Файл: Динамическая сочимодель распределения ресурсов в маркетинговых сетях Оглавление.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 107
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Динамическая СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговых сетях
Оглавление
Введение 3
1.Обзор и анализ литературы 4
2.Математическая модель 8
3.Нахождение равновесия по Нэшу. 13
4.Численное решение 16
Заключение 22
Литература 23
Введение
Модели согласования общественных и частных интересов изучаются в экономике общественных благ [1]. В этих моделях предполагается, что каждый агент делит свои ресурсы между частной деятельностью и производством общего для всех агентов блага.
В данной работе рассматривается СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговой сети. На верхнем уровне управления находится координирующий Центр, распределяющий маркетинговые бюджеты между фирмами (агентами влияния) с целью максимизации суммарных мнений [5-7].
Динамика мнений базовых агентов определяется их взаимодействием и маркетинговым взаимодействием нескольких конкурирующих фирм [8].
Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность [9].
В настоящей работе приведены результаты нахождения выигрышей Центра и агентов влияния, а также анализ полученных результатов и сделан вывод об оптимальном распределении ресурсов.
-
Обзор и анализ литературы
Среди отечественных работ можно выделить работы [1-3], [9]. Булгакова И.Н. и Вертакова Ю.В. исследуют в целом возможность применения теории игр при управлении территориальным развитием [1]. В частности, они исследуют процесс оценивания эффективности процесса интеграции, формулируют условия этой возможности и возможные проблемы при этом.
Для исследования случая, когда организации объединяются в коалиции с целью сотрудничества и увеличения выпуска продукции, а, следовательно, и прибыли, используются кооперативные игры. При этом учитывается согласование интересов в иерархической системе, учитывается вклад предприятия в создание общей прибыли и находится принцип распределения общего выигрыша. Но в этих работах создателями и получателями благ являются предприятия в составе региона, в то время как в данной работе участниками системы являются регионов в составе макрорегиона.
Часто работы по территориальному управлению посвящены решению экологических проблем, связанных с общим для нескольких территорий природным объектом.
В работах Л.А. Петросяна и Дж. Заккура, например, в [9], моделировалось международное экологическое взаимодействие, результатом которого явилось динамически устойчивое распределение совокупных затрат при условии снижения общего уровня загрязнения, при котором предприятия добровольно принимают решение о дополнительном снижении сбросов загрязняющих веществ.
В работе Н.А. Зенкевича и Н.В. Козловской [2] исследована теоретико-игровая модель территориального экологического производства, в которой процесс управления выбросами моделируется неантагонистической дифференциальной игрой. Предложен устойчивый механизм перераспределения прибыли в случае кооперации предприятий с целью уменьшения общего загрязнения окружающей среды, основанный на равновесии по Нэшу. В качестве кооперативного решения игры построен и исследован устойчивый вектор Шепли, который обладает свойствами динамической устойчивости, стратегической устойчивости и устойчивости против иррационального поведения. В отличие от работы Петросяна и Заккура [9], в [2] не минимизируются выбросы, а максимизируется прибыль, для чего используется модель конкуренции предприятий по Курно.
Что же касается теоретико-игровых моделей управления территориальным развитием, в [3] описана и исследована двухуровневая модель государственно-частного партнерства (ГЧП) для ресурсных регионов. Наряду с участием в проекте ГЧП, инвестор получает налоговые льготы. В отличие от нашей модели в игре, описанной в [3], участвует один ресурсный регион, который выбирает, какие экономические, экологические проекты и проекты ГЧП следует выбрать для развития региона. Аналогичный выбор делает и инвестор. Для каждого выбранного проекта находится один инвестор. В [3] учитываются не только интересы агентов, но и интересы общества. Задача в [3] решается путем нахождения равновесия по Нэшу. Модели в [3] достаточно простые, учитываются лишь линейные функции, выраженные в форме балансовых соотношений.
Применение теоретико-игровых моделей также описано в [4], [7-8], [11-12]. Ф. Джи в [8] описана мультирегиональная игра (игра нескольких регионов) управления водными ресурсами Китая. Многие межрегиональные проблемы экологии водных ресурсов являются результатом игры между региональными правительствами, которые конкурируют за ресурсы и их экологическую чистоту в своих собственных региональных интересах. Конфликт между выгодой от использования водных ресурсов и экологией угрожает миру и стабильности регионов и ограничивает их устойчивое развитие. Одной из важных задач управления водными ресурсами стало разрешение конфликта водных ресурсов речного бассейна и содействие переговорам и сотрудничеству между регионами. В статье предлагается компромиссная процедура взаимодействия регионов в игре, основанная на применении теории переговоров для многокритериальной игры и общественном принятии решений. Эта процедура обеспечивает эффективный метод предотвращения или смягчения конфликта водных ресурсов в речном бассейне, а также аппарат для участия общественности и
принятия групповых решений в управлении водными ресурсами.
В [11] описаны кооперативные игры управления водными ресурсами, включая распределение затрат на проекты развития водных ресурсов, распределение затрат на региональную очистку сточных вод и управление трансграничными водными ресурсами в бассейне реки Рио-Гранде, расположенной в Северной Америке. В качестве игроков рассматриваются крупнейшие пользователи речных ресурсов в Соединенных Штатах и Мексике. Найденный оптимальный сценарий управления водными ресурсами предназначен для улучшения водообеспеченности пользователей, а также для учета потоков загрязнений в речном бассейне.
В [4] предлагается асимметричная модель социального планирования для стимулирования рациональных агентов, которые часто имеют различные географические, гидрологические, климатические и социально-экономические условия, к участию в совместном управлении трансграничными водными ресурсами. Теоретико-игровая модель Штакельберга используется для получения полезности независимых агентов на основе учета их пространственной неоднородности в доступности воды. Основываясь на коэффициентах переговоров агентов, совокупный доход от использования воды перераспределяется между агентами путем принятия асимметричного решения о переговорах по Нэшу. Для демонстрации применимости предложенной модели используется бассейн реки Цюйцзян в Китае. Результаты показывают, что эта интегрированная модель может дать полезную информацию для разрешения конфликтов в проблемах совместного использования рек.
В [12] строится трехсторонняя динамическая игровая модель регионального кооперативного управления загрязнением атмосферы в Китае с учетом неоднородного состава правительства. При помощи анализа равновесия Нэша в смешанных стратегиях исследуются возможные механизмы и необходимые условия для создания кооперативной модели, а также эффективные способы повышения административной эффективности вышестоящего правительства. Как показывают результаты, из-за неоднородности правительств и «свободного» поведения устойчивая кооперативная модель не может быть спонтанно сформирована двумя разнородными местными органами власти, поэтому вышестоящее правительство вынуждено контролировать обе стороны. В то же время вышестоящее правительство может повысить эффективность механизма надзора за счет увеличения штрафных санкций для некооперативных сторон участия и снижения издержек конфликта, когда местные органы власти не сотрудничают
В [7] представлена теоретико-игровая основа для переоценки функционирования и управления существующими многоцелевыми водными проектами с учетом конкурирующих и конфликтующих видов водопользования. В этом подходе подразумевается, что физическая и техническая осуществимость предлагаемой альтернативы перераспределения может быть вторичным критерием в общей оценке. Большее значение в процессе оценки может иметь тот факт, что различные альтернативы требуют различных уровней и типов институциональной и правовой поддержки для осуществления и различных уровней координации между конкурирующими сторонами. Особое внимание уделяется институциональным механизмам, позволяющим заключать обязательные соглашения, необходимые для превращения конфликтов в кооперативные игры. Предлагаемый подход применен к конфликтам водопользования в бассейне реки Карсон, штат Невада (США).
Большинство рассмотренных моделей рассматривает взаимодействие агентов в составе одного региона. Если же в модели учитывается несколько регионов, то в основном по причине наличия некоторого экологического объекта, по использованию которого необходимо заключить соглашение. Также в рассмотренных моделях чаще всего нет иерархического управления регионами.
-
Математическая модель
Обозначим через M = {0, 1, 2, . . ., n} – множество участников системы, где {0} – Принципал (Ведущий, Центр, верхний уровень), а N = {1, 2, . . ., n} – множество Агентов (подчиненных, элементы нижнего уровня).
Будем рассматривать целевые функции агентов в СОЧИ-модели в контексте распределения ресурсов между целевым и нецелевым использованием. Эти модели основаны на идее Гермейера–Вателя [2].
Имеется одноуровневая система управления, состоящая из нескольких равноправных агентов A1, A2, . . ., An. Каждый из этих агентов имеет некоторое количество ресурсов. Часть средств каждый из них передает для целевого использования, оставшуюся часть оставляет себе на нецелевые расходы. Все агенты участвуют в доходе от целевой деятельности и имеют свои функции выигрыша (рис. 1).
Рассмотрим статическую теоретико-игровую СОЧИ-модель в нормальной форме вида
Рисунок 1. Структура независимых агентов в СОЧИ-модели
Здесь M = {i, . . . , n} – конечное множество игроков (активных агентов);
Ui = [0, ri] – множество допустимых действий (стратегий) i-го игрока;
ri – ресурс, которым располагает i-й игрок;
ui – количество ресурсов, которое агент выделяет на общие цели (стратегия i-го участника игры), ui ∈ Ui;
gi(u1, . . . , un) – функция выигрыша i-го игрока;
pi(ri−ui) – функция частных интересов i-го игрока, аргументом которой является количество ресурсов (ri − ui), оставленное на частные цели;
c(u1 + . . . + un) – функция общественного дохода;
si – доля общественного дохода, выделяемая игроку i;
sic(u1 + . . . + un) – общественная составляющая выигрыша i-го игрока.
