Лабораторная работа №1. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака.

Лабораторная работа выполняется в Excel 2007.

Цель работы – дать навыки первичной обработки данных, построении гистограммы частот, подборе подходящего закона распределения и вычислении его параметров, проверка согласия между эмпирическим и гипотетическим законом распределения по критерию хи-квадрат Пирсона средствами Excel.

1. Ввод исходных данных

Исходные данные взять на ЯНДЕКС.

В правом нижнем углу выбрать Нефть.

Рис. 1. Страница ЯНДЕКС ……..

В открывшемся окне появится график “Динамика цен на Нефть Brent, USD/баррель”.

На графике установите временной интервал просмотра данных – год.

Данные цен на нефть даны через неделю, следовательно, нужно снять и записать 53 отсчета, что совсем не трудно. Далее эти данные внести в таблицу Excel.

Отсчет времени – массив $A$2: $A$54 (1, 2, … , 53)

Цены на нефть - массив $B$2: $B$54 (рис. 3)

Рис. 2. График динамики цен на нефть за время январь 2012 – январь 2013, период отсчета – через неделю.

Варианты заданий:

№ варианта	Временной интервал	№ варианта	Временной интервал
1	январь 2005 - январь 2006	13	январь 2011 – январь 2012
2	январь 2006 - январь 2007	14	март 2011 – март 2012
3	январь 2007 - январь 2008	15	май 2011- май 2012
4	январь 2008 - январь 2009	16	июль 2011 – июль 2012
5	январь 2009 - январь 2010	17	сентябрь 2011 – сентябрь 2012
6	март 2009 – март 2010	18	ноябрь 2011 – ноябрь 2012
7	январь 2010 – январь 2011	19	Январь 2012 – январь 2013
8	март 2010 – март 2011	20	март 2012 – март 2013
9	май 2010- май 2011	21	май 2012- май 2013
10	июль 2010 – июль 2011	22	июль 2012 – июль 2013
11	сентябрь 2010 – сентябрь 2011	23	сентябрь 2012 – сентябрь 2013
12	ноябрь 2010 – ноябрь 2011	24

………………………………

Рис. 3. Таблица исходных данных

2. Построение графика динамики цен на нефть (поля рассеивания)

Для построения графика необходимо выделить оба столбца (вместе с названиями столбцов) → Вставка→Точечная (точки соединены прямыми линиями). Оформить график, как показано на рис. 4.

Рис. 4. График динамики цены на нефть

3. Определение параметров выборки, описательные статистики

В главном меню Excel выбрать: Данные → Анализ данных → Описательная статистика → ОК.

В появившемся окне Описательная статистика ввести:

Входной интервал – массив, состоящий из 53 чисел в ячейках $B$2: $B$54;

Группирование - по столбцам;

Выходной интервал – адрес ячейки, с которой начинается таблица Описательная статистика - $C$1(или адрес любой другой ячейки на свободном месте листа Excel);

Итоговая статистика – поставить галочку. ОК.

---

Рис. 5. Диалоговое окно Описательная статистика с заполненными полями ввода.

На листе Excel появится таблица – Столбец 1

Рис. 6. Таблица Столбец 1 с данными процедуры Описательная статистика.

Таблица содержит описательные статистики, в частности:

Среднее – оценка среднего значения выборки, = 108,9134;

Стандартное отклонение – оценка среднего квадратического отклонения,  = 4,494833;

Медиана – = 109,5;

Мода - #н/д, нет данных;

Эксцесс (-0,48275) - оценка эксцесса

Асимметричность (-0,09971) – оценка асимметрии.

Excel не может определить моду - нет данных. Для вычисления моды необходимо сначала построить гистограмму, что будет сделано далее.

Описательные статистики при решении задачи подбора теоретической кривой распределения полезны тем, что приблизительное равенство нулю оценок эксцесса и асимметрии, и приблизительное равенство оценок среднего медианы и моды дает предварительное основание выбрать в качестве основной гипотезы H₀ распределения признаков генеральной совокупности - нормальный закон.

Интервал – размах выборки (R = 18,38);

Минимум – минимальное значение признака в выборке ();

Максимум – максимальное значение признака в выборке ().

Результаты процедуры Описательная статистика потребуются в дальнейшем при построении теоретического закона распределения.

