, або:

Приклад №2. Ймовірність того, що витрати води протягом дня не перевищуватимуть норму, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що витрати води будуть у нормі у найближчі шість днів протягом: 1) п’яти; 2) не менше чотирьох.

Розв’язання. Будемо вважати, що випробування – це перевірка норм витрат води. Кількість випробувань за умовою n = 6. Подія А – успіх витрати води в нормі, тоді , не відповідають нормам витрати води .

За формулою Бернуллі маємо:

Відповідь: 1) 39,3%; 2) 90,1%.

3. Локальна теорема Муавра-Лапласа

Для частинного випадку, а саме для асимптотична формула була знайдена у 1730 р. Муавром, у 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для будь-якого , відмінного від 0 і 1.

Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p (0<p<1), подія настане рівно k разів (без різниці, в якій послідовності ), наближено дорівнює:

, де та , причому .

Властивості функції :

1. – парна; 2. якщо , то .

Таблиця значень функції для додатніх значень х міститься в додатку 1 [1, с.461-462; 2, с.197].

Приклад №3. Серед виготовлених деталей в середньому 0,5% браку. Яка ймовірність, що в партії з 10000 деталей 40 бракованих?

Розв’язання. Випробування – перевірка якості деталей при кількості випробувань n=10000. Подія А – успіх – деталь бракована, тоді р=0,005, q=0,995, k=40, Застосуємо локальну формулу Лапласа:

.

Відповідь: ймовірність того, що в партії із 10000 деталей 40 бракованих – 2,06%.

4.4. Інтегральна формула Муавра-Лапласа

Якщо ймовірність появи події А у кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія А з’явиться в випробуваннях від до разів, наближено дорівнює:

де , , тобто :.

Властивості функції :

1. – непарна; 2. якщо , то .

Таблиця значень функціїї Лапласа для додатніх значень міститься у додатку 2 [1, с.462-463; 2, с.198-199].

Приклад №4. Серед виготовлених деталей всередньому 0,5% браку. Яка ймовірність, що в партії з 10000 деталей не більше 40 бракованих?

Розв’язання. Випробування – перевірка якості деталей при кількості випробувань . Подія А – успіх – деталь бракована. За умовою задачі , тоді обчислимо: , за інтегральною формулою Лапласа: .

Відповідь: ймовірність того, що в партії з 10000 деталей не більше 40 бракованих – 8%.

4.5. Ймовірність відхилення відносної частоти успіху.

Пригадаємо статистичне означення ймовірності: відношення випробувань, у яких подія А мала місце до загальної кількості фактично проведених випробувань , де – відносна частота появи події А. Нехай проведено n випробувань за схемою Бернуллі (тобто в кожному з них ймовірність появи події стала і дорівнює (). Обчислимо ймовірність, що відхилення відносної частоти від постійної ймовірності за абсолютною величиною не перевищує заданого числа . Або знайдемо ймовірність виконання нерівності: , тоді за інтегральною формулою Муавра-Лапласа маємо: .

---

Або ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює (), абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не перевищує додатнього числа наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при .

Приклад №5. Ймовірність того, що деталь нестандартна, . Знайти ймовірність того, що серед навмання відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,03.

Розв’язання. За умовою, . Необхідно знайти ймовірність або .

За таблицею додатку 2 [1, с. 462-463] знаходимо . Тобто, або .

Отже, шукана ймовірність наближено дорівнює 0,9544.

Зміст отриманого результату: якщо взяти достатньо велику кількість проб по 400 деталей у кожній, то приблизно у 95,44% цих проб відхилення відносної частоти від постійної ймовірності за абсолютною величиною не перевищить 0,03.

Відповідь: 95,44%.

Приклад №6. Ймовірність того, що деталь не стандартна, . Знайти, скільки деталей необхідно відібрати, щоб з ймовірністю 0,9544, можна було стверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей (серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,03.

Розв’язання. За умовою, . Необхідно знайти .

Застосуємо формулу: , тоді .

За даними умови задачі: .

Тобто, .

За таблицею додаток 2 [1, с. 462-463] знаходимо .