Таким образом, в СОЧИ–модели каждый игрок делит свой ресурс ri между общественными (в количестве ui) и частными (в количестве ri − ui) интересами.
Предполагается, что
-
функция c монотонно возрастает по всем ui, c(0, . . . , 0) = 0;
-
функции pi(ri − ui) монотонно возрастают по ri − ui, pi(0) = 0;
-
функции pi и c вогнуты по своим аргументам;
-
если ui > 0, то si > 0. Таким образом, вариант ∑ui = 0 отвечает случаю, когда ∀i ui = 0; тогда общественный доход не создается и делить нечего.
Заметим, что все ограничения агентов 0 ≤ ui ≤ ri являются локальными, агенты независимы, глобальных ограничений на стратегии агентов нет. Возможно создание коалиций как в игре в нормальной форме, так и в иерархической игре.
Также введем утилитарную функцию общественного благосостояния, которая выражает интересы общества M в виде суммы целевых функций всех его членов (агентов):
Далее будем рассматривать дифференциальную модель согласования общих и частных интересов (СОЧИ-модель) при распределении ресурсов в маркетинговых сетях. Динамика управляемой системы описывает взаимодействие членов целевой аудитории (базовых агентов), ведущее к изменению их мнений (расходов на покупку товаров и услуг фирм, конкурирующих на некотором рынке). Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность. Координирующий Центр определяет маркетинговые бюджеты фирм и максимизирует суммарное мнение базовых агентов с учётом выделяемых фирмам ресурсов.
Исследуемая модель представляется следующими уравнениями дифференциальной иерархической игры:
, (1)
, 
, 
, 
, (2)
(3)
, , , (4)
, 
, 
, (5)
(6)
(1) -(6) – дифференциальная иерархическая игра.
Здесь
n – число базовых агентов (численность целевой аудитории),
m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то 
.
R – общий маркетинговый бюджет Центра,
T – период рассмотрения (длина игры),
, 
– функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно,
– маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t,
– мнение j-го базового агента в момент t,
– расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t,
– коэффициент влияния i-го базового агента на j-го,
– коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.
В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.
Допущения модели, цель и методы исследования
Динамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай показательных функций частного дохода базовых агентов, т.е. 
Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.
В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.
-
Нахождение равновесия по Нэшу.
Исследуем задачу i-ой фирмы (3) -(6).
Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:
при условии
Максимизируя по 
, , 
, получаем
(2)
где 
.
Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем показательными,
Получаем:
Можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде
(3)
Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях 
, получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов 
:
(4)
здесь .
Определив коэффициенты 
, составляем дифференциальное уравнение для 
:
(5)
Уравнение (5) решаем методом вариации произвольных постоянных:
Так как данные уравнения не решаются аналитически, далее будем рассматривать конкретный пример, для численного решения уравнений и нахождения оптимальной стратегии управления.
При этом управления определяются выражением:
,
,
-
Численное решение
Проведем исследование динамической иерархической СОЧИ-модели для следующего набора входных данных:
n=2;
m=3;
T=2;
R=45;
Ρ=0.094;
Где n- количество базовых агентов, m - количество агентов влияния, T - период прогнозирования, ρ - коэффициент дисконтирования.
В матрице a, например, значение 0.7 - коэффициент влияния первого базового агента на самого себя, 0.3 - коэффициент влияния первого базового агента на второго базового агента и т.д. В матрице b, например, значение 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на первого базового агента, 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на второго базового агента и т.д. В массиве x0 значение 5 - начальное мнение первого базового агента, 0 - начальное мнение второго базового агента. В матрице r, например, 8.82 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния в первый момент времени, 0.76 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния во второй момент времени и т.д.
При фиксированных величинах распределения ресурсов Центра агентам влияния находим те сценарии, которые дают выигрышу Центра наибольшее значение. В результате получен оптимальный (и близкий к лучшему результату) сценарий для Центра и агентов влияния.
Решение данной задачи будем производить с помощью математического пакета MathCad.
MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. MathCAD 2001, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с MathCAD. Создатели MathCAD сделали все возможное чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя. В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:
-
– ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц);
-
– проведение математических расчетов;
-
– подготовка графиков с результатами расчетов;
-
– ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;
-
– подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
-
– подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;
-
– получение различной справочной информации из области математики.
Вводим исходные данные и производим поиск оптимального управления
Таблица № 1. Значения переменных x, r, u для рассмотренной модели:
Динамическая СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговых сетях
Оглавление
Введение 3
1.Обзор и анализ литературы 4
2.Математическая модель 8
3.Нахождение равновесия по Нэшу. 13
4.Численное решение 16
Заключение 22
Литература 23
Введение
Модели согласования общественных и частных интересов изучаются в экономике общественных благ [1]. В этих моделях предполагается, что каждый агент делит свои ресурсы между частной деятельностью и производством общего для всех агентов блага.
В данной работе рассматривается СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговой сети. На верхнем уровне управления находится координирующий Центр, распределяющий маркетинговые бюджеты между фирмами (агентами влияния) с целью максимизации суммарных мнений [5-7].
Динамика мнений базовых агентов определяется их взаимодействием и маркетинговым взаимодействием нескольких конкурирующих фирм [8].
Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность [9].
В настоящей работе приведены результаты нахождения выигрышей Центра и агентов влияния, а также анализ полученных результатов и сделан вывод об оптимальном распределении ресурсов.
-
Обзор и анализ литературы
Среди отечественных работ можно выделить работы [1-3], [9]. Булгакова И.Н. и Вертакова Ю.В. исследуют в целом возможность применения теории игр при управлении территориальным развитием [1]. В частности, они исследуют процесс оценивания эффективности процесса интеграции, формулируют условия этой возможности и возможные проблемы при этом.
Для исследования случая, когда организации объединяются в коалиции с целью сотрудничества и увеличения выпуска продукции, а, следовательно, и прибыли, используются кооперативные игры. При этом учитывается согласование интересов в иерархической системе, учитывается вклад предприятия в создание общей прибыли и находится принцип распределения общего выигрыша. Но в этих работах создателями и получателями благ являются предприятия в составе региона, в то время как в данной работе участниками системы являются регионов в составе макрорегиона.
Часто работы по территориальному управлению посвящены решению экологических проблем, связанных с общим для нескольких территорий природным объектом.
В работах Л.А. Петросяна и Дж. Заккура, например, в [9], моделировалось международное экологическое взаимодействие, результатом которого явилось динамически устойчивое распределение совокупных затрат при условии снижения общего уровня загрязнения, при котором предприятия добровольно принимают решение о дополнительном снижении сбросов загрязняющих веществ.
В работе Н.А. Зенкевича и Н.В. Козловской [2] исследована теоретико-игровая модель территориального экологического производства, в которой процесс управления выбросами моделируется неантагонистической дифференциальной игрой. Предложен устойчивый механизм перераспределения прибыли в случае кооперации предприятий с целью уменьшения общего загрязнения окружающей среды, основанный на равновесии по Нэшу. В качестве кооперативного решения игры построен и исследован устойчивый вектор Шепли, который обладает свойствами динамической устойчивости, стратегической устойчивости и устойчивости против иррационального поведения. В отличие от работы Петросяна и Заккура [9], в [2] не минимизируются выбросы, а максимизируется прибыль, для чего используется модель конкуренции предприятий по Курно.
Что же касается теоретико-игровых моделей управления территориальным развитием, в [3] описана и исследована двухуровневая модель государственно-частного партнерства (ГЧП) для ресурсных регионов. Наряду с участием в проекте ГЧП, инвестор получает налоговые льготы. В отличие от нашей модели в игре, описанной в [3], участвует один ресурсный регион, который выбирает, какие экономические, экологические проекты и проекты ГЧП следует выбрать для развития региона. Аналогичный выбор делает и инвестор. Для каждого выбранного проекта находится один инвестор. В [3] учитываются не только интересы агентов, но и интересы общества. Задача в [3] решается путем нахождения равновесия по Нэшу. Модели в [3] достаточно простые, учитываются лишь линейные функции, выраженные в форме балансовых соотношений.
Применение теоретико-игровых моделей также описано в [4], [7-8], [11-12]. Ф. Джи в [8] описана мультирегиональная игра (игра нескольких регионов) управления водными ресурсами Китая. Многие межрегиональные проблемы экологии водных ресурсов являются результатом игры между региональными правительствами, которые конкурируют за ресурсы и их экологическую чистоту в своих собственных региональных интересах. Конфликт между выгодой от использования водных ресурсов и экологией угрожает миру и стабильности регионов и ограничивает их устойчивое развитие. Одной из важных задач управления водными ресурсами стало разрешение конфликта водных ресурсов речного бассейна и содействие переговорам и сотрудничеству между регионами. В статье предлагается компромиссная процедура взаимодействия регионов в игре, основанная на применении теории переговоров для многокритериальной игры и общественном принятии решений. Эта процедура обеспечивает эффективный метод предотвращения или смягчения конфликта водных ресурсов в речном бассейне, а также аппарат для участия общественности и
принятия групповых решений в управлении водными ресурсами.
В [11] описаны кооперативные игры управления водными ресурсами, включая распределение затрат на проекты развития водных ресурсов, распределение затрат на региональную очистку сточных вод и управление трансграничными водными ресурсами в бассейне реки Рио-Гранде, расположенной в Северной Америке. В качестве игроков рассматриваются крупнейшие пользователи речных ресурсов в Соединенных Штатах и Мексике. Найденный оптимальный сценарий управления водными ресурсами предназначен для улучшения водообеспеченности пользователей, а также для учета потоков загрязнений в речном бассейне.