4. Построение гистограммы частоты признака

Прежде чем воспользоваться процедурой Excel построения гистограммы необходимо найти границы интервалов группировки

Вычислим интервалы группировки.

В рассматриваемом варианте n = 53.

Число интервалов группировки k в Excel вычисляется по формуле

,

где, скобки означают – округление до целой части числа в меньшую сторону, следовательно. = 8.

Величина интервала группировки вычисляется по формуле

Тогда, так как , то

.

Строгого научного обоснования для определения числа интервалов группировки и их величины нет. Существует много эмпирических формул для определения числа k.

Разброс значений числа k (числа интервалов группировки), который дают эти формулы, позволяет исследователю выбрать удобные для вычисления границы частичных интервалов группировки. Так в рассматриваемом варианте исходных данных 99,5, а максимальное значение 117,88. Дробные величины неудобны для восприятия.

Тогда, пусть левая (нижняя) граница всего интервала будет равной = 98 (меньше 99,5), а величина интервала группировки ,

следовательно, = 98+3 = 101,

= 101+3 = 104,

=107,

= 110

= 113

= 116

= 119

Пусть верхняя граница последнего частичных интервалов группировки будет = 119, так как 117,88 входит в этот последний интервал.

---

Получили границы интервалов группировки (карманы, как их называют в Excel) красивыми целыми числами. Занесите полученные результаты в столбец Excel, рис.7.

Рис. 7. Массив границ (карманов) группировки A57:A64

Теперь можно приступить к построению гистограммы.

В главном меню Excel выбрать Данные → Анализ данных → Гистограмма → ОК.

Далее необходимо заполнить поля ввода в диалоговом окне Гистограмма.

Входной интервал: 53 случайных чисел (вариант, значений признака) в ячейках $B$2: $B$54;

Интервал карманов: ввести массив границ интервалов группировки (карманов) ис 2 A57:A64;

Выходной интервал: адрес ячейки, с которой начинается вывод результатов процедуры Гистограмма;

Вывод графика – поставьте галочку. OK.

Рис. 8. Диалоговое окно Гистограмма с заполненными полями.

Если в диалоговом окне Гистограмма поле ввода Интервал карманов не заполняется, то процедура вычисляет число интервалов группировки k и границы интервалов автоматически.

В результате выполнения процедуры Гистограмма появляется таблица, содержащая границы интервалов группировки (столбец – Карман) и частоту попадания признака выборки в k–ый интервал (столбец – Частота).

Справа от таблицы – график гистограммы.

Рис. 9. Фрагмент листа Excel с результатами процедуры Гистограмма

Принято столбики гистограммы строить без зазора.

Приведите гистограмму к виду как показано на рис. 10.

Для этого щелкните правой кнопкой мыши на столбике диаграммы и выберите Формат ряда данных → Без зазора → Нет заливки. Выберите цвет границ, стили границ и толщину линии границ.

Рис. 10. Гистограмма частот

При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем – значение моды по формуле

Модальный интервал

Рис 11. График гистограммы с модальным интервалом, интервалом предшествующим модальному и следующим за модальным интервалам.

Для рассматриваемого варианта:

= 107, = 110 - это границы модального интервала

= 8 – частота интервала, предшествующего модальному интервалу;

= 14 – частота модального интервала;

= 11 – частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Среднее = 108,9134, Мода = 109 , Медиана = 109,5;

Медиану можно найти графическим способом, построив кумуляту.

Для построения кумуляты в таблице Карман-Частота добавьте столбец накопленных эмпирических частот . ()

Рис 12. Таблица Карман-Частота, полученная при построении гистограммы, с добавленным столбцом накопленных эмпирических частот.

Далее постройте график кумуляты.

---

Медиана соответствует варианте, стоящей в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером .

На оси графика кумуляты отложите . Найдите соответствующее значение варианты

Рис 13. График кумуляты с определенным графическим способом значением .

Приблизительное равенство оценок = 108,9134, = 109 и = 109,5 позволяет предположить, что распределения признаков генеральной совокупности имеет нормальный закон.

По виду гистограммы можно принять гипотезу о нормальном распределении признаков (случайных чисел) выборки.

Далее, для того чтобы убедиться в правильности выбранной гипотезы (по крайней мере визуально) надо, первое – построить график гипотетического нормального закона распределения, выбрав в качестве параметров (среднее и среднее квадратическое отклонение) их оценки (оценки среднего и стандартного отклонения), и совместить график гипотетического распределения с графиком гистограммы.

