Файл: Занятие 5 (4 часа). Анализ устойчивости сау с помощью.pptx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 32
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема 6. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Практическое занятие 5 (4 часа).
Анализ устойчивости САУ с помощью
алгебраических и частотных критериев
Любая САУ должна адекватно функционировать при наличии различных возмущающих воздействий. Данное свойство САУ связано с таким фундаментальным понятием как устойчивость.
Устойчивость непрерывных линейных систем автоматического регулирования
Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой.
В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.
Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания.
В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.
Если заранее выяснить, будет ли регулируемая величина неограниченно возрастать после воздействия, можно получить ответ на вопрос об устойчивости системы.
Краткие сведения из теории
Если имеют место корни с положительной вещественной частью («правые» корни), то САУ является неустойчивой и переходный процесс имеет расходящийся характер.
Из рис. 2.34 видно, что если корни имеют отрицательные вещественные части, т. е. находятся в левой полуплоскости («левые» корни), то САУ является устойчивой и переходный процесс затухает.
Рис. 2.34. Комплексная s-плоскость
При корни являются чисто мнимыми и располагаются на мнимой оси, и замкнутая САУ находится на колебательной границе устойчивости, а переходный процесс носит незатухающий характер.
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
Данный критерий является алгебраическим и позволяет определить устойчивость САУ по коэффициентам характеристического уравнения
Для анализа устойчивости необходимо составить определитель Гурвица n-го порядка в следующем виде
При составлении определителя вначале по диагонали слева направо выписываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с аn-1 и далее в порядке убывания индекса до коэффициента а0 включительно.
Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индекса. При этом коэффициенты с индексами, превышающими порядок характеристического уравнения n, заменяются нулями.
В строках слева от диагонали проставляются коэффициенты в порядке убывания индекса.
Коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.
Рис. 2.50. Переходная характеристика системы стабилизации частоты
синхронного генератора при критическом значении коэффициента передачи
Из графика видно, что переходный процесс характеризуется незатухающими колебаниями, то есть система находится на колебательной границе устойчивости.
K=17,27
Рис. 2.48. ССДМ системы стабилизации частоты
синхронного генератора при критическом значении коэффициента передачи
3,26
Ккр=56,306
Расчетные задания для самостоятельной работы
Для устойчивости замкнутой линейной стационарной минимально-фазовой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы
не охватывала точку с координатами – 1; j0.
Критерий устойчивости Найквиста.
Пример 2.17. На основании критерия устойчивости Найквиста оценить устойчивость ССЧСГ с помощью АФЧХ.
Результаты моделирования представлены на рис. 2.51.
Рис. 2.51. АФЧХ системы стабилизации частоты
синхронного генератора
На графике штрихпунктирной линией показана окружность единичного радиуса.
При изменении частоты от нуля до бесконечности АФЧХ вначале пересекает окружность, а затем отрицательную вещественную полуось, следовательно, АФЧХ не охватывает точку с координатами – 1; j0 и система является устойчивой.
Особенности применения критерия Найквиста для неминимально-фазовых систем.
Сложнее обстоит вопрос оценки устойчивости неминимально-фазовых систем.
АФЧХ неминимально-фазовых систем может пересекать отрицательную вещественную полуось несколько раз.
Поэтому в данном случае для оценки устойчивости системы удобно применять правило переходов, сформулированное Я. З. Цыпкиным на основе критерия устойчивости Найквиста.
Переходом называется точка пересечения АФЧХ отрицательной вещественной полуоси слева от точки с координатами (– 1; j0), т. е. на отрезке .
При пересечении АФЧХ данного отрезка из II квадранта в III при изменении частоты от 0 до ∞ переход будет положительным и обозначается +1.
При пересечении АФЧХ отрезка в направлении из III квадранта во II-й переход будет отрицательным и обозначается –1.
Если АФЧХ начинается на этом отрезке, то имеет место полупереход, который обозначается . Знак полуперехода определяется в зависимости от направления перемещения вектора при изменении частоты от 0 до ∞.
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных переходов и числом отрицательных переходов была равна , где l – число правых корней характеристического многочлена D(s) разомкнутой системы.
С учётом введённых понятий соответствующий критерий устойчивости формулируется следующим образом.
Кроме того, наличие интегрирующих звеньев в характеристическом многочлене разомкнутой системы требует дополнительных построений на графике АФЧХ.
Действительно, передаточная функция разомкнутой САУ при наличии интегрирующих звеньев
где v – число интегрирующих звеньев.
Тогда при изменении частоты от 0 до ∞
при ω = 0
Модуль передаточной функции
а аргумент
то есть АФЧХ начинается в бесконечности и её фаза стремится к значению
Поэтому начальный участок АФЧХ необходимо дополнить дугой бесконечно большого радиуса по часовой стрелке от вещественной положительной полуоси, если l – чётное число, и от вещественной отрицательной полуоси, если l – нечётное число.
Рис. 2.53. АФЧХ исследуемой системы
Поскольку l = 1, то АФЧХ необходимо дополнить дугой бесконечно большого радиуса по часовой стрелке от вещественной отрицательной полуоси, как показано на рис. 2.53.
В результате имеем отрицательный полупереход и один положительный переход . Разность между числом положительных и отрицательных переходов . , то есть замкнутая САУ будет устойчивой.
Анализ устойчивости САУ по ЛЧХ
Известно, что ЛЧХ L(ω) и θ(ω) однозначно связаны с АФЧХ W(jω):
Отсюда следует, что формулировка критерия Найквиста применительно к ЛЧХ L(ω) и θ(ω) можно получить из сопоставления АФЧХ W(jω) с соответствующими ей ЛЧХ L(ω) и θ(ω).
При оценке устойчивости САУ нас интересует число переходов АФЧХ через отрезок ]-∞, -1]. Рассмотрим чем он характерен.
1. На этом отрезке H(ω)>1, следовательно
2. Значение фазовой характеристики θ(ω) на этом отрезке равно -180°.
Таким образом, переходам АФЧХ W(jω) через отрезок ]-∞, -1] соответствуют переходы ЛФЧХ θ(ω) через прямую -180° в области частот, где ЛАЧХ L(ω)>0.
Дополнению АФЧХ астатических систем дугой бесконечно большого радиуса соответствует дополнение ЛФЧХ θ(ω) при ω→0 монотонным участком, приводящим ЛФЧХ к прямой 0° (при l – четном) или – 180° (при l – нечетном).
Формулировка критерия.
Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы в области частот, где ЛАЧХ положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через прямую –180° была равна l/2, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САУ.
Для построения ЛЧХ необходимо записать программу
num=[6 90 300];
den=[0.25 -1 0 0];
sys=tf(num,den);
bode(sys)
Рис. 2.54. ЛЧХ исследуемой системы
В соответствии с критерием при l =1 (нечетном) дуга бесконечно большого радиуса будет начинаться на линии и даст отрицательный полупереход . ЛФЧХ пересекает линию снизу вверх до частоты среза один раз, что дает один положительный переход. Разница между положительными и отрицательными переходами
, то есть замкнутая САУ будет устойчивой.