В [4] предлагается асимметричная модель социального планирования для стимулирования рациональных агентов, которые часто имеют различные географические, гидрологические, климатические и социально-экономические условия, к участию в совместном управлении трансграничными водными ресурсами. Теоретико-игровая модель Штакельберга используется для получения полезности независимых агентов на основе учета их пространственной неоднородности в доступности воды. Основываясь на коэффициентах переговоров агентов, совокупный доход от использования воды перераспределяется между агентами путем принятия асимметричного решения о переговорах по Нэшу. Для демонстрации применимости предложенной модели используется бассейн реки Цюйцзян в Китае. Результаты показывают, что эта интегрированная модель может дать полезную информацию для разрешения конфликтов в проблемах совместного использования рек.
В [12] строится трехсторонняя динамическая игровая модель регионального кооперативного управления загрязнением атмосферы в Китае с учетом неоднородного состава правительства. При помощи анализа равновесия Нэша в смешанных стратегиях исследуются возможные механизмы и необходимые условия для создания кооперативной модели, а также эффективные способы повышения административной эффективности вышестоящего правительства. Как показывают результаты, из-за неоднородности правительств и «свободного» поведения устойчивая кооперативная модель не может быть спонтанно сформирована двумя разнородными местными органами власти, поэтому вышестоящее правительство вынуждено контролировать обе стороны. В то же время вышестоящее правительство может повысить эффективность механизма надзора за счет увеличения штрафных санкций для некооперативных сторон участия и снижения издержек конфликта, когда местные органы власти не сотрудничают
В [7] представлена теоретико-игровая основа для переоценки функционирования и управления существующими многоцелевыми водными проектами с учетом конкурирующих и конфликтующих видов водопользования. В этом подходе подразумевается, что физическая и техническая осуществимость предлагаемой альтернативы перераспределения может быть вторичным критерием в общей оценке. Большее значение в процессе оценки может иметь тот факт, что различные альтернативы требуют различных уровней и типов институциональной и правовой поддержки для осуществления и различных уровней координации между конкурирующими сторонами. Особое внимание уделяется институциональным механизмам, позволяющим заключать обязательные соглашения, необходимые для превращения конфликтов в кооперативные игры. Предлагаемый подход применен к конфликтам водопользования в бассейне реки Карсон, штат Невада (США).
Большинство рассмотренных моделей рассматривает взаимодействие агентов в составе одного региона. Если же в модели учитывается несколько регионов, то в основном по причине наличия некоторого экологического объекта, по использованию которого необходимо заключить соглашение. Также в рассмотренных моделях чаще всего нет иерархического управления регионами.
-
Математическая модель
Обозначим через M = {0, 1, 2, . . ., n} – множество участников системы, где {0} – Принципал (Ведущий, Центр, верхний уровень), а N = {1, 2, . . ., n} – множество Агентов (подчиненных, элементы нижнего уровня).
Будем рассматривать целевые функции агентов в СОЧИ-модели в контексте распределения ресурсов между целевым и нецелевым использованием. Эти модели основаны на идее Гермейера–Вателя [2].
Имеется одноуровневая система управления, состоящая из нескольких равноправных агентов A1, A2, . . ., An. Каждый из этих агентов имеет некоторое количество ресурсов. Часть средств каждый из них передает для целевого использования, оставшуюся часть оставляет себе на нецелевые расходы. Все агенты участвуют в доходе от целевой деятельности и имеют свои функции выигрыша (рис. 1).
Рассмотрим статическую теоретико-игровую СОЧИ-модель в нормальной форме вида
Рисунок 1. Структура независимых агентов в СОЧИ-модели
Здесь M = {i, . . . , n} – конечное множество игроков (активных агентов);
Ui = [0, ri] – множество допустимых действий (стратегий) i-го игрока;
ri – ресурс, которым располагает i-й игрок;
ui – количество ресурсов, которое агент выделяет на общие цели (стратегия i-го участника игры), ui ∈ Ui;
gi(u1, . . . , un) – функция выигрыша i-го игрока;
pi(ri−ui) – функция частных интересов i-го игрока, аргументом которой является количество ресурсов (ri − ui), оставленное на частные цели;
c(u1 + . . . + un) – функция общественного дохода;
si – доля общественного дохода, выделяемая игроку i;
sic(u1 + . . . + un) – общественная составляющая выигрыша i-го игрока.
Таким образом, в СОЧИ–модели каждый игрок делит свой ресурс ri между общественными (в количестве ui) и частными (в количестве ri − ui) интересами.
Предполагается, что
-
функция c монотонно возрастает по всем ui, c(0, . . . , 0) = 0;
-
функции pi(ri − ui) монотонно возрастают по ri − ui, pi(0) = 0;
-
функции pi и c вогнуты по своим аргументам;
-
если ui > 0, то si > 0. Таким образом, вариант ∑ui = 0 отвечает случаю, когда ∀i ui = 0; тогда общественный доход не создается и делить нечего.
Заметим, что все ограничения агентов 0 ≤ ui ≤ ri являются локальными, агенты независимы, глобальных ограничений на стратегии агентов нет. Возможно создание коалиций как в игре в нормальной форме, так и в иерархической игре.
Также введем утилитарную функцию общественного благосостояния, которая выражает интересы общества M в виде суммы целевых функций всех его членов (агентов):
Далее будем рассматривать дифференциальную модель согласования общих и частных интересов (СОЧИ-модель) при распределении ресурсов в маркетинговых сетях. Динамика управляемой системы описывает взаимодействие членов целевой аудитории (базовых агентов), ведущее к изменению их мнений (расходов на покупку товаров и услуг фирм, конкурирующих на некотором рынке). Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность. Координирующий Центр определяет маркетинговые бюджеты фирм и максимизирует суммарное мнение базовых агентов с учётом выделяемых фирмам ресурсов.
Исследуемая модель представляется следующими уравнениями дифференциальной иерархической игры:
, (1)
, , , , (2)
(3)
, , , (4)
, , , (5)
(6)
(1) -(6) – дифференциальная иерархическая игра.
Здесь
n – число базовых агентов (численность целевой аудитории),
m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то .
R – общий маркетинговый бюджет Центра,
T – период рассмотрения (длина игры),
, – функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно,
– маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t,
– мнение j-го базового агента в момент t,
– расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t,
– коэффициент влияния i-го базового агента на j-го,
– коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.
В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.
Допущения модели, цель и методы исследования
Динамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай показательных функций частного дохода базовых агентов, т.е.
Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.
В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.
-
Нахождение равновесия по Нэшу.
Исследуем задачу i-ой фирмы (3) -(6).
Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:
при условии
Максимизируя по , , , получаем
(2)
где .
Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем показательными,
Получаем:
Можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде
(3)
Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях , получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов :
(4)
здесь .
Определив коэффициенты , составляем дифференциальное уравнение для :
(5)
Уравнение (5) решаем методом вариации произвольных постоянных:
Так как данные уравнения не решаются аналитически, далее будем рассматривать конкретный пример, для численного решения уравнений и нахождения оптимальной стратегии управления.
При этом управления определяются выражением:
,
,
-
Численное решение
Проведем исследование динамической иерархической СОЧИ-модели для следующего набора входных данных:
n=2;
m=3;
T=2;
R=45;
Ρ=0.094;
Где n- количество базовых агентов, m - количество агентов влияния, T - период прогнозирования, ρ - коэффициент дисконтирования.
В матрице a, например, значение 0.7 - коэффициент влияния первого базового агента на самого себя, 0.3 - коэффициент влияния первого базового агента на второго базового агента и т.д. В матрице b, например, значение 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на первого базового агента, 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на второго базового агента и т.д. В массиве x0 значение 5 - начальное мнение первого базового агента, 0 - начальное мнение второго базового агента. В матрице r, например, 8.82 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния в первый момент времени, 0.76 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния во второй момент времени и т.д.
При фиксированных величинах распределения ресурсов Центра агентам влияния находим те сценарии, которые дают выигрышу Центра наибольшее значение. В результате получен оптимальный (и близкий к лучшему результату) сценарий для Центра и агентов влияния.
Решение данной задачи будем производить с помощью математического пакета MathCad.
MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. MathCAD 2001, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с MathCAD. Создатели MathCAD сделали все возможное чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя. В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:
-
– ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц);
-
– проведение математических расчетов;
-
– подготовка графиков с результатами расчетов;
-
– ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;
-
– подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
-
– подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;
-
– получение различной справочной информации из области математики.
Вводим исходные данные и производим поиск оптимального управления
Таблица № 1. Значения переменных x, r, u для рассмотренной модели:
Динамическая СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговых сетях
Оглавление
Введение 3
1.Обзор и анализ литературы 4
2.Математическая модель 8
3.Нахождение равновесия по Нэшу. 13
4.Численное решение 16
Заключение 22
Литература 23
Введение
Модели согласования общественных и частных интересов изучаются в экономике общественных благ [1]. В этих моделях предполагается, что каждый агент делит свои ресурсы между частной деятельностью и производством общего для всех агентов блага.
В данной работе рассматривается СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговой сети. На верхнем уровне управления находится координирующий Центр, распределяющий маркетинговые бюджеты между фирмами (агентами влияния) с целью максимизации суммарных мнений [5-7].
Динамика мнений базовых агентов определяется их взаимодействием и маркетинговым взаимодействием нескольких конкурирующих фирм [8].
Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность [9].
В настоящей работе приведены результаты нахождения выигрышей Центра и агентов влияния, а также анализ полученных результатов и сделан вывод об оптимальном распределении ресурсов.