Для відшукання числа отримуємо рівняння . Звідси шукана кількість деталей .

Зміст отриманого результату наступний: якщо взяти достатньо велику кількість проб по 400 деталей, то у 95,44% цих проб відносна частота появи нестандартних деталей буде відрізнятися від постійної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,03, тобто значення відносної частоти міститься у межах . Виконаємо перетворення: або . Отримаємо остаточний результат: або . Іншими слова кількість нестандартних деталей у 95,44% проб буде міститися між .

Якщо взяти лише одну пробу із 400 деталей, то з більшою впевненістю можна очікувати, що у цій пробі буде нестандартних деталей не меньше 28 і не більше 52. Можливо, хоча і мало ймовірно, що нестандартних деталей виявиться меньше 28 або більше 52.

Примітка: самостійно знайти на наступну лекцію ймовірності появи у кожному із 4 підкидань монети герба (герб випаде 0 разів, 2 рази і т.д. – обчислити за формулою Бернуллі).

4.6. Формула Пуассона

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює (), подія настане рівно k разів (без різниці, в якій послідовності), обчислюється: за наближеною формулою Пуассона:

, де k= 0; 1; 2; ...; n; – середня кількість успіхів (появи події А); –добуток середньої кількості появи подій на розмір області (одиниця області: площі, об’єму, часу).

Примітка: ймовірність р появи події А в одному випробуванні дуже мала (говорять, що подія А-рідкісна), кількість випробувань n „велика” і добуток np<10, тоді застосовуємо формулу Пуассона.

---

Приклад №1. Завод відправив на базу 4000 якісних виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодиться, дорівнює 0,00025. Знайти ймовірність того, що на базу надійде: 1) 5 пошкоджених виробів; 2) принаймні один пошкоджений виріб; 3) не менше двох пошкоджених виробів; 4) не більше одного пошкодженого виробу.

Розв’язання. Випробування полягають у транспортуванні виробів на базу. Подія А – при транспортуванні виріб пошкодився. Оскільки добуток , то за формулою Пуассона маємо:

;

;

;

Відповідь: 1) 0,31%; 2) 63%; 3) 26,2%; 4) 74%.

4.7. Простий потік подій

Часто події, що розглядаються при розв’язуванні виробничих задач, настають у випадкові моменти часу. Тоді потоком (течією) подій називають послідовність таких подій, які наступають у випадкові моменти часу. Наприклад: заяви до диспетчерського пункту з викликом таксі; виклики на АТС пункту швидкої медичної допомоги; послідовність відмов елементів у електричному ланцюзі і т.д.

Потік називається простим пуассонівським, якщо виконуються умови:

• стаціонарний, тобто залежить від кількості появ події та часу (ймовірності появи подій за проміжок часу рівні між собою) і не залежить від моменту свого початку;

• має властивість відсутності післядії, тобто ймовірність появи події не залежить від появи або не появи події раніше та не впливає на найближче майбутнє;

• ординарний, тобто ймовірність появи більше однієї події в малий проміжок часу є величина нескінченно мала у порівнянні з імовірністю появи події один раз у цей проміжок часу (за нескінченно малий проміжок часу може з’явитись не більше однієї події).

Середня кількість появ подій А в одиницю часу називається інтенсивністю потоку.

Твердження: якщо потік подій пуасонівський, то ймовірність появи події А разів за час обчислюється за формулою: , де – інтенсивність потоку. Цю формулу іноді називають математичною моделлю простого потоку подій.

Приклад № 2. Всередньому на 1м² площі посіву зустрічається 0,5 стеблин бур’яну. Знайти ймовірність того, що на площі 4м² знайдеться: 1) 2 стеблини бур’янів; 2) не більше двох стеблин бур’янів; 3) принаймні одна стеблина бур’яну.

Розв’язання. Випробування полягають у дослідженні посівів на наявність бур’янів. Подія А – на площі посівів знайшлися стеблини бур’янів. Кожна стеблина бур’яну розглядається як точка, яка з’являється в заданій площі. Застосовуємо формулу Пуассона. За умовою , s=4м² (це середня кількість подій, у нашому випадку – стеблин бур’янів, які з’являються на одиниці площі). Параметр розподілу Пуассона =₁s=0,54=2. Шукану ймовірність знаходимо за формулою Пуассона:

;

;

.

