Лекція 7: Основні поняття теорії ймовірностей.

План.

1. Предмет теорії ймовірностей. Випробування, події, класифікація подій.

2. Означення ймовірності, її основні властивості, ймовірність складних подій.

3. Формула повної ймовірності, ймовірність гіпотез.

4. Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі.

1. Предмет теорії ймовірностей. Випробування, події, класифікація подій.

1.1. Предмет теорії ймовірностей – вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Математична наука, яка вивчає загальні закономірності випадкових явищ, незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових факторів на різні явища, називається теорією ймовірностей.

1.2. Випробування, події, класифікація подій.

Випробуванням назвемо комплекс умов, який можна відтворювати будь-яку кількість разів. Подією називається результат випробування – це якісний або кількісний результат експерименту, який виконується за певних умов. Позначаються події великими літерами латинського алфавіту: А, В, С і т.д. Або А₁, А₂, А₃, ..., А_n.

Класифікація подій:

Подія А називається достовірною, якщо вона обов’язково відбудеться при заданих умовах і неможливою, якщо вона при цих умовах відбутися не може.

Подія А, яка може відбутися або не відбутися в одному випробуванні, називається випадковою.

Події А₁, А₂, А₃, ..., А_n називаються рівноможливими, якщо при виконанні комплексу умов, кожна з них має однакову можливість відбутися.

Події А₁, А₂, А₃, ..., А_n називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливості появи інших, або відбуваються одночасно.

Приклад № 1: 1) А – поява трьох очок при підкиданні грального кубика; В – поява непарної кількості очок при підкиданні грального кубика; 2) постріл по мішені із 3-х гармат – влучення кожної з них не виключає можливість влучення іншої. Вони можуть влучити всі три одночасно при одному пострілі.

Події А і В називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися разом (одночасно) в одному випробуванні. (П-д: підкидання монети – якщо випав герб, то решка вже в одному випробуванні з’явитися не може).

Якщо в одному випробуванні обов’язково відбудеться одна із несумісних подій A₁,..., A_n, то ці події утворюють повну групу подій. Дві події, які утворюють повну групу, називаються протилежними. Подію, протилежну до події А, позначають A (чит. „не А”).

2. Означення ймовірності, її основні властивості, ймовірність складних подій.

2.1. Класичне і статистичне означення ймовірності

Ймовiрністю випадкової події А називається число P(A), яке дорівнює відношенню кількості елементарних наслідків m, які сприяють появі події А, до кількості всіх рівноможливих наслідків n: .

Приклад № 2: знайдемо ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випадає парне число очок на грані кубика.

---

Розв’язання: подія А полягає у тому, що при підкиданні грального кубика випало парне число очок на грані. Можливі такі наслідки: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ , де А_і – випало і очок (тобто певна кількість: або 1, або 4, або 6 і т.д.) на грані кубика.

А₂, А₄, А₆ – елементарні наслідки, що сприяють появі події А. Тоді .

Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність появи події А не залежить від того відбулася чи ні подія В. (П-д: два стрілка стріляють у ціль. Ймовірність влучення у ціль одного стрілка не залежить від того, влучив у ціль інший, чи ні).

Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність появи події А залежить від того відбулася чи ні подія В.

Приклад №3: у корзині 7 білих і 3 чорні кульки. Усно обчислимо ймовірність взяти з першого разу білу кульку. Визначити (при умові, що кульки в корзину не повертають): 1) ймовірність взяти з другого разу білу кульку, якщо перша була теж біла? 2) ймовірність другою взяти чорну, вважаючи, що перша була біла?

Таким чином, ймовірність взяти навмання непершу кульку будь-якого із кольрів є прикладом залежних подій.

Ймовiрність події А, яка обчислена в припущенні, що відбулася деяка подія В, називається умовною ймовiрністю Р(А/В).

Прикладом обчислення умовної ймовірності будуть розрахунки до прикладу №3:

Введемо події: 1) А – подія, яка полягає в тому, що першою взяли білу кульку, В – другою взяли білу кульку, тоді ; 2) А – подія, яка полягає в тому, що першою взяли білу кульку, В – другою взяли чорну кульку, тоді .

2.2. Статистичне означення ймовірності.

Відносною частотою події А називають відношення числа m випробувань, в яких подія А мала місце до загального числа фактично проведених випробувань n. Тобто: W(А) = m / n.

Означення відносної частоти припускає, що випробування були проведені фактично, тобто ймовірність обчислюється до експерименту, а відносна ймовірність – після експерименту.

Приклад № 4: відділ технічного контролю продукції виявив 5 нестандартних деталей в партії з 60 випадково відібраних деталей. Тоді відносна частота появи нестандартної деталі: .

Якщо проводити експеримент в однакових умовах, у кожному з яких число випробувань достатньо велике, то відносна частота стає стійкою, коливаючись навколо деякого сталого числа, яке можна вважати за наближене значення ймовірності, яке називається статистичною ймовірністю.

3. Властивості ймовірності:

Ймовірність будь-якої події А задовольняє нерівність: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Ймовірність достовірної події дорівнює 1. Аналогічно неможливої – 0.