И, второе – используя критерий согласия Пирсона установить справедливость выбранной гипотезы.

5. Построение теоретического закона распределения признака

Для построения теоретического распределения и проверки согласия по критерию хи-квадрат Пирсона надо далее заполнить (дополнить двумя столбцами) таблицу, уже полученную в Excel в результате применения процедуры Гистограмма (рис. 14).

Границы интервалов

группировки

Эмпирические Теоретические

частоты частоты

Статистика критерия

Пирсона

Рис. 14. Таблица для построения теоретического распределения частоты .

– границы интервалов группировки (карманы)

– эмпирическая (наблюденная) частота, количество элементов выборки, попавших в i–ый интервал (частота – получена в результате процедуры Гистограмма);

Эта таблица в Excel (рис. 14.) аналогично той, что была дана в лекции (таблица 1)

Таблица №1

границы интервалов группировки карманы	эмпирическая частота	теоретическая частота	статистика
…	…	…	…

– теоретическая (ожидаемая) частота попадания элементов выборки в i-ый интервал группировки для принятой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

В четвертом столбце вычисляется статистика хи-квадрат Пирсона

Теоретическая частота попадания признака в интервал определяется по формуле

.

Или ,

---

где накопленная частота – сумма частот признака, попавшего в промежуток

– теоретическая (ожидаемая) частота попадания элементов выборки в i–ый интервал группировки для принятой гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности в Excel вычисляется с использованием функцией НОРМРАСП.

Для вычисления необходимо вызвать Мастер функций → Статистические → НОРМРАСП и заполнить поля ввода, как показано на рис. 15.

Рис. 15. Диалоговое окно НОРМОАСП с заполненными полями ввода.

В поле x – внесите адрес ячейки верхней границы первого кармана, первого интервала группировки (y₁ = 98)

В поля Среднее; Стандартное_откл – адреса соответствующих ячеек таблицы описательной статистики;

В поле Интегральная внесите 1 (что означает вычисление накопленных частот)

В строке формул появится запись

Это выражение в строке формул умножьте на объем выборки N = 53

В выделенную ячейку, таким образом, как показано на рис. 15, будет внесена формула

= (НОРМРАСП(y₁; среднее; стандартное_откл; 1) * N для

вычисления теоретической частоты попадания признака в интервал .

НОРМРАСП(A70;E23;E27;1)

Рис. 16. Таблица для построения теоретического распределения частоты .

В ячейке появится теоретическое значение числа попаданий признак в промежуток (может быть и дробное).

Рис. 17. Таблица с вычисленным значением = НОРМРАСП(A70;$E$23;$E$27;1).

В следующую ячейку внесите формулу, используя процедуру НОРМРАСП.

= (НОРМРАСП(y_i; среднее; стандартное_откл; 1) –

– НОРМРАСП(y_i-1; среднее; стандартное_откл; 1)) * N.

В строке формул эта запись будет иметь следующий вид

Размножьте эту формулу в остальные ячейки столбца соответствующие всем оставшимся карманам (рис. 17).

Рис. 17. Таблица с вычисленными значениями теоретических частот

= (НОРМРАСП(A71; $E$23; $E$27; 1) – НОРМРАСП(A70; $E$23; $E$27; 1)) * 53.

В выделенную курсором ячейку (рис. 17.) внесите формулу для вычисления частоты попадания признака в промежуток .

=(1 – НОРМРАСП(y_k; среднее; стандартное_откл; 1))*N

y_k – верхняя граница последнего кармана

В строке формул появится запись

Окончательный вид таблицы с полностью заполненным результатами вычислений столбцом показан на рис. 18.

В нижней ячейке столбца вычислена сумма теоретических частот которая должна равняться объему выборки N = 53

Рис. 18. Таблица значений теоретических частот нормального распределения,

столбец

Теперь можно построить совместный график гистограммы частот и теоретического нормального распределения.

Щелкните правой кнопкой мыши по любому столбцу гистограммы → в открывшемся окне → Выбрать данные… в диалоговом окне Выбор источника данных выбрать Добавить → заполнить поля ввода диалогового окна Изменения ряда:

---

Смотрите также файлы

• астрология.docx

• ДКБ1.docx

• дкб.docx

• Финансы организаций.docx

• Государственные финанс1.docx