-
Обзор и анализ литературы
Среди отечественных работ можно выделить работы [1-3], [9]. Булгакова И.Н. и Вертакова Ю.В. исследуют в целом возможность применения теории игр при управлении территориальным развитием [1]. В частности, они исследуют процесс оценивания эффективности процесса интеграции, формулируют условия этой возможности и возможные проблемы при этом.
Для исследования случая, когда организации объединяются в коалиции с целью сотрудничества и увеличения выпуска продукции, а, следовательно, и прибыли, используются кооперативные игры. При этом учитывается согласование интересов в иерархической системе, учитывается вклад предприятия в создание общей прибыли и находится принцип распределения общего выигрыша. Но в этих работах создателями и получателями благ являются предприятия в составе региона, в то время как в данной работе участниками системы являются регионов в составе макрорегиона.
Часто работы по территориальному управлению посвящены решению экологических проблем, связанных с общим для нескольких территорий природным объектом.
В работах Л.А. Петросяна и Дж. Заккура, например, в [9], моделировалось международное экологическое взаимодействие, результатом которого явилось динамически устойчивое распределение совокупных затрат при условии снижения общего уровня загрязнения, при котором предприятия добровольно принимают решение о дополнительном снижении сбросов загрязняющих веществ.
В работе Н.А. Зенкевича и Н.В. Козловской [2] исследована теоретико-игровая модель территориального экологического производства, в которой процесс управления выбросами моделируется неантагонистической дифференциальной игрой. Предложен устойчивый механизм перераспределения прибыли в случае кооперации предприятий с целью уменьшения общего загрязнения окружающей среды, основанный на равновесии по Нэшу. В качестве кооперативного решения игры построен и исследован устойчивый вектор Шепли, который обладает свойствами динамической устойчивости, стратегической устойчивости и устойчивости против иррационального поведения. В отличие от работы Петросяна и Заккура [9], в [2] не минимизируются выбросы, а максимизируется прибыль, для чего используется модель конкуренции предприятий по Курно.
Что же касается теоретико-игровых моделей управления территориальным развитием, в [3] описана и исследована двухуровневая модель государственно-частного партнерства (ГЧП) для ресурсных регионов. Наряду с участием в проекте ГЧП, инвестор получает налоговые льготы. В отличие от нашей модели в игре, описанной в [3], участвует один ресурсный регион, который выбирает, какие экономические, экологические проекты и проекты ГЧП следует выбрать для развития региона. Аналогичный выбор делает и инвестор. Для каждого выбранного проекта находится один инвестор. В [3] учитываются не только интересы агентов, но и интересы общества. Задача в [3] решается путем нахождения равновесия по Нэшу. Модели в [3] достаточно простые, учитываются лишь линейные функции, выраженные в форме балансовых соотношений.
Применение теоретико-игровых моделей также описано в [4], [7-8], [11-12]. Ф. Джи в [8] описана мультирегиональная игра (игра нескольких регионов) управления водными ресурсами Китая. Многие межрегиональные проблемы экологии водных ресурсов являются результатом игры между региональными правительствами, которые конкурируют за ресурсы и их экологическую чистоту в своих собственных региональных интересах. Конфликт между выгодой от использования водных ресурсов и экологией угрожает миру и стабильности регионов и ограничивает их устойчивое развитие. Одной из важных задач управления водными ресурсами стало разрешение конфликта водных ресурсов речного бассейна и содействие переговорам и сотрудничеству между регионами. В статье предлагается компромиссная процедура взаимодействия регионов в игре, основанная на применении теории переговоров для многокритериальной игры и общественном принятии решений. Эта процедура обеспечивает эффективный метод предотвращения или смягчения конфликта водных ресурсов в речном бассейне, а также аппарат для участия общественности и
принятия групповых решений в управлении водными ресурсами.
В [11] описаны кооперативные игры управления водными ресурсами, включая распределение затрат на проекты развития водных ресурсов, распределение затрат на региональную очистку сточных вод и управление трансграничными водными ресурсами в бассейне реки Рио-Гранде, расположенной в Северной Америке. В качестве игроков рассматриваются крупнейшие пользователи речных ресурсов в Соединенных Штатах и Мексике. Найденный оптимальный сценарий управления водными ресурсами предназначен для улучшения водообеспеченности пользователей, а также для учета потоков загрязнений в речном бассейне.
В [4] предлагается асимметричная модель социального планирования для стимулирования рациональных агентов, которые часто имеют различные географические, гидрологические, климатические и социально-экономические условия, к участию в совместном управлении трансграничными водными ресурсами. Теоретико-игровая модель Штакельберга используется для получения полезности независимых агентов на основе учета их пространственной неоднородности в доступности воды. Основываясь на коэффициентах переговоров агентов, совокупный доход от использования воды перераспределяется между агентами путем принятия асимметричного решения о переговорах по Нэшу. Для демонстрации применимости предложенной модели используется бассейн реки Цюйцзян в Китае. Результаты показывают, что эта интегрированная модель может дать полезную информацию для разрешения конфликтов в проблемах совместного использования рек.
В [12] строится трехсторонняя динамическая игровая модель регионального кооперативного управления загрязнением атмосферы в Китае с учетом неоднородного состава правительства. При помощи анализа равновесия Нэша в смешанных стратегиях исследуются возможные механизмы и необходимые условия для создания кооперативной модели, а также эффективные способы повышения административной эффективности вышестоящего правительства. Как показывают результаты, из-за неоднородности правительств и «свободного» поведения устойчивая кооперативная модель не может быть спонтанно сформирована двумя разнородными местными органами власти, поэтому вышестоящее правительство вынуждено контролировать обе стороны. В то же время вышестоящее правительство может повысить эффективность механизма надзора за счет увеличения штрафных санкций для некооперативных сторон участия и снижения издержек конфликта, когда местные органы власти не сотрудничают
В [7] представлена теоретико-игровая основа для переоценки функционирования и управления существующими многоцелевыми водными проектами с учетом конкурирующих и конфликтующих видов водопользования. В этом подходе подразумевается, что физическая и техническая осуществимость предлагаемой альтернативы перераспределения может быть вторичным критерием в общей оценке. Большее значение в процессе оценки может иметь тот факт, что различные альтернативы требуют различных уровней и типов институциональной и правовой поддержки для осуществления и различных уровней координации между конкурирующими сторонами. Особое внимание уделяется институциональным механизмам, позволяющим заключать обязательные соглашения, необходимые для превращения конфликтов в кооперативные игры. Предлагаемый подход применен к конфликтам водопользования в бассейне реки Карсон, штат Невада (США).
Большинство рассмотренных моделей рассматривает взаимодействие агентов в составе одного региона. Если же в модели учитывается несколько регионов, то в основном по причине наличия некоторого экологического объекта, по использованию которого необходимо заключить соглашение. Также в рассмотренных моделях чаще всего нет иерархического управления регионами.
-
Математическая модель
Обозначим через M = {0, 1, 2, . . ., n} – множество участников системы, где {0} – Принципал (Ведущий, Центр, верхний уровень), а N = {1, 2, . . ., n} – множество Агентов (подчиненных, элементы нижнего уровня).
Будем рассматривать целевые функции агентов в СОЧИ-модели в контексте распределения ресурсов между целевым и нецелевым использованием. Эти модели основаны на идее Гермейера–Вателя [2].
Имеется одноуровневая система управления, состоящая из нескольких равноправных агентов A1, A2, . . ., An. Каждый из этих агентов имеет некоторое количество ресурсов. Часть средств каждый из них передает для целевого использования, оставшуюся часть оставляет себе на нецелевые расходы. Все агенты участвуют в доходе от целевой деятельности и имеют свои функции выигрыша (рис. 1).
Рассмотрим статическую теоретико-игровую СОЧИ-модель в нормальной форме вида
Рисунок 1. Структура независимых агентов в СОЧИ-модели
Здесь M = {i, . . . , n} – конечное множество игроков (активных агентов);
Ui = [0, ri] – множество допустимых действий (стратегий) i-го игрока;
ri – ресурс, которым располагает i-й игрок;
ui – количество ресурсов, которое агент выделяет на общие цели (стратегия i-го участника игры), ui ∈ Ui;
gi(u1, . . . , un) – функция выигрыша i-го игрока;
pi(ri−ui) – функция частных интересов i-го игрока, аргументом которой является количество ресурсов (ri − ui), оставленное на частные цели;
c(u1 + . . . + un) – функция общественного дохода;
si – доля общественного дохода, выделяемая игроку i;
sic(u1 + . . . + un) – общественная составляющая выигрыша i-го игрока.
Таким образом, в СОЧИ–модели каждый игрок делит свой ресурс ri между общественными (в количестве ui) и частными (в количестве ri − ui) интересами.
Предполагается, что
-
функция c монотонно возрастает по всем ui, c(0, . . . , 0) = 0;
-
функции pi(ri − ui) монотонно возрастают по ri − ui, pi(0) = 0;
-
функции pi и c вогнуты по своим аргументам;
-
если ui > 0, то si > 0. Таким образом, вариант ∑ui = 0 отвечает случаю, когда ∀i ui = 0; тогда общественный доход не создается и делить нечего.
Заметим, что все ограничения агентов 0 ≤ ui ≤ ri являются локальными, агенты независимы, глобальных ограничений на стратегии агентов нет. Возможно создание коалиций как в игре в нормальной форме, так и в иерархической игре.