Для незалежних подій А і В виконуються рівності: .

На практиці висновок про незалежність тих чи інших подій роблять виходячи з інтуїтивних міркувань і аналізу умов випробування, вважаючи незалежними ті події, між якими немає причинних зв’язків.

Сума і добуток двох подій, їх властивості

---

Сумою двох подій А і В називається така подія С = А+В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій А або В.

Приклад № 5: у корзині 6 білих, 4 червоних, 7 зелених і 2 голубих кульки. Після того, як їх ретельно перемішали, взяли навмання одну з них. Яка ймовірність того, що кулька кольорова?

Події: А – взяли білу кульку, В – взяли червону, С – взяли зелену, D – взяли голубу. За умовою нас цікавить поява червоної, або зеленої, або голубої кульок (будь-якого кольору, тільки не білу): .

Добутком двох подій А і В називається така подія С = А·В, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли події А і В відбуваються разом (одночасно).

Сума ймовірностей подій, які утворюють повну групу подій дорівнює 1.

Розглянемо властивості ймовірностей сумісних, залежних та інших видів подій:

1) Ймовiрність суми двох сумісних, незалежних подій дорівнює сумі ймовiрностей цих подій без ймовiрності їх добутку: .

2) Ймовірність суми двох сумісних, залежних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без умовної ймовірності першої, обчисленої в припущенні, що відбулась друга: .

3) Ймовiрність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовiрностей цих подій: .

4) Ймовiрність добутку двох залежних подій дорівнює добутку ймовiрності однієї з них на ймовiрність іншої при умові, що відбулась перша подія: .

5) Ймовiрність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовiрностей цих подій: .

Приклад № 6: у тролейбусному парку п’ять машин №1 і три машини №2. Яка ймовiрність, що перші дві машини, які вийшли з парку, мають № 1?

Розв'язання. Позначимо події: А – перша машина має №1; В – друга машина має №1; С – перші дві машини мають №1. Тоді Р(А) = 5/8. Якщо відомо, що подія А відбулася, то в парку залишилось чотири машини №1 і три машини №2, тобто події А і В – залежні, оскільки ймовірність появи події В залежить від появи події А. Тому:

Р(В/А) = 4/7. Отже, Р(С) = Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = 5/8·4/7 = 20/56 = 0,357 = 35,7%.

Відповідь: 35,7%.

Приклад № 7: Ймовiрність влучення з однієї гармати 0,85, а з другої – 0,7. Знайти ймовiрність принаймні одного влучення при залпі з двох гармат.

Розв'язання. Позначимо події: А – влучила перша гармата; В – влучила друга гармата; С – принаймні одне влучення. Зрозуміло, що А і В – сумісні, незалежні події.

Перший спосіб: .

Другий спосіб. Події – протилежні, тобто – ймовірність невлучення в ціль першою гарматою. Аналогічно . Тоді протилежною подією до „принаймні одного влучення при залпі з двох гармат” буде подія ніодного влучення при залпі з двох гармат:

Третій спосіб. Розглянемо можливі випадки подій при умові „принаймні одного влучення”: можливі випадки, що влучили з обох гармат одночасно, або з першої гармати влучили, а з дугої – ні, або з першої не влучили, а з другої гармати влучили, тобто маємо:

Відповідь: 95,5%.

2. Формула повної ймовірності, ймовірність гіпотез.

---

3.1. Формули повної ймовiрності.

Нехай подія В може відбутися лише разом з однією із подій (гіпотез): Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n , які є несумісні і утворюють повну групу подій, тобто .

Тоді: Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) +...+ Р(Н_n)Р(А/Н_n)

Ця формула називається формулою повної ймовiрності, де події Н₁,..., Н_n – гіпотези.

Приклад № 8: Штампувальний цех направив у відділ технічного контролю дві партії деталей. Перша партія містить 30000 деталей, 5% з яких браковані. Друга партія містить 20000 деталей з 1% браку. Деталі обох партій надходять на спільний конвейєр для перевірки контролером. Контролер навмання взяв одну деталь. Яка ймовірність що деталь бракована?

Розв'язання. Позначимо події: А – деталь бракована; гіпотези: Н₁ – деталь із першої партії; Н₂ – деталь із другої партії. Тоді, за умовою задачі:

Ймовірність випадкового вибору деталі з першої партії: ; аналогічно з другої .

Умовні ймовірності ( – ймовірність випадково вибраної бракованої деталі, з першої партії, аналогічно з другої). Тобто: і .

За формулою повної ймовiрності необхідно обчислити ймовірність того, що навмання взята деталь бракована (незалежно від того, з якої вона партії):

Відповідь: ймовірність вибору з конвейєра бракованої деталі контролером складає 3,4%.

3.2. Формула Байєса.

В умовах формули повної ймовiрності, можна переоцінити ймовiрності гіпотез за формулами Байєса:

Приклад № 8: Два верстата-автомата виробляють однакові деталі, які надходять на спільний конвейєр. Продуктивність першого верстата в 4 рази вища за продуктивність другого. Перший верстат в середньому виробляє 30% деталей відмінної якості, а другий – 80%. Навмання взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовiрність, що цю деталь виготовлено на другому верстаті.

