ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.11.2021
Просмотров: 174
Скачиваний: 1
1. Даны вершины А (3;0), В (-5;6), С (-4;1) треугольника. Найти: 1) длину стороны АВ; ... и т.д.
4.Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.
5.Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.
6.На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.
7.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме.
Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.
8.Получив из института прорецензированную работу (как зачтенную, так и не зачтенную), студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.
9.В межсессионный период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти на кафедре высшей математики собеседование по зачтенной контрольной работе.
Программа по высшей математике
за первый курс
2 семестр
I. Введение в математический анализ.
Предел, непрерывность функции
1. Множество действительных чисел. Абсолютная величина действительного числа. Свойства абсолютных величин. Числовые промежутки.
2. Постоянные и переменные величины. Понятие функции с одной переменной. Область определения, область изменения функции. Способы задания функции. График функции. Свойства и графики элементарных функции.
3. Понятие числовой последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая числовые последовательности. Связь между ними. Понятие предела числовой последовательности (два определения). Теорема о существовании предела монотонной, ограниченной последовательности. Предел постоянной и бесконечно малой. Сравнение бесконечно малых величин. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного числовых последовательностей.
4. Предел функции в точке. Первый и второй замечательный пределы. Раскрытие неопределенностей.
5. Приращение аргумента и функции в точке. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функций.
II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
6. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной; ее геометрический, механический, экономический смысл. Связь непрерывности с дифференцируемостью.
7.Правила дифференцирования функции. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Таблица производных. Производные высших порядков.
8. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Применение производной к вычислению пределов./Правило Лопиталя /.
9. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функции. Возрастание, убывание функции. Признаки возрастания, убывания функции. Понятие экстремума функции. Необходимый признак экстремума функции. Первый и второй достаточные признаки экстремума,
10.Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построение ее графика.
III. Дифференциальное исчисление функции двух переменных
11. Определение функции двух независимых переменных. Область определения. Частные и полное приращения функции с двумя переменными. Предел непрерывной функции с двумя переменными.
12. Частные производные, частные и полный дифференциалы функции с двумя переменными. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Частные производные высших порядков.
13. Экстремум функции двух переменных. Понятие максимума, минимума. Необходимый и достаточный признаки экстремума. Нахождение наименьших, наибольших значений функции. Задача обработки наблюдений. Метод наименьших квадратов. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.
IV. Интегральное исчисление
14. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных дробей.
15.3адачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, как предела интегральных сумм. Теорема существования. Свойства определенного интеграла. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования для определенного интеграла. Приложение определенного интеграла к решению задач.
16. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Понятие сходящихся и расходящихся интегралов. Интеграл Пуассона. Геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов.
V. Дифференциальные уравнения
17. Понятие дифференциального уравнения. Понятие общего и частного решения. Начальные условия. Интегральные кривые.
18. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными; с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения.
19. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
20. Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейно независимые решения. Структура общего решения. Характеристическое уравнение.
21.Линейные
неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами. Частные решения уравнений
с правой частью вида:
;
.
VI. Числовые и степенные ряды
22. Числовые ряды: общий член ряда, частичная сумма, сумма ряда. Сходимость и расходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
23. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.
24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
25. Функциональный ряд: радиус, интервал, область сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля.
26. Ряд Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
27. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Литература
1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. Н. Ш. Крамера. – М.: Юнити, 2001
2. Баврин. И. И. Высшая математика. М.: Академия, 2002
3. Зайцев И. А. Высшая математика. Учебное пособие для неинженерных специальностей с.-х. Вузов. – М.: Высшая школа, 1991
4.Шипачев В. С. Высшая математика– М.: Высшая школа, 1996
5. Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Высшая школа, 1976
6. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. . Высшая математика для экономических ВУЗов – ч. 1 – М.: Высшая школа, 1982
7. Минорский В. П. сборник задач по высшей математике. –М.: Наука, 1987
8. Данко П. Е., Попов А. Г.- ч. 1,2 - М.: Высшая школа, 1974
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
В предлагаемых методических указаниях решены задачи, аналогичные тем, которые даются студентам-заочникам в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошибки, которые допускаются при выполнении контрольных работ.
Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите контрольных работ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Задачи 1-10
По
теме «Введение в анализ» рассмотрите
предварительно следующие вопросы о
функциях и пределах:
1. Понятие функции, способы задания функции, область ее определения.
2. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
3. Понятие предела функции в точке.
4.
Понятие бесконечно малой функции
и
ее свойства:
5.
Понятие бесконечно большой функции
:
,
ее свойства и связь с бесконечно малой
функцией.
6. Теоремы о пределах: предел суммы, разности, произведения, частного функций.
7.Первый замечательный предел:
или
8. Второй замечательный предел:
или в другой форме:
где
e-
иррациональное число:
.
9. Эквивалентные бесконечно малые функции.
10. Виды неопределенностей и способы их раскрытия:
11. Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.