Также введем утилитарную функцию общественного благосостояния, которая выражает интересы общества M в виде суммы целевых функций всех его членов (агентов):
Далее будем рассматривать дифференциальную модель согласования общих и частных интересов (СОЧИ-модель) при распределении ресурсов в маркетинговых сетях. Динамика управляемой системы описывает взаимодействие членов целевой аудитории (базовых агентов), ведущее к изменению их мнений (расходов на покупку товаров и услуг фирм, конкурирующих на некотором рынке). Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность. Координирующий Центр определяет маркетинговые бюджеты фирм и максимизирует суммарное мнение базовых агентов с учётом выделяемых фирмам ресурсов.
Исследуемая модель представляется следующими уравнениями дифференциальной иерархической игры:
, (1)
, , , , (2)
(3)
, , , (4)
, , , (5)
(6)
(1) -(6) – дифференциальная иерархическая игра.
Здесь
n – число базовых агентов (численность целевой аудитории),
m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то .
R – общий маркетинговый бюджет Центра,
T – период рассмотрения (длина игры),
, – функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно,
– маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t,
– мнение j-го базового агента в момент t,
– расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t,
– коэффициент влияния i-го базового агента на j-го,
– коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.
В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.
Допущения модели, цель и методы исследования
Динамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай показательных функций частного дохода базовых агентов, т.е.
Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.
В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.
-
Нахождение равновесия по Нэшу.
Исследуем задачу i-ой фирмы (3) -(6).
Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:
при условии
Максимизируя по , , , получаем
(2)
где .
Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем показательными,
Получаем:
Можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде
(3)
Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях , получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов :
(4)
здесь .
Определив коэффициенты , составляем дифференциальное уравнение для :
(5)
Уравнение (5) решаем методом вариации произвольных постоянных:
Так как данные уравнения не решаются аналитически, далее будем рассматривать конкретный пример, для численного решения уравнений и нахождения оптимальной стратегии управления.
При этом управления определяются выражением:
,
,
-
Численное решение
Проведем исследование динамической иерархической СОЧИ-модели для следующего набора входных данных:
n=2;
m=3;
T=2;
R=45;
Ρ=0.094;
Где n- количество базовых агентов, m - количество агентов влияния, T - период прогнозирования, ρ - коэффициент дисконтирования.
В матрице a, например, значение 0.7 - коэффициент влияния первого базового агента на самого себя, 0.3 - коэффициент влияния первого базового агента на второго базового агента и т.д. В матрице b, например, значение 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на первого базового агента, 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на второго базового агента и т.д. В массиве x0 значение 5 - начальное мнение первого базового агента, 0 - начальное мнение второго базового агента. В матрице r, например, 8.82 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния в первый момент времени, 0.76 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния во второй момент времени и т.д.
При фиксированных величинах распределения ресурсов Центра агентам влияния находим те сценарии, которые дают выигрышу Центра наибольшее значение. В результате получен оптимальный (и близкий к лучшему результату) сценарий для Центра и агентов влияния.
Решение данной задачи будем производить с помощью математического пакета MathCad.
MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. MathCAD 2001, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с MathCAD. Создатели MathCAD сделали все возможное чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя. В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:
-
– ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц);
-
– проведение математических расчетов;
-
– подготовка графиков с результатами расчетов;
-
– ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;
-
– подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
-
– подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;
-
– получение различной справочной информации из области математики.
Вводим исходные данные и производим поиск оптимального управления
Таблица № 1. Значения переменных x, r, u для рассмотренной модели:
Динамическая СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговых сетях
Оглавление
Введение 3
1.Обзор и анализ литературы 4
2.Математическая модель 8
3.Нахождение равновесия по Нэшу. 13
4.Численное решение 16
Заключение 22
Литература 23
Введение
Модели согласования общественных и частных интересов изучаются в экономике общественных благ [1]. В этих моделях предполагается, что каждый агент делит свои ресурсы между частной деятельностью и производством общего для всех агентов блага.
В данной работе рассматривается СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговой сети. На верхнем уровне управления находится координирующий Центр, распределяющий маркетинговые бюджеты между фирмами (агентами влияния) с целью максимизации суммарных мнений [5-7].
Динамика мнений базовых агентов определяется их взаимодействием и маркетинговым взаимодействием нескольких конкурирующих фирм [8].
Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность [9].
В настоящей работе приведены результаты нахождения выигрышей Центра и агентов влияния, а также анализ полученных результатов и сделан вывод об оптимальном распределении ресурсов.
-
Обзор и анализ литературы
Среди отечественных работ можно выделить работы [1-3], [9]. Булгакова И.Н. и Вертакова Ю.В. исследуют в целом возможность применения теории игр при управлении территориальным развитием [1]. В частности, они исследуют процесс оценивания эффективности процесса интеграции, формулируют условия этой возможности и возможные проблемы при этом.
Для исследования случая, когда организации объединяются в коалиции с целью сотрудничества и увеличения выпуска продукции, а, следовательно, и прибыли, используются кооперативные игры. При этом учитывается согласование интересов в иерархической системе, учитывается вклад предприятия в создание общей прибыли и находится принцип распределения общего выигрыша. Но в этих работах создателями и получателями благ являются предприятия в составе региона, в то время как в данной работе участниками системы являются регионов в составе макрорегиона.
Часто работы по территориальному управлению посвящены решению экологических проблем, связанных с общим для нескольких территорий природным объектом.
В работах Л.А. Петросяна и Дж. Заккура, например, в [9], моделировалось международное экологическое взаимодействие, результатом которого явилось динамически устойчивое распределение совокупных затрат при условии снижения общего уровня загрязнения, при котором предприятия добровольно принимают решение о дополнительном снижении сбросов загрязняющих веществ.
В работе Н.А. Зенкевича и Н.В. Козловской [2] исследована теоретико-игровая модель территориального экологического производства, в которой процесс управления выбросами моделируется неантагонистической дифференциальной игрой. Предложен устойчивый механизм перераспределения прибыли в случае кооперации предприятий с целью уменьшения общего загрязнения окружающей среды, основанный на равновесии по Нэшу. В качестве кооперативного решения игры построен и исследован устойчивый вектор Шепли, который обладает свойствами динамической устойчивости, стратегической устойчивости и устойчивости против иррационального поведения. В отличие от работы Петросяна и Заккура [9], в [2] не минимизируются выбросы, а максимизируется прибыль, для чего используется модель конкуренции предприятий по Курно.
Что же касается теоретико-игровых моделей управления территориальным развитием, в [3] описана и исследована двухуровневая модель государственно-частного партнерства (ГЧП) для ресурсных регионов. Наряду с участием в проекте ГЧП, инвестор получает налоговые льготы. В отличие от нашей модели в игре, описанной в [3], участвует один ресурсный регион, который выбирает, какие экономические, экологические проекты и проекты ГЧП следует выбрать для развития региона. Аналогичный выбор делает и инвестор. Для каждого выбранного проекта находится один инвестор. В [3] учитываются не только интересы агентов, но и интересы общества. Задача в [3] решается путем нахождения равновесия по Нэшу. Модели в [3] достаточно простые, учитываются лишь линейные функции, выраженные в форме балансовых соотношений.
Применение теоретико-игровых моделей также описано в [4], [7-8], [11-12]. Ф. Джи в [8] описана мультирегиональная игра (игра нескольких регионов) управления водными ресурсами Китая. Многие межрегиональные проблемы экологии водных ресурсов являются результатом игры между региональными правительствами, которые конкурируют за ресурсы и их экологическую чистоту в своих собственных региональных интересах. Конфликт между выгодой от использования водных ресурсов и экологией угрожает миру и стабильности регионов и ограничивает их устойчивое развитие. Одной из важных задач управления водными ресурсами стало разрешение конфликта водных ресурсов речного бассейна и содействие переговорам и сотрудничеству между регионами. В статье предлагается компромиссная процедура взаимодействия регионов в игре, основанная на применении теории переговоров для многокритериальной игры и общественном принятии решений. Эта процедура обеспечивает эффективный метод предотвращения или смягчения конфликта водных ресурсов в речном бассейне, а также аппарат для участия общественности и
принятия групповых решений в управлении водными ресурсами.
В [11] описаны кооперативные игры управления водными ресурсами, включая распределение затрат на проекты развития водных ресурсов, распределение затрат на региональную очистку сточных вод и управление трансграничными водными ресурсами в бассейне реки Рио-Гранде, расположенной в Северной Америке. В качестве игроков рассматриваются крупнейшие пользователи речных ресурсов в Соединенных Штатах и Мексике. Найденный оптимальный сценарий управления водными ресурсами предназначен для улучшения водообеспеченности пользователей, а также для учета потоков загрязнений в речном бассейне.
В [4] предлагается асимметричная модель социального планирования для стимулирования рациональных агентов, которые часто имеют различные географические, гидрологические, климатические и социально-экономические условия, к участию в совместном управлении трансграничными водными ресурсами. Теоретико-игровая модель Штакельберга используется для получения полезности независимых агентов на основе учета их пространственной неоднородности в доступности воды. Основываясь на коэффициентах переговоров агентов, совокупный доход от использования воды перераспределяется между агентами путем принятия асимметричного решения о переговорах по Нэшу. Для демонстрации применимости предложенной модели используется бассейн реки Цюйцзян в Китае. Результаты показывают, что эта интегрированная модель может дать полезную информацию для разрешения конфликтов в проблемах совместного использования рек.
