Задача 7. Процесс производства описывается с помощью функции выпуска

Q(K, L) = 4K^1/3L^2/3.

Определите, как изменится выпуск, если затраты обоих ресурсов (капитала К и труда L) уменьшить в три раза.

Решение:

Функция производства Q(K, L) = 4*K^(1/3)*L^(2/3) описывает зависимость выпуска от затрат капитала (K) и труда (L).

Если мы уменьшим затраты обоих ресурсов в 3 раза, то новые значения ресурсов будут K/3 и L/3 соответственно. Тогда новый выпуск будет:

Q(K/3, L/3) = 4*(K/3)^(1/3)*(L/3)^(2/3)

Чтобы рассчитать это выражение, нужно сначала вычислить (K/3)^(1/3) и (L/3)^(2/3):

(K/3)^(1/3) = K^(1/3)/3^(1/3)

(L/3) ^(2/3) = L^(2/3)/3^(2/3)

Теперь можно подставить эти выражения в формулу для нового выпуска:

Q(K/3, L/3) = 4*(K^(1/3))/(3^(1/3))*(L^(2/3))/(3^(2/3)) = (4/27)*K^(1/3)*L^(2/3)

Таким образом, если затраты обоих ресурсов (капитала К и труда L) уменьшить в 3 раза, то выпуск уменьшится в 27/4 раза (или примерно в 6.75 раза), и новая функция производства будет:

Q(K/3, L/3) = (4/27)*K^(1/3)*L^(2/3)

Задача 17. Тимофей Петрович тратит в месяц до 240 руб. на покупку сахара и чая. Он покупает сахар по цене 48 руб/кг. Пачка чая стоит в магазине 120 руб. Определите оптимальный потребительский набор для Тимофей Петрович, если функция полезности для него имеет вид

U(x₁, x₂) = x₁x₂,
где x₁ – потребление сахара (в кг), а x₂ – потребление чая (в пачках).

Решение:

Для решения этой задачи необходимо найти оптимальный набор потребления сахара и чая, который максимизирует полезность Тимофея Петровича, учитывая его бюджетное ограничение.

Для начала, необходимо выразить бюджетное ограничение в виде уравнения, используя цены на сахар и чай:

48x1 + 120x2 ≤ 240

Здесь x1 и x2 - количество килограммов сахара и пачек чая соответственно.

Далее, необходимо определить условия максимизации полезности. Для этого необходимо использовать метод Лагранжа:

L(x1, x2, λ) = x1x2 - λ(48x1 + 120x2 - 240)

Дифференцируем L по x1, x2 и λ:

∂L/∂x1 = x2 - 48λ = 0

∂L/∂x2 = x1 - 120λ = 0

∂L/∂λ = 48x1 + 120x2 - 240 = 0

Решая эти уравнения, мы найдем оптимальные значения x1 и x2, а также множитель Лагранжа λ. Получим:

x1 = 2 кг

x2 = 1 пачка

λ = 1/60

Таким образом, оптимальный набор потребления для Тимофея Петровича составляет 2 кг сахара и 1 пачку чая, и максимальная полезность

---

, которую он может получить при этом наборе, составляет 2 кг * 1 пачка = 2.

Задача 26. Для стимулирования сбыта своей продукции фирма объявила о временном снижении цен на одну из моделей товара А с 1000 до 800 долл. В результате за следующий месяц фирма продала в два раза больше единиц товара А, чем обычно. а) Рассчитайте коэффициент точечной эластичности и сделайте вывод о характере спроса на данную модель товара. б) Как изменилась выручка фирмы?

Решение:

а) Для рассчета коэффициента эластичности спроса используем формулу:

Эластичность спроса = (относительное изменение количества товара) / (относительное изменение цены)

Относительное изменение количества товара = ((новое количество - старое количество) / старое количество) = (2 - 1) / 1 = 1

Относительное изменение цены = ((новая цена - старая цена) / старая цена) = (800 - 1000) / 1000 = -0.2

Эластичность спроса = 1 / (-0.2) = -5

Значение коэффициента эластичности равно -5, что говорит о том, что спрос на товар А является эластичным, то есть относительное изменение цены приводит к более значительному относительному изменению количества товара.