12. Теоремы о непрерывных функциях.
Задача. Найти пределы функций:
1.
2.
При
3.
4.
Решение. Прежде всего заметим, что во всех примерах следует найти предел частного. Как известно, предел частного существует и равен частному пределов, если существуют пределы числителя и знаменателя и предел знаменателя не равен нулю.
1.а)
Предел числителя и предел знаменателя дроби найдем, подставив в них предельное значение аргумента:
Здесь теорема о пределе частного применима.
б)
При
подстановке
в
числитель и знаменатель дроби убеждаемся,
что их пределы равны нулю. Теорема о
пределе частного здесь не применима. В
данном случае говорят, что имеется
неопределенность вида «ноль на ноль»
Такая
неопределенность раскрывается
сокращением
дроби на бесконечно малую функцию
,
в данном случае на
,
которая обращает числитель и знаменатель
в нуль. Для этого нужно сначала разложить
на множители числитель и знаменатель
дроби.
Напомним
формулу разложения квадратного трехчлена
на множители:
,
где
и
-корни
квадратного
трех-
члена,
которые находим из уравнения
.
Разложим на множители числитель данной дроби:
;
Следовательно:
Разложим на множители знаменатель дроби:
;
Следовательно: 4х2+15х-4=4(х+4)(х-1 /4)=(х+4)(4х-1).
Тогда
в)
При
числитель
и знаменатель дроби также стремятся к
бесконечности. В этом случае теорема о
пределе частного неприменима. Говорят,
что имеется неопределенность вида
«бесконечность на бесконечность»
Чтобы
ее раскрыть, каждый член числителя и
знаменателя дроби разделим на
в наивысшей для данного примера степени
(то есть на
),
от чего величина дроби не изменится.
Тогда получим:
так
как
Замечание.
Полезно заметить и запомнить, что предел
отношения многочленов при
равен
отношению их коэффициентов при старших
степенях.
2.
При
подстановке предельного значения
в числитель и знаменатель дроби
убеждаемся, что их пределы равны нулю.
Таким
образом,
перед нами вновь неопределенность вида
которая
раскрывается сокращением дроби на
бесконечно малую функцию
.
Для этого предварительно умножим
числитель и знаменатель дроби на
выражение, сопряженное иррациональному
выражению в знаменателе, то есть на
:
При
умножении сопряженных выражений в
знаменателе было использовано тождество
З.Для
решения примеров под номером 3 используется
первый замечательный предел, с помощью
которого
раскрываются некоторые неопределенности
вида
Примеры
этого пункта можно решать также с помощью
эквивалентных бесконечно малых
функций. Две бесконечно малые функции
и
называются эквивалентными в точке
,
если
предел их отношения в этой точке равен
1:
значит
~при
Например,
при
:
~
;
~
;
~
;
~
.
При вычислении пределов бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им.
4.Для
раскрытия неопределенностей вида (
)
применяется второй замечательный
предел:
где e - иррациональное число, то есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, ее приближенное значение: e ≈ 2,7
Найдем
Очевидно,
что
Тогда
Задачи 11-20,21-30,31-40
Названные
задачи относятся к теме «Дифференциальное
исчисление и его приложения». Основные
вопросы этой темы:
1. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл.
2. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.
3. Формулы дифференцирования основных элементарных функций (таблица производных).
4. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
5. Признаки возрастания и убывания для функции одной переменной.
6. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
7.Вогнутость и выпуклость графика функции. Признаки выпуклости и вогнутости функции.
8.Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба.
9.0бщая схема исследования функции. Построение графика функции.
Таблица производных
Пусть
и
две
функции
,
,
тогда
Заметим, что:
а) производная постоянной равна нулю:
б)
постоянный множитель выносится за знак
производной:
в)
Производные основных элементарных функций
|
1.
|
1.
|
|
2.
|
2.
|
|
3.
|
3.
|
|
4.
|
4.
|
|
5.
|
5.
|
|
6.
|
6.
|
|
7.
|
7.
|
|
8.
|
8.
|
|
9.
|
9.
|
|
10.
|
10.
|
|
11.
|
11.
|
|
12.
|
12.
|
|
13.
|
13.
|
|
14.
|
14.
|
Задачи 11-20
Найти производные заданных функций:
При вычислении производных нужно пользоваться приведенной выше таблицей производных.
Решение.
Воспользуемся формулами:
,
где
Тогда
Воспользуемся формулами:
где
Тогда
в)
Данную функцию можно записать в виде степенной функции:
,
где
И,
следовательно
Заметим, что
Значит,
Тогда
Данную
функцию можно записать как:
,
где
Тогда
Для отыскания последней производной применим формулу:
Значит,
Воспользуемся формулами:
Задачи 21 -30
Исследовать
средствами дифференциального исчисления
функцию
и построить ее график.
Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме:
1. Область определения функции.
В
нашем примере это множество всех
действительных чисел, то есть
