое
множество, то существует число
такое, что
.
Выберем
так,
чтобы выполнялось неравенство:
.
Тогда для любого множества
выполнено
.
В силу леммы 4.1.1
,
то есть для любого
выполняется
включение
.
Итак, для любого
,
а следовательно, множество W
открыто. Теорема доказана.
4.1.4 Следствие.
Пусть X
– метрическое пространство, Н –
гильбертово пространство
-непрерывное
по Хаусдорфу многозначное отображение.
Тогда для любых
Существует
непрерывное сечение
такое,
что
для
любого
и
выполняется равенство
.
Доказательство.
Возьмем два случая:
1)Пусть
,
тогда возьмем непрерывное отображение
такое,
что для любого
.
Рассмотрим композицию
.
Это отображение удовлетворяет условию
.
Однозначное отображение
для любого
является
сечением многозначного отображения F.
Отображение f непрерывно,
так как является композицией двух
непрерывных однозначных отображений.
Если
,
то
,то
есть мы построили однозначное отображение
.