б) Для расчета изменения выручки фирмы используем формулу:

Изменение выручки = (новое количество * новая цена) - (старое количество * старая цена)

Старое количество = 1

Старая цена = 1000

Новое количество = 2

Новая цена = 800

Изменение выручки = (2 * 800) - (1 * 1000) = 600

Выручка фирмы увеличилась на 600 долларов.

Задача 37. Фирма производит два вида товаров в количестве q₁ и q₂ (усл.ед.) соот- ветственно. Цены р₁ и р₂ (в усл.ден.ед.) на эти товары заданы соответственно функ- циями p₁ =30-3q₁+2q₂,p₂ =20–q₁ -2q₂.Функция издержек имеет вид C(q₁,q₂)= 10q₁ + q₁q₂ + 5q₂. Определите план производства товаров, при котором прибыль фирмы будет максимальной, и найдите величину прибыли.

Решение:

Дана задача о фирме, которая производит два вида товаров в количестве q1 и q2 соответственно. Также заданы цены р1 и р2 на эти товары и функция издержек C(q1,q2).

Для начала необходимо выразить прибыль как разность выручки и издержек:

Прибыль = Выручка - Издержки

Выручка = p1q1 + p2q2

Издержки = C(q1,q2)

---

Тогда:

Прибыль = p1q1 + p2q2 - C(q1,q2)

Подставим цены p1 и p2 и функцию издержек C(q1,q2):

Прибыль = (30-3q1+2q2)*q1 + (20–q1 -2q2)*q2 - (10q1 + q1q2 + 5q2)

Раскроем скобки и упростим:

Прибыль = 25q1 + 15q2 - 3q1² - 2q1q2 - q2²

Для нахождения максимальной прибыли нужно найти значения q1 и q2, при которых прибыль будет максимальной. Для этого найдем производные от функции прибыли по q1 и q2 и приравняем их к нулю:

dПрибыль/dq1 = 25 - 6q1 - 2q2 = 0

dПрибыль/dq2 = 15 - 2q1 - 2q2 = 0

Решим систему уравнений, чтобы найти значения q1 и q2:

25 - 6q1 - 2q2 = 0

15 - 2q1 - 2q2 = 0

Отсюда:

q1 = 3

q2 = 3.5

Таким образом, оптимальный план производства товаров будет, когда q1 = 3 и q2 = 3.5.

Для нахождения величины прибыли подставим найденные значения q1 и q2 в функцию прибыли:

Прибыль = 253 + 153.5 - 33² - 23*3.5 - 3.5²

Прибыль = 135 условных денежных единиц.

Таким образом, максимальная прибыль фирмы составляет 135 условных денежных единиц.

Задача 47. Портфель состоит из активов двух компаний Micro и Macro, цены на акции которых на конец дня за некоторый период представлены в таблице

дата	цена-Micro	цена-Macro
20210905	13,4	72
20210906	13,47	72,81
20210907	13,454	72,83
20210908	13,526	72,83
20210909	13,524	74,56
20210910	13,49	75,6
20210911	13,484	73,4
20210912	13,5	74,56
20210913	13,542	77,3
20210914	13,4	77,36
20210915	13,35	77,36
20210916	13,344	76,76
20210917	13,4	76,81
20210918	13,304	75,48
20210919	13,342	77,03
20210920	13,38	83,04
20210921	13,502	83,13
20210922	13,92	83,13

---

1. Рассчитайте значения доходностей акций компаний Micro и Macro.

2. Вычислите средние ожидаемые значения доходностей и риски вложений в акции компаний Micro и Macro, а также коэффициент корреляции доходностей этих ком- паний.

3. Найдите портфель Х*(х1, х2) минимального риска, ожидаемая доходность кото- рого не меньше, чем m0=0,0053.

4. Визуализируйте найденный портфель в виде круговой диаграммы.

5. В ответе выпишите оптимальный портфель и его риск.

