Файл: Щедроин курсовая.docx

Сделать презентацию

Скачать файл (0,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.04.2021

Просмотров: 268

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2)Пусть - непрерывное по Хаусдорфу многозначное отображение, причем . Тогда в силу первого случая существует непрерывное отображение такое, что . Рассмотрим непрерывное,

для любого х Х. Следствие доказано.

4.2. Неподвижные точки многозначных

Сжимающих отображений.

Пусть -полное метрическое пространство; , как и прежде, обозначает совокупность всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств X; h – метрика Хаусдорфа в

4.2.1. Определение. Многозначное отображение называется к-липшецевым, если существует число к 0 такое, что для любых х, у Х выполнено неравенство

Если к < 1, то к-липшецего многозначное отображение F называется сжимающим (к- сжимающим).

4.2.2. Теорема. Если F – сжимающее многозначное отображение, то оно имеет по крайней мере одну неподвижную точку, то есть точку такую, что .

Пусть Н – гильбертово пространство, - замкнутый шар с границей .

4.2.3. Лемма. Если , то для любой точки точка представляется в виде .

Доказательство. Возможны два случая:

1)Если , то .

2)Пусть . Предположим . Согласно лемме 1.9 тогда и только тогда, когда для любого выполняется неравенство

. Докажем это неравенство для точки . Тогда

Лемма доказана.

Пусть - многозначное сжимающее отображение, . Пусть

4.2.4. Лемма. Отображение является многозначным сжимающим отображением.

Доказательство. Так как , выполнено включение . Это означает, что для любой точки существует точка такая, что . В силу теоремы 1.10 выполняется неравенство . Тогда для любой найдется такая, что . Откуда Следовательно, .

Аналогично доказывается, что из включения следует

Таким образом, получим неравенство . Следовательно, в силу свойств метрики Хаусдорфа будет выполнено неравенство . Так как отображение Так как отображение -сжимающее, то существует число , для которого справедливо , то есть отображение сжимающее. Лемма доказана.

4.2.5. Теорема. Пусть - многозначное сжимающее отображение такое, что для любой точки . Тогда имеет неподвижную точку.

Доказательство. Пусть тогда в силу теоремы 4.2.2 существует точка . Возможны два случая.

Пусть является неподвижной точкой отображения F. Если это выполнено, то теорема доказана.
Пусть x является неподвижной точкой . Предположим, что х не является неподвижной точкой F, то есть и . Тогда существует точка такая, что , так как в противном случае .