Решение примерного варианта Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.а) .К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера: ; ряд расходится.Ответ: ряд расходится.б) .Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов: .Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом , про который известно, что он расходится: .Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет. Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница: ; , т.е. для любых выполняется условие . Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.Ответ: ряд сходится условно.Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда. .Здесь центр сходимости . Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера:

---

.

Так как при функции и являются эквивалентными бесконечно малыми, то при эквивалентны бесконечно малые и , а также и . Поэтому

.

По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:

.

Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.

 .

Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.

, и ряд расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия и , т.к. - возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т. сходится условно.

 .

Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом

---

по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд расходится.

Ответ: область сходимости данного степенного ряда: .

Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного

ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
.

Требуется разложить функцию по степеням двучлена . Обозначим его новой переменной: . Тогда , и . Последнее выражение представим в виде и введем еще одну переменную: . После этого . Теперь для функции применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):

.

В последнем разложении возвратимся к переменной и далее к исходной переменной :



.

Найдем теперь область сходимости. Для переменной ее составляет интервал , т.е. . Тогда и

---

. Отсюда получаем, что .

Ответ: , .

Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью

значение функции при данном значении аргумента

с помощью разложения функции в степенной ряд.
при .

По условию задачи требуется вычислить с точностью до четвертого знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции :

.

Подставим сюда заданное значение :

, 0, 1, 2, … . (а)

Здесь в правой части при вычислении нужно учесть такое количество первых членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности: . При этом ряд в правой части (а) получился знакочередующимся, и для него модуль остатка меньше первого члена этого остатка: . Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие

. (б)

Поскольку

,

то условие (б) принимает вид

, или

---

.

Методом подбора легко убедиться, что последнее условие начинает выполняться с номера :

,

.

Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:

.

Ответ: .

Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью

определенный интеграл с помощью разложения

подынтегральной функции в степенной ряд.
.

Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:

.

Заменим в этой формуле на :



.

Пересчитаем область сходимости:

.

Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:

---

Смотрите также файлы

• Телефонограмма.docx

• Выполнение практических заданий по дисциплине бюджетная система Российской Федерации.docx

• Подразделение организации структура,перечень полномочия,функции.docx

• Что входит в понятие промышленные кондиции.doc

• Проверка статистических гипотез. О. Ю. Ермолаев Математическая статистика для психологов.docx