В [12] строится трехсторонняя динамическая игровая модель регионального кооперативного управления загрязнением атмосферы в Китае с учетом неоднородного состава правительства. При помощи анализа равновесия Нэша в смешанных стратегиях исследуются возможные механизмы и необходимые условия для создания кооперативной модели, а также эффективные способы повышения административной эффективности вышестоящего правительства. Как показывают результаты, из-за неоднородности правительств и «свободного» поведения устойчивая кооперативная модель не может быть спонтанно сформирована двумя разнородными местными органами власти, поэтому вышестоящее правительство вынуждено контролировать обе стороны. В то же время вышестоящее правительство может повысить эффективность механизма надзора за счет увеличения штрафных санкций для некооперативных сторон участия и снижения издержек конфликта, когда местные органы власти не сотрудничают
В [7] представлена теоретико-игровая основа для переоценки функционирования и управления существующими многоцелевыми водными проектами с учетом конкурирующих и конфликтующих видов водопользования. В этом подходе подразумевается, что физическая и техническая осуществимость предлагаемой альтернативы перераспределения может быть вторичным критерием в общей оценке. Большее значение в процессе оценки может иметь тот факт, что различные альтернативы требуют различных уровней и типов институциональной и правовой поддержки для осуществления и различных уровней координации между конкурирующими сторонами. Особое внимание уделяется институциональным механизмам, позволяющим заключать обязательные соглашения, необходимые для превращения конфликтов в кооперативные игры. Предлагаемый подход применен к конфликтам водопользования в бассейне реки Карсон, штат Невада (США).
Большинство рассмотренных моделей рассматривает взаимодействие агентов в составе одного региона. Если же в модели учитывается несколько регионов, то в основном по причине наличия некоторого экологического объекта, по использованию которого необходимо заключить соглашение. Также в рассмотренных моделях чаще всего нет иерархического управления регионами.
-
Математическая модель
Обозначим через M = {0, 1, 2, . . ., n} – множество участников системы, где {0} – Принципал (Ведущий, Центр, верхний уровень), а N = {1, 2, . . ., n} – множество Агентов (подчиненных, элементы нижнего уровня).
Будем рассматривать целевые функции агентов в СОЧИ-модели в контексте распределения ресурсов между целевым и нецелевым использованием. Эти модели основаны на идее Гермейера–Вателя [2].
Имеется одноуровневая система управления, состоящая из нескольких равноправных агентов A1, A2, . . ., An. Каждый из этих агентов имеет некоторое количество ресурсов. Часть средств каждый из них передает для целевого использования, оставшуюся часть оставляет себе на нецелевые расходы. Все агенты участвуют в доходе от целевой деятельности и имеют свои функции выигрыша (рис. 1).
Рассмотрим статическую теоретико-игровую СОЧИ-модель в нормальной форме вида
Рисунок 1. Структура независимых агентов в СОЧИ-модели
Здесь M = {i, . . . , n} – конечное множество игроков (активных агентов);
Ui = [0, ri] – множество допустимых действий (стратегий) i-го игрока;
ri – ресурс, которым располагает i-й игрок;
ui – количество ресурсов, которое агент выделяет на общие цели (стратегия i-го участника игры), ui ∈ Ui;
gi(u1, . . . , un) – функция выигрыша i-го игрока;
pi(ri−ui) – функция частных интересов i-го игрока, аргументом которой является количество ресурсов (ri − ui), оставленное на частные цели;
c(u1 + . . . + un) – функция общественного дохода;
si – доля общественного дохода, выделяемая игроку i;
sic(u1 + . . . + un) – общественная составляющая выигрыша i-го игрока.
Таким образом, в СОЧИ–модели каждый игрок делит свой ресурс ri между общественными (в количестве ui) и частными (в количестве ri − ui) интересами.
Предполагается, что
-
функция c монотонно возрастает по всем ui, c(0, . . . , 0) = 0;
-
функции pi(ri − ui) монотонно возрастают по ri − ui, pi(0) = 0;
-
функции pi и c вогнуты по своим аргументам;
-
если ui > 0, то si > 0. Таким образом, вариант ∑ui = 0 отвечает случаю, когда ∀i ui = 0; тогда общественный доход не создается и делить нечего.
Заметим, что все ограничения агентов 0 ≤ ui ≤ ri являются локальными, агенты независимы, глобальных ограничений на стратегии агентов нет. Возможно создание коалиций как в игре в нормальной форме, так и в иерархической игре.
Также введем утилитарную функцию общественного благосостояния, которая выражает интересы общества M в виде суммы целевых функций всех его членов (агентов):
Далее будем рассматривать дифференциальную модель согласования общих и частных интересов (СОЧИ-модель) при распределении ресурсов в маркетинговых сетях. Динамика управляемой системы описывает взаимодействие членов целевой аудитории (базовых агентов), ведущее к изменению их мнений (расходов на покупку товаров и услуг фирм, конкурирующих на некотором рынке). Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность. Координирующий Центр определяет маркетинговые бюджеты фирм и максимизирует суммарное мнение базовых агентов с учётом выделяемых фирмам ресурсов.
Исследуемая модель представляется следующими уравнениями дифференциальной иерархической игры:
, (1)
, , , , (2)
(3)
, , , (4)
, , , (5)
(6)
(1) -(6) – дифференциальная иерархическая игра.
Здесь
n – число базовых агентов (численность целевой аудитории),
m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то .
R – общий маркетинговый бюджет Центра,
T – период рассмотрения (длина игры),
, – функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно,
– маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t,
– мнение j-го базового агента в момент t,
– расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t,
– коэффициент влияния i-го базового агента на j-го,
– коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.
В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.
Допущения модели, цель и методы исследования
Динамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай показательных функций частного дохода базовых агентов, т.е.
Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.
В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.
-
Нахождение равновесия по Нэшу.
Исследуем задачу i-ой фирмы (3) -(6).
Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:
при условии
Максимизируя по , , , получаем
(2)
где .
Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем показательными,
Получаем:
Можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде
(3)
Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях , получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов :
(4)
здесь .
Определив коэффициенты , составляем дифференциальное уравнение для :
(5)
Уравнение (5) решаем методом вариации произвольных постоянных:
Так как данные уравнения не решаются аналитически, далее будем рассматривать конкретный пример, для численного решения уравнений и нахождения оптимальной стратегии управления.
При этом управления определяются выражением:
,
,
-
Численное решение
Проведем исследование динамической иерархической СОЧИ-модели для следующего набора входных данных:
n=2;
m=3;
T=2;
R=45;
Ρ=0.094;
Где n- количество базовых агентов, m - количество агентов влияния, T - период прогнозирования, ρ - коэффициент дисконтирования.
В матрице a, например, значение 0.7 - коэффициент влияния первого базового агента на самого себя, 0.3 - коэффициент влияния первого базового агента на второго базового агента и т.д. В матрице b, например, значение 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на первого базового агента, 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на второго базового агента и т.д. В массиве x0 значение 5 - начальное мнение первого базового агента, 0 - начальное мнение второго базового агента. В матрице r, например, 8.82 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния в первый момент времени, 0.76 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния во второй момент времени и т.д.
При фиксированных величинах распределения ресурсов Центра агентам влияния находим те сценарии, которые дают выигрышу Центра наибольшее значение. В результате получен оптимальный (и близкий к лучшему результату) сценарий для Центра и агентов влияния.
Решение данной задачи будем производить с помощью математического пакета MathCad.
MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. MathCAD 2001, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с MathCAD. Создатели MathCAD сделали все возможное чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя. В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:
-
– ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц);
-
– проведение математических расчетов;
-
– подготовка графиков с результатами расчетов;
-
– ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;
-
– подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
-
– подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;
-
– получение различной справочной информации из области математики.
Вводим исходные данные и производим поиск оптимального управления
Таблица № 1. Значения переменных x, r, u для рассмотренной модели:
Динамическая СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговых сетях
Оглавление
Введение 3
1.Обзор и анализ литературы 4
2.Математическая модель 8
3.Нахождение равновесия по Нэшу. 13
4.Численное решение 16
Заключение 22
Литература 23
Введение
Модели согласования общественных и частных интересов изучаются в экономике общественных благ [1]. В этих моделях предполагается, что каждый агент делит свои ресурсы между частной деятельностью и производством общего для всех агентов блага.
В данной работе рассматривается СОЧИ-модель распределения ресурсов в маркетинговой сети. На верхнем уровне управления находится координирующий Центр, распределяющий маркетинговые бюджеты между фирмами (агентами влияния) с целью максимизации суммарных мнений [5-7].
Динамика мнений базовых агентов определяется их взаимодействием и маркетинговым взаимодействием нескольких конкурирующих фирм [8].
Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность [9].
В настоящей работе приведены результаты нахождения выигрышей Центра и агентов влияния, а также анализ полученных результатов и сделан вывод об оптимальном распределении ресурсов.
-
Обзор и анализ литературы
Среди отечественных работ можно выделить работы [1-3], [9]. Булгакова И.Н. и Вертакова Ю.В. исследуют в целом возможность применения теории игр при управлении территориальным развитием [1]. В частности, они исследуют процесс оценивания эффективности процесса интеграции, формулируют условия этой возможности и возможные проблемы при этом.
Для исследования случая, когда организации объединяются в коалиции с целью сотрудничества и увеличения выпуска продукции, а, следовательно, и прибыли, используются кооперативные игры. При этом учитывается согласование интересов в иерархической системе, учитывается вклад предприятия в создание общей прибыли и находится принцип распределения общего выигрыша. Но в этих работах создателями и получателями благ являются предприятия в составе региона, в то время как в данной работе участниками системы являются регионов в составе макрорегиона.
Часто работы по территориальному управлению посвящены решению экологических проблем, связанных с общим для нескольких территорий природным объектом.
