Файл: Решение Составим уравнение этой кривой в полярных координатах с помощью замены.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 99
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задание № 138. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0).Решение:Составим уравнение этой кривой в полярных координатах с помощью замены:Построим график этой функции:В силу симметрии фигуры:Ответ:Задание № 148. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскостьz = 0, z = 1 - y2, x = y2, x = 2y2 + 1Решение:Сделаем чертеж.z = 1- y2 - параболический цилиндр, ограниченный плоскостями, параллельными оси Oz: x = y2 и x = 2y2 + 1 – параболы Проекция тела на плоскость
Объем тела:Ответ:Задание № 158. Вычислить криволинейный интеграл вдоль отрезка L = AB прямой от точки А (1; 2) до В (2; 4)Сделать чертеж.Решение:Сделаем чертеж.Уравнение прямой, проходящей через две точки , y = 2xСледовательно: в точке (А) t = 0, в точке (В) t = 1Ответ: 3Задание № 168. Даны векторное поле и плоскость Р: x+y+2z-4 = 0 , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть - основание пирамиды, принадлежащее этой плоскости, - контур, ограничивающий , n- нормаль к , направленная вне пирамиды. Требуется вычислить: 1) Поток векторного поля F через поверхность в направлении нормали n, 2) Циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью n. 3) Поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормаль к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж. Решение:Векторная функция F направлена вдоль оси у1) Поток П векторного поля F через поверхность σ равен поверхностному интегралуПодставляем
Поскольку вектор нормали , то поток равен нулю: П = 02) Циркуляция Ц векторного поля F по контуру λ равна линейному интегралуНепосредственное вычислениеКонтур состоит из 3-х отрезков: ОА, АВ и ВО:1) Отрезок ОА: z = 0; y = 02) Отрезок АB: z = 02) Отрезок BOНайдем циркуляцию по формуле СтоксаСогласно теореме Стокса:Вычисляем :Поток через поверхность σ: , где Dxy – область интегрирования, проекция поверхности S на плоскость ху системы координат3) Поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды VТеорема Остроградского – ГауссаНаходимНепосредственное вычислениеПоток через грани OBС и ОAВ равен нулю, поскольку вектора нормали граней перпендикулярны Ответ: П = 0, Ц = 24, Задание № 178. Проверить, является ли векторное поле F=Xi+Yj+Zk потенциальным и соленоидальным.
В случае потенциальности поля F найти его потенциал.Решение:Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы Поле F потенциально.Для соленоидальности поля: Таким образом, поле не является соленоидальным.Потенциал можно вычислить по формуле:Выберем в качестве точки (x0, y0, z0) точку (0, 0, 0)Задание № 188. Найти общее решение дифференциального уравненияРешение: /x4Используем правило дифференцирования получаем => - общее решение уравненияОтвет:Задание № 198. Найти общее решение дифференциального уравненияРешение:Пусть Уравнение примет вид: P = 0 => y’ = 0 => y = C =>
=> - общее решение уравнения C1 = -C1; C2 = -C2Ответ:Задание № 208. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. y(0) = 2, Решение:Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:r2 – 4r = 0, r(r – 4) = 0Корни характеристического уравнения:r1 = 4r2 = 0Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:Общее решение однородного уравнения имеет вид:Рассмотрим правую часть:Поиск частного решения.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномыимеет частное решениеy(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).Здесь P(x) = 6x2 + 1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.Следовательно, число α + βi = 0 является корнем характеристического уравнения.Уравнение имеет частное решение вида:y· = x (Ax2 + Bx + C)Вычисляем производные:y' =A·x2+B·x+C+x(2·A·x+B)y'' = 2(3·A·x+B) которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:y'' -4y' = (2(3·A·x+B)) -4(A·x2+B·x+C+x(2·A·x+B)) = 6·x2+1или-12·A·x2+6·A·x-8·B·x+2·B-4·C = 6x2+1Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Объем тела:Ответ:Задание № 158. Вычислить криволинейный интеграл вдоль отрезка L = AB прямой от точки А (1; 2) до В (2; 4)Сделать чертеж.Решение:Сделаем чертеж.Уравнение прямой, проходящей через две точки , y = 2xСледовательно: в точке (А) t = 0, в точке (В) t = 1Ответ: 3Задание № 168. Даны векторное поле и плоскость Р: x+y+2z-4 = 0 , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть - основание пирамиды, принадлежащее этой плоскости, - контур, ограничивающий , n- нормаль к , направленная вне пирамиды. Требуется вычислить: 1) Поток векторного поля F через поверхность в направлении нормали n, 2) Циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью n. 3) Поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормаль к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж. Решение:Векторная функция F направлена вдоль оси у1) Поток П векторного поля F через поверхность σ равен поверхностному интегралуПодставляем
Поскольку вектор нормали , то поток равен нулю: П = 02) Циркуляция Ц векторного поля F по контуру λ равна линейному интегралуНепосредственное вычислениеКонтур состоит из 3-х отрезков: ОА, АВ и ВО:1) Отрезок ОА: z = 0; y = 02) Отрезок АB: z = 02) Отрезок BOНайдем циркуляцию по формуле СтоксаСогласно теореме Стокса:Вычисляем :Поток через поверхность σ: , где Dxy – область интегрирования, проекция поверхности S на плоскость ху системы координат3) Поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды VТеорема Остроградского – ГауссаНаходимНепосредственное вычислениеПоток через грани OBС и ОAВ равен нулю, поскольку вектора нормали граней перпендикулярны Ответ: П = 0, Ц = 24, Задание № 178. Проверить, является ли векторное поле F=Xi+Yj+Zk потенциальным и соленоидальным.
В случае потенциальности поля F найти его потенциал.Решение:Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы Поле F потенциально.Для соленоидальности поля: Таким образом, поле не является соленоидальным.Потенциал можно вычислить по формуле:Выберем в качестве точки (x0, y0, z0) точку (0, 0, 0)Задание № 188. Найти общее решение дифференциального уравненияРешение: /x4Используем правило дифференцирования получаем => - общее решение уравненияОтвет:Задание № 198. Найти общее решение дифференциального уравненияРешение:Пусть Уравнение примет вид: P = 0 => y’ = 0 => y = C =>
=> - общее решение уравнения C1 = -C1; C2 = -C2Ответ:Задание № 208. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. y(0) = 2, Решение:Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:r2 – 4r = 0, r(r – 4) = 0Корни характеристического уравнения:r1 = 4r2 = 0Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:Общее решение однородного уравнения имеет вид:Рассмотрим правую часть:Поиск частного решения.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномыимеет частное решениеy(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).Здесь P(x) = 6x2 + 1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.Следовательно, число α + βi = 0 является корнем характеристического уравнения.Уравнение имеет частное решение вида:y· = x (Ax2 + Bx + C)Вычисляем производные:y' =A·x2+B·x+C+x(2·A·x+B)y'' = 2(3·A·x+B) которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:y'' -4y' = (2(3·A·x+B)) -4(A·x2+B·x+C+x(2·A·x+B)) = 6·x2+1или-12·A·x2+6·A·x-8·B·x+2·B-4·C = 6x2+1Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: