ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 121
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вариант 81. Однородный стержень длины l имеет теплоизолированную боковую поверхность. Известно распределение температуры в начальный момент времени , а также температура, поддерживаемая на краях стержня , . Используя метод Фурье, найти распределение температуры стержня в произвольный момент времени.РешениеПоставим начально краевую задачу: , , , , , .Для применения метода Фурье получим однородные граничные условия. Будем искать решение задачи в виде , где функция v удовлетворяет однородным граничным условиям. Получим для нее уравнение и начальное условие: . .Поскольку , тогда Получили вспомогательную задачу: , , , , .Будем искать решение задачи в виде , тогда уравнение примет вид:
.Из тождества получаем систему уравнений:Получим граничные условия для первого уравнения системы: , .Для первого уравнения системы получаем задачу Штурма-Лиувилля:Нетривиальное решение уравнения при имеет вид: ,Из граничных условий получаем: , , собственные значения задачи, тогда собственные функции задачи (с точностью до константы).Решение второго уравнения с учетом собственных чисел имеет вид: , В силу линейности и однородности уравнения решение задачи имеет вид: .Найдем коэффициенты ряда из начального условия: .Таким образом, решение задачи имеет вид: .Ответ: .2. Методом Даламбера найти форму однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент времени форма струны и скорость точек струны соответственно
и .РешениеПо формуле Даламбера решение начальной задачи для волнового уравнения имеет вид: .В условии задачи , , тогда: , .Таким образом, решение задачи имеет вид: .Ответ: .
.Из тождества получаем систему уравнений:Получим граничные условия для первого уравнения системы: , .Для первого уравнения системы получаем задачу Штурма-Лиувилля:Нетривиальное решение уравнения при имеет вид: ,Из граничных условий получаем: , , собственные значения задачи, тогда собственные функции задачи (с точностью до константы).Решение второго уравнения с учетом собственных чисел имеет вид: , В силу линейности и однородности уравнения решение задачи имеет вид: .Найдем коэффициенты ряда из начального условия: .Таким образом, решение задачи имеет вид: .Ответ: .2. Методом Даламбера найти форму однородной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент времени форма струны и скорость точек струны соответственно
и .РешениеПо формуле Даламбера решение начальной задачи для волнового уравнения имеет вид: .В условии задачи , , тогда: , .Таким образом, решение задачи имеет вид: .Ответ: .