В работах Л.А. Петросяна и Дж. Заккура, например, в [9], моделировалось международное экологическое взаимодействие, результатом которого явилось динамически устойчивое распределение совокупных затрат при условии снижения общего уровня загрязнения, при котором предприятия добровольно принимают решение о дополнительном снижении сбросов загрязняющих веществ.
В работе Н.А. Зенкевича и Н.В. Козловской [2] исследована теоретико-игровая модель территориального экологического производства, в которой процесс управления выбросами моделируется неантагонистической дифференциальной игрой. Предложен устойчивый механизм перераспределения прибыли в случае кооперации предприятий с целью уменьшения общего загрязнения окружающей среды, основанный на равновесии по Нэшу. В качестве кооперативного решения игры построен и исследован устойчивый вектор Шепли, который обладает свойствами динамической устойчивости, стратегической устойчивости и устойчивости против иррационального поведения. В отличие от работы Петросяна и Заккура [9], в [2] не минимизируются выбросы, а максимизируется прибыль, для чего используется модель конкуренции предприятий по Курно.
Что же касается теоретико-игровых моделей управления территориальным развитием, в [3] описана и исследована двухуровневая модель государственно-частного партнерства (ГЧП) для ресурсных регионов. Наряду с участием в проекте ГЧП, инвестор получает налоговые льготы. В отличие от нашей модели в игре, описанной в [3], участвует один ресурсный регион, который выбирает, какие экономические, экологические проекты и проекты ГЧП следует выбрать для развития региона. Аналогичный выбор делает и инвестор. Для каждого выбранного проекта находится один инвестор. В [3] учитываются не только интересы агентов, но и интересы общества. Задача в [3] решается путем нахождения равновесия по Нэшу. Модели в [3] достаточно простые, учитываются лишь линейные функции, выраженные в форме балансовых соотношений.
Применение теоретико-игровых моделей также описано в [4], [7-8], [11-12]. Ф. Джи в [8] описана мультирегиональная игра (игра нескольких регионов) управления водными ресурсами Китая. Многие межрегиональные проблемы экологии водных ресурсов являются результатом игры между региональными правительствами, которые конкурируют за ресурсы и их экологическую чистоту в своих собственных региональных интересах. Конфликт между выгодой от использования водных ресурсов и экологией угрожает миру и стабильности регионов и ограничивает их устойчивое развитие. Одной из важных задач управления водными ресурсами стало разрешение конфликта водных ресурсов речного бассейна и содействие переговорам и сотрудничеству между регионами. В статье предлагается компромиссная процедура взаимодействия регионов в игре, основанная на применении теории переговоров для многокритериальной игры и общественном принятии решений. Эта процедура обеспечивает эффективный метод предотвращения или смягчения конфликта водных ресурсов в речном бассейне, а также аппарат для участия общественности и
принятия групповых решений в управлении водными ресурсами.
В [11] описаны кооперативные игры управления водными ресурсами, включая распределение затрат на проекты развития водных ресурсов, распределение затрат на региональную очистку сточных вод и управление трансграничными водными ресурсами в бассейне реки Рио-Гранде, расположенной в Северной Америке. В качестве игроков рассматриваются крупнейшие пользователи речных ресурсов в Соединенных Штатах и Мексике. Найденный оптимальный сценарий управления водными ресурсами предназначен для улучшения водообеспеченности пользователей, а также для учета потоков загрязнений в речном бассейне.
В [4] предлагается асимметричная модель социального планирования для стимулирования рациональных агентов, которые часто имеют различные географические, гидрологические, климатические и социально-экономические условия, к участию в совместном управлении трансграничными водными ресурсами. Теоретико-игровая модель Штакельберга используется для получения полезности независимых агентов на основе учета их пространственной неоднородности в доступности воды. Основываясь на коэффициентах переговоров агентов, совокупный доход от использования воды перераспределяется между агентами путем принятия асимметричного решения о переговорах по Нэшу. Для демонстрации применимости предложенной модели используется бассейн реки Цюйцзян в Китае. Результаты показывают, что эта интегрированная модель может дать полезную информацию для разрешения конфликтов в проблемах совместного использования рек.
В [12] строится трехсторонняя динамическая игровая модель регионального кооперативного управления загрязнением атмосферы в Китае с учетом неоднородного состава правительства. При помощи анализа равновесия Нэша в смешанных стратегиях исследуются возможные механизмы и необходимые условия для создания кооперативной модели, а также эффективные способы повышения административной эффективности вышестоящего правительства. Как показывают результаты, из-за неоднородности правительств и «свободного» поведения устойчивая кооперативная модель не может быть спонтанно сформирована двумя разнородными местными органами власти, поэтому вышестоящее правительство вынуждено контролировать обе стороны. В то же время вышестоящее правительство может повысить эффективность механизма надзора за счет увеличения штрафных санкций для некооперативных сторон участия и снижения издержек конфликта, когда местные органы власти не сотрудничают
В [7] представлена теоретико-игровая основа для переоценки функционирования и управления существующими многоцелевыми водными проектами с учетом конкурирующих и конфликтующих видов водопользования. В этом подходе подразумевается, что физическая и техническая осуществимость предлагаемой альтернативы перераспределения может быть вторичным критерием в общей оценке. Большее значение в процессе оценки может иметь тот факт, что различные альтернативы требуют различных уровней и типов институциональной и правовой поддержки для осуществления и различных уровней координации между конкурирующими сторонами. Особое внимание уделяется институциональным механизмам, позволяющим заключать обязательные соглашения, необходимые для превращения конфликтов в кооперативные игры. Предлагаемый подход применен к конфликтам водопользования в бассейне реки Карсон, штат Невада (США).
Большинство рассмотренных моделей рассматривает взаимодействие агентов в составе одного региона. Если же в модели учитывается несколько регионов, то в основном по причине наличия некоторого экологического объекта, по использованию которого необходимо заключить соглашение. Также в рассмотренных моделях чаще всего нет иерархического управления регионами.
-
Математическая модель
Обозначим через M = {0, 1, 2, . . ., n} – множество участников системы, где {0} – Принципал (Ведущий, Центр, верхний уровень), а N = {1, 2, . . ., n} – множество Агентов (подчиненных, элементы нижнего уровня).
Будем рассматривать целевые функции агентов в СОЧИ-модели в контексте распределения ресурсов между целевым и нецелевым использованием. Эти модели основаны на идее Гермейера–Вателя [2].
Имеется одноуровневая система управления, состоящая из нескольких равноправных агентов A1, A2, . . ., An. Каждый из этих агентов имеет некоторое количество ресурсов. Часть средств каждый из них передает для целевого использования, оставшуюся часть оставляет себе на нецелевые расходы. Все агенты участвуют в доходе от целевой деятельности и имеют свои функции выигрыша (рис. 1).
Рассмотрим статическую теоретико-игровую СОЧИ-модель в нормальной форме вида
Рисунок 1. Структура независимых агентов в СОЧИ-модели
Здесь M = {i, . . . , n} – конечное множество игроков (активных агентов);
Ui = [0, ri] – множество допустимых действий (стратегий) i-го игрока;
ri – ресурс, которым располагает i-й игрок;
ui – количество ресурсов, которое агент выделяет на общие цели (стратегия i-го участника игры), ui ∈ Ui;
gi(u1, . . . , un) – функция выигрыша i-го игрока;
pi(ri−ui) – функция частных интересов i-го игрока, аргументом которой является количество ресурсов (ri − ui), оставленное на частные цели;
c(u1 + . . . + un) – функция общественного дохода;
si – доля общественного дохода, выделяемая игроку i;
sic(u1 + . . . + un) – общественная составляющая выигрыша i-го игрока.
Таким образом, в СОЧИ–модели каждый игрок делит свой ресурс ri между общественными (в количестве ui) и частными (в количестве ri − ui) интересами.
Предполагается, что
-
функция c монотонно возрастает по всем ui, c(0, . . . , 0) = 0; -
функции pi(ri − ui) монотонно возрастают по ri − ui, pi(0) = 0; -
функции pi и c вогнуты по своим аргументам; -
если ui > 0, то si > 0. Таким образом, вариант ∑ui = 0 отвечает случаю, когда ∀i ui = 0; тогда общественный доход не создается и делить нечего.
Заметим, что все ограничения агентов 0 ≤ ui ≤ ri являются локальными, агенты независимы, глобальных ограничений на стратегии агентов нет. Возможно создание коалиций как в игре в нормальной форме, так и в иерархической игре.
Также введем утилитарную функцию общественного благосостояния, которая выражает интересы общества M в виде суммы целевых функций всех его членов (агентов):
Далее будем рассматривать дифференциальную модель согласования общих и частных интересов (СОЧИ-модель) при распределении ресурсов в маркетинговых сетях. Динамика управляемой системы описывает взаимодействие членов целевой аудитории (базовых агентов), ведущее к изменению их мнений (расходов на покупку товаров и услуг фирм, конкурирующих на некотором рынке). Выигрыш каждой фирмы включает две слагаемых: суммарное мнение базовых агентов с учётом маркетинговых затрат (общий интерес для всех агентов влияния) и доход от инвестиций в некоторую частную деятельность. Координирующий Центр определяет маркетинговые бюджеты фирм и максимизирует суммарное мнение базовых агентов с учётом выделяемых фирмам ресурсов.
Исследуемая модель представляется следующими уравнениями дифференциальной иерархической игры:
, (1),
, , , (2) (3) , , , (4) , , , (5) (6)(1) -(6) – дифференциальная иерархическая игра.
