Файл: Задача Исследовать сходимость числового ряда а. К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера.doc
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 32
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Решение примерного варианта
Задача 1. Исследовать сходимость числового ряда.
а)
.К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера:
; ряд расходится.Ответ: ряд расходится.
б)
.Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов:
.Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом
, про который известно, что он расходится:
.Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет.
Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница:
;
, т.е. для любых 
выполняется условие 
. Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.
Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.
.Здесь центр сходимости
. Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера:
.
Так как при
функции 
и 
являются эквивалентными бесконечно малыми, то при 
эквивалентны бесконечно малые 
и 
, а также 
и 
. Поэтому
.По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости:
.Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.
.Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к.
, и ряд 
расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия 
и 
, т.к. - возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т. 
сходится условно.
.Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом
по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд
расходится.Ответ: область сходимости данного степенного ряда:
.Задача 3. Данную функцию представить в виде степенного
ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
.Требуется разложить функцию по степеням двучлена
. Обозначим его новой переменной: 
. Тогда 
, и 
. Последнее выражение представим в виде 
и введем еще одну переменную: 
. После этого 
. Теперь для функции 
применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию):
.В последнем разложении возвратимся к переменной
и далее к исходной переменной 
:
.Найдем теперь область сходимости. Для переменной
ее составляет интервал 
, т.е. 
. Тогда 
и 
. Отсюда получаем, что
.Ответ:
, 
.Задача 4. Вычислить приближенно с заданной точностью
значение функции при данном значении аргумента
с помощью разложения функции в степенной ряд.
при 
.По условию задачи требуется вычислить
с точностью до четвертого знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции 
:
.Подставим сюда заданное значение
:
, 
0, 1, 2, … . (а)Здесь в правой части при вычислении нужно учесть такое количество первых членов, чтобы остаток не превышал заданной погрешности:
. При этом ряд в правой части (а) получился знакочередующимся, и для него модуль остатка меньше первого члена этого остатка: 
. Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно выполнить условие 
. (б)Поскольку
, то условие (б) принимает вид
, или 
.
Методом подбора легко убедиться, что последнее условие начинает выполняться с номера
:
,
.Следовательно, для обеспечения заданной точности достаточно вычислить сумму первых шести членов ряда, с нулевого по пятый:
.Ответ:
.Задача 5. Вычислить приближенно с заданной точностью
определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд.
.Воспользуемся известным разложением в ряд логарифмической функции:
.Заменим в этой формуле
на 
:
.Пересчитаем область сходимости:
.Констатируем, что интегрирование требуется произвести в пределах области сходимости. Следовательно, ряд, которым представлена подынтегральная функция, можно интегрировать почленно. Выполним это:
