Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точ­ки пересечения ее с осями координат.

Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

; ; ,

Тогда .

Итак, вершина параболы в точке .

Точки пересечения параболы с осью Ох: , тогда

, откуда ; , то есть точки и .

Точка пересечения с осью Оу: , тогда ; то есть точка .

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви пара­болы направлены вверх (рис. 9).

Прямую у = х-1 строим по двум точкам:

получены точки (0;-1) и (1 ;0). Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и пря­мой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

,

где функции f₁(x) и f₂(x) ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f₂(х) ≥f₁ (х) при х Є [а;b].

В нашей задаче f₁(x) = x² -6x + 5;f₂(x) = x-l; x Є [l;6].

Поэтому

Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:

Задачи № 71-90

Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные, называется дифференциальным.

или

Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:

- дифференциальное уравнение первого порядка

- дифференциальное уравнение второго порядка

2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая вместе с ее производными удовлетворяет этому уравнению (превращает его в тождество).

Общее решение имеет вид: .

Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным.

Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:

3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Нахождение их общего и частного решений.

4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными сводится к уравнению с разделенными переменными , которое решается интегрированием обеих частей:

5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Отыскание его общего и частного решений.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

при является уравнением с разделяющимися переменными. Если , то уравнение решается с помощью подстановки ,где и неизвестные функции, зависимые от . После ряда преобразований линейное уравнение сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

---

6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию « » и ее производную « » в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых подбирается специальным образом, а другая находится из условия их удовлетворения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).

Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:

Пример 1.

; при .

Ищем решение уравнения в виде . Найдем производную этого произведения: . Подставим функцию y и ее производную в исходное уравнение:

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель « », и вынесем его за скобку:

Подберем вспомогательную функцию « » так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:

(1)

Тогда уравнение примет вид:

(2)

Оба последних уравнения решаются разделением переменных.

Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию , а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию .

1) ; 2) ; ; ; ;

Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функции ), берем лишь его частное решение, соответствующее . При решении второго уравнения для функции находим общее решение уравнения.

Так как , то - общее решение уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: при . Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:

,

так как , то

Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:

.

Ответ: - общее решение дифференциального уравнения;

- частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2. ;

Ищем решение в виде

Найдем производную: .

Подставим в исходное уравнение и :

;

Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:

Подберем вспомогательную функцию из условия:

(1)

Тогда уравнение примет вид:

(2)

Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение , соответствующее .

---

Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:

Подставим , в общее решение уравнения:

Пример 3.

Ищем решение в виде , тогда .

Подставим и в данное уравнение:

Потребуем, чтобы (1) , тогда (2)

Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при .

Так как , то

- это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям ; и подставим их в найденное общее решение:

Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение :

Ответ: - общее решение;

- частное решение.

Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).

Пример 4. Найти частное решение уравнения:

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

Для нахождения составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

(4)

где - комплексные корни характеристического уравнения. Подставим в (4) , имеем:

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

Подставив в данное уравнение , получим:

,

Откуда , .

Следовательно, и

Найдем :

Используя начальные условия, получим систему

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задачи № 91-110; 111-130

Данные задачи относятся к теме «Числовые и степенные ряды». Рассмотрим предварительно следующие вопросы:

1. Понятие числового ряда.

Члены числовой последовательности, соединенные знаком (+) или (-), образуют числовой ряд вида:

- общий член, где n – порядковый номер члена.

Другая форма записи числового ряда

2. Понятие частичной суммы числового ряда и суммы ряда.

Частичной суммой называется сумма первых членов. . Конечный предел частичных сумм числового ряда при называется суммой ряда . .

---

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

Если числовой ряд имеет сумму , то ряд является сходящимся. Если же не существует или равен , то числовой ряд – расходящийся и суммы не имеет.

4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.

Теорема. Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при равен 0, т.е. .

Необходимый признак сходимости не является достаточным. Поэтому для исследования числовых рядов на сходимость существуют достаточные признаки.

Признак сравнения. Даны два числовых ряда с положительными членами . Если, начиная хотя бы с некоторого номера , выполняется , то:

1. из сходимости ряда следует сходимость ряда ,

2. из расходимости ряда следует расходимость ряда

Признак Даламбера. Дан ряд с положительными членами . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему при , равный , т.е. , то:

1. при ряд сходится

2. при ряд расходится

3. при вопрос остается открытым

5. Признак Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.

Числовой ряд вида называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если: 1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, т.е. и 2) , то такой ряд сходится и его сумма .

6. Понятие степенного ряда и области его сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд:

;

где - коэффициенты ряда, - общий член ряда – степенная функция.

- радиус сходимости; (-R;R) – интервал сходимости.

Интервал (-R;R) c включением одного или двух его концов называется областью сходимости степенного ряда.

7. Разложение в ряд Маклорена функций:

Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале (-R;R) разлагается в ряд Маклорена:

.

Интервал (-R;R) – интервал сходимости ряда Маклорена.

8.Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

На практике приходится прибегать к приближенным вычислениям функций; определенных интегралов; при решении дифференциальных уравнений. В этих случаях функцию разлагают в степенной ряд Маклорена, а ряд заменяют суммой конечного числа членов с требуемой точностью. Точность оценивается с помощью первого отброшенного члена.

С помощью рядов составлены таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов; таблицы, применяемые в теории вероятностей и математической статистике.

Рассмотрим задачи:

Задача 1. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

---

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его члена стремится к нулю при и члены убывают по абсолютной величине. Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

При данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, - область сходимости данного ряда.

Задача 2. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

Заменив x в разложении функции на имеем:

.

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

Тренировочные задания

1. Найти указанные пределы

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

а) а)

б) б)

в) в)

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

2. Найти производные и дифференциалы функции

1. 13.

2. 14.

3. 15.

4. 16.

5. 17.

6. 18.

7. 19.

8. 20.

9. 21.

10. 22.

11. 23.

12. 24.

3. Найти полные дифференциалы для данных функций

4.Найти неопределенные и определенные интегралы.

ПРАВИЛО ВЫБОРА ВАРИАНТА

Вариант контрольной работы определяется по таблице в зависи­мости от двух последних цифр номера шифра личного дела студента. В колонке таблицы по вертикали расположены цифры от 0 до 9, каж­дая из которых - предпоследняя цифра номера шифра. В верхней строке по горизонтали размещены так же цифры от 0 до 9, каждая из которых - последняя цифра шифра.

Пересечение вертикальной и горизонтальной линий определяет номера заданий контрольной работы. Например, по последним двум цифрам номера шифра «78» находят вариант контрольной работы на пересечении строки с цифрой 7 и столбца с цифрой 8. Для контроль­ной работы №1 это номера:5, 11, 27, 40, 41, 58, 70, 79, 82.