Здесь
n – число базовых агентов (численность целевой аудитории),
m – число агентов влияния (конкурирующих субъектов маркетинга), при этом, поскольку разные фирмы по-разному решают вопрос, на каких агентов сильных подгрупп влиять, а на каких – нет, мы просто считаем, что если i-ая фирма не влияет на j-го агента, то
.R – общий маркетинговый бюджет Центра,
T – период рассмотрения (длина игры),
, – функционалы выигрыша Центра и агентов влияния соответственно, – маркетинговый бюджет, выделяемый Центром i-му агенту в момент t, – мнение j-го базового агента в момент t, – расходы i-го агента влияния на маркетинговое воздействие на j-го базового агента в момент t, – коэффициент влияния i-го базового агента на j-го, – коэффициент воздействия i-го агента влияния на j-го базового агента.В качестве общих интересов в модели принимается максимизация мнения всех базовых агентов системы.
Допущения модели, цель и методы исследования
Динамическими СОЧИ-моделями распределения ресурсов в сетевом маркетинге мы стали заниматься совсем недавно. На сегодняшний момент рассмотрен самый простой случай – случай показательных функций частного дохода базовых агентов, т.е.
Различаем Центр благожелательный и безразличный к частным интересам базового агента. В случае благожелательного Центра в его целевую функцию Ведущего включаются частные интересы агентов влияния. В этом случае функция Ведущего представляет собой функцию общественного благосостояния, в которой суммируются целевые функции всех агентов влияния, в каждой из которых сочетаются общие и частные интересы последнего за минусом затрат ресурсов на достижение своих целей.
В случае же Центра, безразличного к частным интересам агента, последние не входят в целевую функцию Центра, которая представляет собой только максимизация суммарного мнения всех базовых агентов за минусом ресурсов, выделяемых им i-й фирме на привлечение клиентов. В данной статье рассмотрен лишь безразличный Центр.
-
Нахождение равновесия по Нэшу.
Исследуем задачу i-ой фирмы (3) -(6).
Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:
при условии
Максимизируя по
, , , получаем (2)где
.Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем показательными,
Получаем:
Можем записать уравнение (1) с учетом (2) в виде
(3) Приравнивая в левой и правой частях уравнения (3) коэффициенты при первых степенях
, получаем следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов : (4)здесь
. Определив коэффициенты
, составляем дифференциальное уравнение для : (5)Уравнение (5) решаем методом вариации произвольных постоянных:
Так как данные уравнения не решаются аналитически, далее будем рассматривать конкретный пример, для численного решения уравнений и нахождения оптимальной стратегии управления.
При этом управления определяются выражением:
, ,-
Численное решение
Проведем исследование динамической иерархической СОЧИ-модели для следующего набора входных данных:
n=2;
m=3;
T=2;
R=45;
Ρ=0.094;
Где n- количество базовых агентов, m - количество агентов влияния, T - период прогнозирования, ρ - коэффициент дисконтирования.
В матрице a, например, значение 0.7 - коэффициент влияния первого базового агента на самого себя, 0.3 - коэффициент влияния первого базового агента на второго базового агента и т.д. В матрице b, например, значение 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на первого базового агента, 0.5 - коэффициент воздействия первого агента влияния на второго базового агента и т.д. В массиве x0 значение 5 - начальное мнение первого базового агента, 0 - начальное мнение второго базового агента. В матрице r, например, 8.82 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния в первый момент времени, 0.76 - начальное распределение ресурсов Центра для первого агента влияния во второй момент времени и т.д.
При фиксированных величинах распределения ресурсов Центра агентам влияния находим те сценарии, которые дают выигрышу Центра наибольшее значение. В результате получен оптимальный (и близкий к лучшему результату) сценарий для Центра и агентов влияния.
Решение данной задачи будем производить с помощью математического пакета MathCad.
MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи MathCAD – это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением. MathCAD 2001, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" - "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с MathCAD. Создатели MathCAD сделали все возможное чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя. В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:
-
– ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц); -
– проведение математических расчетов; -
– подготовка графиков с результатами расчетов; -
– ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах; -
– подготовка отчетов работы в виде печатных документов; -
– подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете; -
– получение различной справочной информации из области математики.
Вводим исходные данные и производим поиск оптимального управления
Таблица № 1. Значения переменных x, r, u для рассмотренной модели:
| x | r | u |
| 1,165950416535500 | 8,817567240361850 | 2,8385302945697100 |
| 5,128185572478590 | 8,832126920498960 | 5,3899832178828500 |
| 21,333772171583400 | 15,382493622779100 | 5,2667737879513000 |
| 12,300832721543300 | 0,762133011949310 | 1,9207740893408400 |
| | 1,745559122294910 | 1,1782213115189700 |
| | 0,2359102574344300 | 10,1728522011567000 |
| | | 0,3501650805515800 |
| | | 0,2782878625485260 |
| | | 0,4481616659098360 |
| | | 1,1669246791715900 |
| | | 0,0593236831266814 |
| | | 0,0969316320329281 |
Таблица №2. Суммарный дисконтированный доход Центра и агентов влияния.
| J0 | J1 | J2 | J3 |
| 10,360378971720400 | 57,210257286300200 | 50,937469134443400 | 68,337581152649500 |
| 9,833619575191760 | 55,183753871224700 | 50,377930128440300 | 62,767527323550100 |
-
Булгакова И. Н., Вертакова Ю. В. Использование теории игр при управлении территориальным развитием (на примере оценки эффективности интегрированных структур) // Известия СПбГЭУ. 2017. №2 (104). -
Зенкевич Н.А., Козловская Н.В. Устойчивый вектор Шепли в кооперативной задаче территориального экологического производства // МТИП. 2010. Т. 2, вып. 1. С. 67–92. -
Лавлинский С.М., Панин А.А., Плясунов А.В. Модели Штакельберга в территориальном управлении // АиТ. 2019. Т. 2. С. 111–124. -
Angeon V., Lardon S. Participation and governance in territorial development projects: the ’territory game’ as a local project leadership system // International J. of Sustainable Development. 2008. V. 1 2/3/4. -
Anopchenko T.Y., Gorbaneva O.I., Lazareva E.I., Murzin A.D. and Ougolnitsky G.A. Advanced Solow model as a tool for coordination of interests of spatial economic systems’ development (On the materials of the South Russian macro-region) // Advances in Systems Science and Applications. 2019. V. 19(4). P. 1–13. -
Anopchenko T.Y., Gorbaneva O.I., Lazareva E.I., Murzin A.D., Ougolnitsky G.A. and Roshchina E.V. Dynamic Model of Macroregion Subjects’ Interests Coordination // Proceedings - 2019 1st Int. Conference on Control Systems, Mathematical Modelling, Automation and Energy Efficiency. SUMMA 2019. P. 141–146. -
Israel M., Lund J.R., Orlob G.T. Cooperative game theory in water resources // Proc. of the 21st Ann. Conf. on Water Policy. 1994. P. 569–572. -
Ji F. Multi-Region Negotiation Game for Water Resource Management of River Basin // 2008 4th Intern. Conference on Wireles Communications, Networking and Mobile Computing. Dalian. 2008. P. 1–4. -
Petrosyan L., Zaccour G. Time-consistent Shapley value allocation of pollution cost reduction // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. V. 27(3). P. 381–398. -
Solow R.M. A Contribution to the Theory of Economic Growth // The Quarterly Journal of Economics. 1956. V. 70 (1). P. 65–94. Teasley R.L., McKinney D.C. Evaluating water resource management in the transboundary Rio Grande/Bravo using cooperative game theory // World Environmental and Water Resources Congress 2010: Challenges of Change - Proceedings of the World Environmental and Water Resources Congress. 2010. P. 2194–2203. -
Zhang M., Li H., Xue L., Wang W. Using three-sided dynamic game model to study regional cooperative governance of haze pollution I China from a government heterogeneity perspective // Science of the Total Environment. 2019. V. 694. 133559. -
Long N.V. (2010). A Survey of Dynamic Games in Economics. World Scientific Publishing Company. -
Горбанева О.И. Модели сочетания общих и частных интересов независимых агентов // МТИП, 80:9 (2019), с.1745–1753. -
Ougolnitsky, G., Anopchenko, T., Gorbaneva, O., Lazareva, E., & Murzin, A. (2018). Systems Methodology And Model Tools For Territorial Sustainable Management. Advances in Systems Science and Applications, 18(4), pp.1-13. -
Угольницкий Г.А., Усов А.Б., Алгоритмы решения дифференциальных моделей иерархических систем управления // Автоматика и телемеханика, 2016, № 5, с. 148–158. -
Кононенко А.Ф. Теоретико-игровой анализ двухуровневой иерархической системы управления // ЖВМ и МФ, 1974, 14(5), с.1161-1070. -
Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Динамические игры. III. Иерархические игры // Автоматика и телемеханика, 2015 (2), с. 89-106. -
Прилуцкий М.Х., Колосовская У.С. Распределение ресурсов в иерархических системах транспортного типа с интервальными значениями критериев оптимальности // Инженерный вестник Дона, 2015, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3212 -
Жуковская Н.К., “Согласование интересов в иерархических системах”, Инженерный вестник Дона, 2011, №4. URL: www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/584 -
Бунаков А.Э., Кононенко А.Ф., Чистяков Ю.Е. Иерархические дифференциальные (динамические) игры и их приложения // Кибернетика и вычислительная техника. 1987, №3, с. 140-154. -
Faisca N.P., Saraiva P.M., Rustem B., and Pistikopoulos E.N., “A multi-parametric programming approach for multilevel hierarchical and decentralized optimization problems”, Computational Management Science, 2009, vol. 6, № 4, pp.377-397.
