Файл: мет_указ8.doc

то для требуемой точности ответа обычно достаточно одной итерации .

Замечания.

1) Многошаговый метод не является самоначинающимся (самостартующим) в отличие от одношагового метода. Для реализации многошагового метода полиномиальной аппроксимации (22) нужно задать предыдущих (стартовых) значений . Очевидно, что для получения этих значений должен быть использован по крайней мере раз одношаговый метод. Обычно для вычисления стартовых значений пользуются методом Рунге-Кутта.

2) При численной реализации некоторых алгоритмов методов полиномиальной аппроксимации алгоритмическая ошибка и ошибка округления могут усиливаться (накапливаться) при каждом шаге. Поэтому через несколько шагов возросшая ошибка будет преобладать над самим решением. Это делает совершенно бесполезным применение таких методов. Таким образом, метод должен быть не только точным, но и устойчивым в том смысле, что алгоритмическая ошибка и ошибка округления должны оставаться ограниченными при достаточно малой величине шага при .

Устойчивость методов полиномиальной аппроксимации.

При анализе устойчивости метода полиномиальной аппроксимации обычно обращаются к тестовой задаче Коши

где - комплексный параметр.

Применим алгоритм (22) к решению задач (38), получим

Преобразуем (39) в эквивалентное разностное уравнение

где .

Положив в (40) , получим после сокращения на многочлен степени :

Многочлен (41) будем называть характеристическим многочленом метода полиномиальной аппроксимации (22).

Общее решение разностного уравнения (40) определяется выражением

где - различных корней характеристического многочлена (41), - произвольные постоянные, значения которых находятся из стартовых значений решения. Если характеристический многочлен (41) имеет кратный корень ( - его кратность), то соответствующее слагаемое в формуле (42) общего решения будет иметь вид

Заметим, что если , то при (даже в том случае, когда корень - простой). Если - корень кратности и , то из (43) следует, что при .

Замечание. При значение является простым корнем характеристического многочлена тогда и только тогда, когда .

Теорема (критерий устойчивости методов полиномиальной аппроксимации).

Состоятельный метод полиномиальной аппроксимации (22), удовлетворяющий условию , устойчив (в том смысле, что локальная алгоритмическая ошибка метода и ошибка округления остаются ограниченными при достаточно малой величине шага ) тогда и только тогда, когда все корни многочлена

таковы, что , а те корни, для которых , простые.

Корни многочлена (44) принято называть паразитными.

Замечание. Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Мултона устойчивые. Действительно, для этих методов , . Поэтому

.

Здесь все корни многочлена равны нулю и, следовательно, лежат внутри единичного круга.

Обозначим через - решение уравнения

со стартовыми значениями ( ).

Теорема (оценка глобальной погрешности многошагового метода полиномиальной аппроксимации).

Пусть выполнены следующие условия:

1. Правая часть дифференциального уравнения определена непрерывна в области и существует константа , не зависящая от такая, что в области

2. Пусть - точное решение уравнения задачи Коши (1) имеет на отрезке непрерывные производные до порядка , .

3. Метод полиномиальной аппроксимации (22) является состоятельным и .

4. При достаточно малом все корни многочлена

таковы, что , а те корни, для которых , простые.

Тогда для глобальной ошибки метода (22) справедлива оценка

где , , -локальная ошибка округления на -ом шаге, - постоянные, зависящие от коэффициентов формулы (22) и правой части дифференциального уравнения и независящие от , .

Из (45) следует, что глобальная ошибка метода полиномиальной аппроксимации состоит из трех частей:

1. ошибка при вычислении стартовых значений,

2) суммарная алгоритмическая ошибка метода, характеризуемая величиной , убывающая с уменьшением ,

3) ошибка округления, представленная членом , который растет с уменьшением .

Погрешность, очевидно, растет с увеличением длины отрезка, на котором разыскивается решение.

Замечание. Все описанные методы решения задачи Коши (1) переносятся на системы дифференциальных уравнений

где

или

…….

Формулы сохраняются в прежнем виде, нужно только заменить на , на . В оценках погрешности абсолютная величина заменяется на норму вектора.

6. Задание. Найдите на отрезке решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

с точностью , методами Рунге-Кутта, Адамса-Башфорта четвертого порядка и прогноза-коррекции (используя для прогноза алгоритм (37) и коррекции – метод Адамса-Мултона четвертого порядка).