Відповідь: 1) 27%; 2) 68,1%; 3) 86,4%.

Приклад № 3. Рукопис об’ємом 1000 сторінок друкованого тексту містить 1000 помилок, допущених при наборі (опечаток). Знайти ймовірність того, що навмання взята сторінка містить: 1) хоча б одну опечатку; 2) рівно 2 опечатки; 3) не менше двох опечаток; 4) не більше однієї опечатки. (Вважати, що кількість опечаток розподілена за законом Пуассона).

---

Розв’язання. Параметр розподілу Пуассона: .

Маємо простий потік подій із інтенсивністю , тоді за формулою:

;

;

;

Відповідь: 1) 63,2%; 2) 18,5%; 3) 26,2%; 4) 73,8%.

8. Найімовірніше число.

Розглянемо приклад: нехай підкинули монету 4 рази. Подія А полягає у появі герба. Складемо таблицю в якій у першому рядку фіксуватимемо кількість гербів при 4 підкиданнях (0 – ні разу не випав герб, 1 – один раз випав герб, і т.д.). Ймовірність появи герба при кожному підкиданні стала і рівна ½, тоді неуспіх – цифра – ½.

	0	1	2	3	4

Визначимо при якій кількості підкидань монетки герб з’являтиметься найчастіше?

У другому рядку таблиці запишемо обчислені ймовірності появи у кожному із 4 підкидань герба:

;

;

;

;

.

Заповнимо другий рядок таблиці:

	0	1	2	3	4
	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

Причому, звернемо увагу:

При фіксованому n = 4 імовірності спочатку зростають при збільшенні числа k від 0 до деякого числа (у даному випадку це 2), і починають спадати при подальшому збільшенні числа k. Кількість успіхів , якій відповідає найбільша ймовірність , називають найбільш імовірною кількістю успіхів, або найімовірнішим числом, або модою. Її визначають із нерівності: , або

Якщо:

1. число – ціле, то існують дві моди, а саме і ;

2. число – дробове, то існує одна мода, а саме ;

3. якщо число – ціле, то мода визначається, як .

Обчислимо аналітично: n=4, р=0,2, тоді:

,

Ціле число (кількість підкидань), що міститься між даними і буде модою – 2.

Приклад № 3. Садівник зробив восени 6 прививок. Із досвіду минулих років відомо, що після зимування 7 із кожних 10 черенків залишаються життєздатними. Яка найбільш імовірна кількість життєздатних черенків?

Розв’язання. Випробування полягають у тому, що садівник восени висаджує черенки. Подія А – черенок перезимував і залишився життєздатним. За умовою – ймовірність життєздатності черенків.

За формулою: або , тобто .

Відповідь: найбільш імовірна кількість черенків, які „приживуться” рівна 4.

Приклад № 4. Скільки треба виконати незалежних випробувань із ймовірністю появи події у кожному виробуванні, рівною 0,4, щоб найімовірніше число появи події у цих випробуваннях було рівне 25?

Розв’язання. За умовою . Застосуємо формулу: , виконаємо спрощення: . Отримаємо результат: . Тобто шукана кількість випробувань повинна задовільняти подвійну нерівність: , це, зрозуміло, що .

Відповідь: 63.

Приклад № 5. Знайти ймовірність появи події у кожному із 49 незалежних випробувань, якщо найімовірніше число настання події у цих випробуваннях дорівнює 30.

Розв’язання. За умовою . Застосуємо формулу: та виконаємо спрощення: або . Таким чином або – нерівність задає проміжок, якому належить шукане значення ймовірності.

Відповідь: .

---

---

Смотрите также файлы

• Dokument_Microsoft_Office_Word.docx

• Семінар 3.docx

• Телеф.етикет.docx

• Книжечка для любимого человечка 55 причин.docx

• Облік и звітність у бюджетних установах.docx