ТАБЛИЦА ВЫБОРА ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

П р е д п о с л е д н я я Ц и ф р А ш и Ф Р а			Последняя цифра номера шифра
			0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
	0		1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
			12		11		13		15		17		19		20		18		16		14
			24		26		28		30		25		27		29		21		23		22
			35		33		37		39		40		38		36		34		32		31
			46		48		50		49		47		41		42		43		44		45
			53		55		57		59		60		58		56		54		52		51
			61		63		65		67		69		70		68		66		64		62
			72		71		75		73		77		74		80		78		76		79
			91		92		93		94		95		96		97		98		99		100
			111		112		113		114		115		116		117		118		119		120
	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		1
			14		12		11		13		15		17		19		20		18		16
			26		28		30		25		27		29		21		23		22		24
			33		37		39		40		38		36		34		32		31		35
			48		50		49		47		41		42		43		44		45		46
			55		57		59		60		58		56		54		52		51		53
			63		65		67		69		70		68		66		64		62		61
			87		86		84		82		81		83		89		88		85		90
			101		103		102		104		105		107		108		106		109		110
			130		129		128		127		126		125		124		123		122		121
			Последняя цифра номера шифра
			0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
	2		3		4		5		6		7		8		9		10		1		2
			16		14		12		11		13		15		17		19		20		18
			28		30		25		27		29		21		23		22		24		26
			37		39		40		38		36		34		32		31		35		33
			47		41		42		43		44		45		46		48		50		49
			57		59		60		58		56		54		52		51		53		55
			65		67		69		70		68		66		64		62		61		63
			73		75		79		77		80		71		76		74		72		78
			100		99		98		97		96		95		94		93		92		91
			111		115		114		113		112		116		117		118		119		120
	3		4		5		6		7		8		9		10		1		2		3
			18		16		14		12		11		13		15		17		19		20
			30		25		27		29		21		23		22		24		26		28
			39		40		38		36		34		32		31		35		33		37
			41		42		43		44		45		46		48		50		49		47
			59		60		58		56		54		52		51		53		55		57
			67		69		70		68		66		64		62		61		63		65
			81		82		86		85		84		87		88		89		83		90
			101		103		102		105		104		106		107		108		110		109
			130		129		128		127		126		125		124		123		122		121
	4		5		6		7		8		9		10		1		2		3		4
			18		16		14		12		11		13		15		17		19		20
			25		27		29		21		23		22		24		26		28		30
			40		38		36		34		32		31		35		33		37		39
			50		49		47		41		42		43		44		45		46		48
			58		56		54		52		51		53		55		57		59		60
			69		70		68		66		64		62		61		63		65		67
			77		79		78		80		76		57		72		71		73:		74
			86		83		85		87		89		90		84		81		88		82
			100		99		98		97		96		95		94		93		92		91
	5		8		9		10		1		2		3		4		5		6		7
			19		20		18		16		14		12		11		13		15		17
			27		29		21		23		22		24		26		28		30		25
			38		36		34		32		31		35		33		37		39		40
			49		47		41		42		43		44		45		46		48		50
			60		58		56		54		52		51		53		55		57		59
			70		68		66		64		62		61		63		65		67		69
			79		80		76		78		74		77		71		73		75		72
			91		92		93		94		95		100		99		98		97		96
			111		113		112		115		114		117		116		118		120		119
р е д п о с л е д н я я Ц и ф р а ш и Ф р а	6	Последняя цифра номера шифра
		0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
		6		7		8		9		10		1		2		3		4		5
		17		19		20		8		16		14		12		11		13		15
		29		21		23		22		24		26		28		30		25		27
		40		38		36		34		32		31		35		33		37		39
		42		43		44		45		46		48		50		49		47		41
		56		54		52		51		53		55		57		59		60		58
		68		66		64		62		61		63		65		67		69		70
		81		82		83		84		85		86		87		88		89		90
		110		109		108		107		106		101		102		103		104		105
		130		129		127		128		126		125		123		124		122		121
	7	7		8		9		10		1		2		3		4		5		6
		15		17		19		20		18		16		14		12		11		13
		21		23		22		24		26		28		30		25		27		29
		36		34		32		31		35		33		37		39		40		38
		43		44		45		46		48		50		49		47		41		42
		54		52		51		53		55		57		59		60		58		56
		66		64		62		61		63		65		67		69		70		68
		78		76		72		74		71		80		75		77		79		63
		91		93		92		95		94		96		97		98		99		100
		111		112		113		114		115		116		117		118		119		120
	8	9		10		1		2		3		4		5		6		7		8
		13		15		17		19		20		18		16		14		12		11
		23		22		24		26		28		30		25		27		29		21
		34		32		31		35		33		37		39		40		38		36
		44		45		46		48		50		49		47		41		45		43
		52		51		53		55		57		59		60		58		56		54
		64		62		61		63		65		67		69		70		68		66
		81		82		83		84		85		86		87		88		89		90
		110		109		108		107		106		105		104		103		102		101
		121		122		123		124		125		126		127		128		129		130
	9	10		1		2		3		4		5		6		7		8		9
		11		13		15		17		19		20		18		16		14		12
		22		24		26		28		30		25		27		29		21		23
		32		31		35		33		37		39		40		38		36		34
		43		44		45		46		48		50		49		47		41		42
		51		53		55		57		59		60		58		56		54		52
		62		61		63		65		67		69		70		68		66		64
		74		72		73		71		75		76		79		80		78		77
		100		99		98		97		96		95		94		93		92		91
		111		112		113		114		115		116		117		118		119		120

---

Смотрите также файлы

• Lektsia_2.doc

• Право.doc

• Статистика курсовая.doc

• деловое общение.doc

• лекция управ.doc