Варианты заданий.

Приложение. Для выполнения задания можно использовать следующие процедуры (на языке Паскаль):

1) Процедура rung, реализующая алгоритм метода Рунге-Кутта четвертого порядка (18):

Procedure rung(h:real; var x0:real;var y0:vector; n:integer);

{Входные параметры:

h – шаг интегрирования системы;

x0 – стартовое значение аргумента;

y0 – массив, содержащий значения решения системы в точке x0;

n - размерность системы.

Выходные параметры:

y0 – массив, содержащий значения решения системы в точке x0+h.

Здесь vector - одномерный массив порядка n}

var

i:integer;

begin

f(x0,y0,k1); for i:=1 to n do yt[i]:=y0[i]+0.5*h*k1[i];

f(x0+0.5*h,yt,k2); for i:=1 to n do yt[i]:=y0[i]+0.5*h*k2[i];

f(x0+0.5*h,yt,k3); for i:=1 to n do yt[i]:=y0[i]+h*k3[i];

f(x0+h,yt,k4); x0:=x0+h;

for i:=1 to n do y0[i]:=y0[i]+(h/6)*(k1[i]+2*k2[i]+2*k3[i]+k4[i])

end;

2) Процедура ad , реализующая алгоритм метода Адамса-Башфорта четвертого порядка (см. Таблицу 1):

Procedure ad(h:real;var yt:start;var y0:vector);

{Входные параметры:

h – шаг интегрирования системы;

yt – двумерный массив порядка (n,4)(n-размерность системы),столбцы

которого являются решениями системы в четырех стартовых точках.

Выходные параметры:

y0 – массив, содержащий решение системы в точке, отстоящей на 4h от

первой стартовой.

Здесь start – двумерный массив порядка (n,4), vector - одномерный

массив порядка n, kof – одномерный массив порядка 4.}

var

i,j:integer; kf:kof;

begin

kf[1]:=-9.0/z; kf[2]:=37.0/z; kf[3]:=-59.0/z; kf[4]:=55.0/z;

for i:=1 to n do

for j:=1 to 4 do

y0[i]:=y0[i]+h*yt[j,i]*kf[j]

end;

3) Процедура ad_mult, реализующая алгоритм метода прогноза-коррекции: прогноз - явный метод (37), коррекция - метод Адамса-Мултона четвертого порядка (см. Таблицу 2).

Procedure ad_mult(x0,h,eps:real;ys:start;var yc:vector);

{ {Входные параметры:

x0 – первая стартовая точка решения системы;

h - шаг интегрирования системы;

eps- значение в условии окончания итерационного процесса при

коррекции решения ;

ys – двумерный массив порядка (n,3) (n-размерность системы),

столбцами которого являются решения системы в трех стартовых

точках.

Выходные параметры:

yc - массив, содержащий решение системы в точке, отстоящей на 3h от

первой стартовой.

Здесь start – двумерный массив порядка (n,3), vector - одномерный

массив порядка n, kof – одномерный массив порядка 4.}

var

i,j :word;

yt :start; {

yp,y :vector; {

ka_m :kof;

x :real;

begin

yp:=ys[3];

for j:=1 to 3 do f(x0+j*h,ys[j+1],yt[j]);

ka_m[1]:=1/z; ka_m[2]:=-5/z; ka_m[3]:=19/z; ka_m[4]:=9/z;

for i:=1 to n do yp[i]:=yp[i]+2*h*yt[3,i]; {прогноз}

f(x0+4*h,yp,yt[4]);

yc:=ys[4];

for i:=1 to n do

for j:=1 to 4 do

yc[i]:=yc[i]+h*yt[j,i]*ka_m[j];

while nr(yp,yc)>=eps do

{nr – имя функции,вычисляющей норму разности двух векторов}

begin yp:=yc; y:=ys[4];

f(x0+4*h,yc,yt[4]);

for i:=1 to n do

for j:=1 to 4 do

y[i]:=y[i]+h*yt[j,i]*ka_m[j];

yc:=y

end

end;

function nr(z,z1:vector):real;

{vector - одномерный массив порядка n}

var i :word;

q :real;

begin

q:=0; for i:=1 to n do

if abs(z1[i]-z[i])>=q then q:=abs(z1[i]-z[i]);

nr:=q

end;

Составитель – Трофимов Валерий Павлович

Редактор - Бунина Т.Д.