Розв'язання. Позначимо події: А – деталь відмінної якості; Н₁ – деталь виготовлено на першому верстаті; Н₂ – деталь виготовлено на другому верстаті. Тоді, за умовою задачі:

Р(Н₁) = 4/5 = 0,8; Р(А/Н₁) = 30/100 = 0,3;

Р(Н₂) = 1/5 = 0,2; Р(А/Н₂) = 80/100 = 0,8;

За формулою повної ймовiрності

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) = 0,8·0,3 + 0,2·0,8 = 0,4.

За формулою Байєса: Р(Н₂/A) = Р(Н₂)Р(А/Н₂) / P(A) = 0,2·0,8/0,4 = 0,4.

Одержаний результат можна розуміти таким чином: серед деталей відмінної якості 40% складають деталі, які виготовлені на другому верстаті.

Відповідь: 40%.

Приклад № 10: У телевізійному ательє є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескопи витримують гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють 0,8; 0,85; 0,9 і 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний термін служби.

Розв'язання. Позначимо події: А – кінескоп витримав гарантійний термін служби; Н₁ – перший кінескоп витримав гарантійний термін служби; Н₂ – другий кінескоп витримав гарантійний термін служби; Н₃ – третій і Н₄ – четвертий. Тоді, за умовою задачі

Р(Н₁) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₁) = 0,8;

Р(Н₂) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₂) = 0,85;

Р(Н₃) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₁) = 0,9;

---

Р(Н₄) = 1/4 = 0,25; Р(А/Н₂) = 0,95.

За формулою повної ймовiрності:

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) + Р(Н₃)Р(А/Н₃) + Р(Н₄)Р(А/Н₄) = 0,25·0,8 + 0,25·0,85 + 0,25 0,9 + 0,25 0,95 = 0,875 = 87,5 %.

Відповідь: ймовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний термін служби 87,5%.

4. Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі.

1. Схема Бернуллі або схема повторних незалежних випробувань:

Розглянемо випадки, коли у дослідах одні і ті ж випробування повторюються декілька разів. (Наприклад: підкидання монети; схожість насіння; наявність бракованих виробів у партії і т.д.). Тоді в результаті кожного випробування може з’явитись або не з’явитись подія, яка нас цікавить. (Наприклад: поява герба або решки; проросло зерно чи не проросло; деталь бракована чи стандартна і т.д.). Але цікавим для нас є не результат окремого випробування у серії проведених дослідів, а ймовірність появи тієї чи іншої кількості подій у серії випробувань.

У схемі Якоба Бернуллі (1654-1705р.) розглядається серія з n повторних незалежних випробувань, кожне з яких має лише два наслідки: поява деякої події А (успіх) або поява протилежної події (невдача), причому ймовiрність успіху однакова в усіх випробуваннях і дорівнює р. Числа n і р називаються параметрами схеми Бернуллі. Тоді узагальнимо вище сказане у вигляді схеми:

1. Проводится n незалежних випробувань.

2. Ймовірність успіху стала і дорівнює p, де .

3. Ймовірність невдачі .

4. Кожне випробування має два наслідки: успіх або невдача.

2. 4.2. Формула Бернуллі.

Схожість зерна дорівнює . Знайти ймовірність, що з n посіяних зернин проросте k насінин.

Подія А-успіх полягає у тому, що зернина проросте.

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p (), подія настане рівно k разів (без різниці, в якій послідовності), обчислюється за формулою Бернуллі: , де .

(Для прикладу з насінням, задача формулюється наступним чином: ймовірність того, що з насінин проросте рівно , якщо ймовірність проростання для кожної насінини дорівнює , обчислюємо за формулою Бернуллі).

Примітка: формула Бернуллі застосовується у випадку, коли кількість випробувань відносно невелика (як правило, при , де р не може бути набагато меншим 0,1, оскільки при піднесенні до степеня, результат прямуватиме до 0).

Приклад №1. У корзині 30 білих і 10 чорних куль. Взяли підряд п’ять куль, причому кожну взяту кулю повертають у корзину назад перед тим, як брати наступну. Яка ймовірність того, що з п’яти взятих куль три будуть білими?

Розв’язання. Ймовірність взяти білу кулю можна вважати однаковою (сталою в усіх п’яти випробуваннях і рівною: ), тоді ймовірність витягти чорну (не білу): , або . Скориставшись формулою Бернуллі, матимемо:

Відповідь: 26,4%.

Частіше на практиці цікавить ймовірність того, що у випробуваннях подія А з’явиться: а) менше k разів; б) більше k разів; в) не менше k разів; г) не більше k разів, тоді її визначають відповідно за формулою:

---

Смотрите также файлы

• Dokument_Microsoft_Office_Word.docx

• Семінар 3.docx

• Телеф.етикет.docx

• Книжечка для любимого человечка 55 причин.docx

• Облік и звітність у бюджетних установах.docx