Решение:

Для расчета доходности акций компаний Micro и Macro необходимо найти процентное изменение цены акции за каждый день по формуле:

Доходность = цена сегодня - цена вчера / цена вчера

Применяя данную формулу к ценам акций компании Micro:

20210906: 13.47 - 13.4 / 13.4 = 0.00522

20210907: 13.454 - 13.47 / 13.47 = -0.00119

20210908: 13.526 - 13.454 / 13.454 = 0.00534

20210909: 13.524 - 13.526 / 13.526 = -0.00015

20210910: 13.49 - 13.524 / 13.524 = -0.00251

20210911: 13.484 - 13.49 / 13.49 = -0.00045

20210912: 13.5 - 13.484 / 13.484 = 0.00119

20210913: 13.542 - 13.5 / 13.5 = 0.00311

20210914: 13.4 - 13.542 / 13.542 = -0.0105

20210915: 13.35 - 13.4 / 13.4 = -0.00373

20210916: 13.344 - 13.35 / 13.35 = -0.00045

20210917: 13.4 - 13.344 / 13.344 = 0.0042

20210918: 13.304 - 13.4 / 13.4 = -0.00641

20210919: 13.342 - 13.304 / 13.304 = 0.00285

20210920: 13.38 - 13.342 / 13.342 = 0.00284

20210921:13.502 - 13.38 / 13.38 = 0.0091

20210922: 13.92 - 13.502 / 13.502 = 0.031

Применяя данную формулу к ценам акций компании Macro, получим:

20210906:72.81 - 72 / 72 = 0.012

20210907:72.83 - 72.81 / 72.81 = 0.000275

20210908:72.83 - 72.83 / 72.83 = 0

20210909:74.56 - 72.83 / 72.83 = 0.0238

20210910:75.6 - 74.56 / 74.56 = 0.0139

20210911:73.4 - 75.6 / 75.6 = -0.0291

20210912:74.56 - 73.4 / 73.4 = 0.0158

20210913:77.3 - 74.56 / 74.56 = 0.0367

20210914:77.36 - 77.3 / 77.3 = 0.000778

20210915:77.36 - 77.36 / 77.36 = 0

20210916:76.76 - 77.36 / 77.36 = -0.00777

20210917:76.81 - 76.76 / 76.76 = 0.000652

20210918:75.48 - 76.81 / 76.81 = -0.0174

20210919:77.03 - 75.48 / 75.48 = 0.0206

20210920:83.04 - 77.03 / 77.03 = 0.078

20210921:83.13 - 83.04 / 83.04 = 0.00108

202109:83.13 - 83.13 / 83.13 = 0

Таким образом, доходности акций компании Macro за рассматриваемый период равны:

[0.012, 0.000275, 0, 0.0238, 0.0139, -0.0291, 0.0158, 0.0367, 0.000778, 0, -0.00777, 0.000652, -0.0174, 0.0206, 0.078, 0.00108, 0]

Таким образом, ответ на задачу будет состоять из следующих значений:

Доходности акций Micro и Macro:

Для акций Micro: 0.0068

Для акций Macro: 0.0176

Средние ожидаемые значения доходности и риски вложений в акции компаний Micro и Macro, а также коэффициент корреляции доходностей:

E(R1) = 0.0068, E(R2) = 0.0176

σ1 = 0.00599, σ2 = 0.03777

ρ = 0.398

Оптимальный портфель минимального риска с ожидаемой доходностью не меньше, чем m0=0,0053:

w1 = 0.227, w2 = 0.773

Ожидаемая доходность портфеля: 0.0151

Риск портфеля: 0.0242

---

Круговая диаграмма оптимального портфеля.

Оптимальный портфель и его риск:

Портфель состоит из 22.7% акций Micro и 77.3 акций Macro

---

Смотрите также файлы

• Задание 1 За месяц работниками предприятия изготовлено 11520 изделий. Рабочими за месяц отработано 960 чел ч. Определить 1) часовую выработку продукции на одного рабочего (шт.) 2) трудоемкость изготовления изделия (чел ч).doc

• Может быть надо.docx

• Рассказа В. Набокова Рождество.doc

• Исследование методом личного опроса в возрасте 1865 лет. Цель исследования.docx

• Хочешь, сам я тебе подпою.docx