Из четырех арифметических действий над натуральными числами, два, сложение и умножение, могут быть выполнены всегда (т. е. над любыми натуральными числами). Вычитание хотя и не всегда может быть выполнено, но признак его выполнимости очень прост: уменьшаемое не должно быть меньше вычитаемого; поэтому если даны два числа, мы всегда сразу можем узнать, можно ли из первого вычесть второе.

Совсем иначе обстоит дело с делением; мы знаем, что деление (без остатка) не всегда может быть выполнено; но иногда бывает очень трудно, не производя деления, узнать, делится ли одно число на другое. Поэтому с действием деления связаны самые трудные вопросы арифметики.

Когда одно число делится на другое без остатка, то для краткости говорят просто, что первое число делится на второе. В этом случае говорят также, что первое число есть кратное второго, а второе есть делитель первого. Так, 15 есть кратное трех, а З есть делитель 15.

Заметим, что нуль делится на любое число (кроме нуля), причем частное также равно нулю. В самом деле, так как а • 0 = 0, каково бы ни было число а, то 0 : а = 0.

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа.

Делимость суммы и разности:

1. 
   если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число;
   
2. 
   если одно слагаемое не делится, а все прочие делятся на какое-нибудь число, то сумма не разделится на это число;
   
3. 
   если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
   

Признак делимости на 2. На 2 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой (0 считается четным).

Признак делимости на 4. На 4 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

Признак делимости на 8

---

. На 8 делятся все те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Признаки делимости на 5 и на 10. На 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем или цифрой 5; на 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем.

Замечание. На 25 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры или нули, или 25, или 50, или 75. На 50 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры нули или 50.

Признаки делимости на З и на 9. На З делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится на З; на 9 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 6, 12, 15. На 6 делятся все те и только те числа, которые делятся и на 2, и на З одновременно; на 12 делятся все те и только те числа, которые делятся на З и на 4; на 15 делятся все те и только те числа, которые делятся на З и на 5 соответственно.

Всякое натуральное число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым.

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным.

Число 1 не причисляется ни к простым, ни к составным числам, оно занимает особое положение.

Разложение составного числа на простые множители.



Составное число разлагается только в один ряд простых множителей.

Возведение в степень. При разложении чисел на множители, а также и во многих других случаях приходится часто писать несколько одинаковых сомножителей подряд, например,

2 • 2 • 2 • 2 или 5 • 5 • 5. Произведение одинаковых сомножителей называется степенью. Так,

2 • 2 • 2 • 2 есть 2 в четвертой степени. Записывается это так: 2 • 2 • 2 • 2 = 2⁴, при этом число 2 называется основанием степени, а число 4 показателем степени. Самое же действие называется возведением числа 2 в четвертую степень.

Вторую степень сокращенно называют квадратом данного основания, а третью степень его кубом. Так, 7² читается «7 в квадрате», а 5³ — «5 в кубе». Первой степенью числа называют само это число.

---

Наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, разлагают эти числа на простые множители и берут произведение степеней различных простых множителей, входящих в состав всех данных чисел, причем каждый множитель берется с наименьшим показателем, с каким он встречается в составе данных чисел.



Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких данных чисел называется самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, разлагают их на простые множители и составляют произведение степеней всех различных простых множителей, входящих в разложение данных чисел, причем каждый множитель берется с наибольшим показателем, с каким он встречается в этих разложениях.



НОК (100, 40, 35) равен:

---

Смотрите также файлы

• Методические указания к контрольной работе Рекомендовано к изданию Редакционноиздательским советом.doc

• К летней сессии.docx

• Как появился Golang Язык Go был представлен в 2009 году в корпорации Google. Его полное название Golang производное от Google language.docx

• Kz 25 жастаы ыз бала айын ентігуге,лсіздікке,аз физикалы жктемеде болатын ентігуге,тобыты ісінуіне,жрек ауына шаымданады..docx

• 28жастаы йел бетінде эритемалы датарды пайда болуына, дене ызуыны 390С жоарылауына, салма тастауына, буындарыны кдімгідей ауыруына, босананнан со бір айдан кейін ісінулер мен аг пайда боланына шаымданады.docx