Файл: Алябьева Ю. В., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и математики Урсэи кравченко Е. А.pdf

Уральский социально-экономический институт (филиал) Образовательного учреждения профсоюзов высшего профессионального образования Академия труда и социальных отношений Кафедра прикладной информатики и математики МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА) Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе № 1 для студентов заочной и очной форм обучения направлений Менеджмент, Управление персоналом, Экономика, Прикладная информатика Челябинск
2013

2 Математика (Линейная алгебра методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе № 1 для студентов заочной и очной форм обучения направлений Менеджмент, Управление персоналом, Экономика, Прикладная информатика / Алябьева Ю.В.,
Кравченко Е.А., Морозова Е.В. УрСЭИ (филиал) ОУП ВПО «АТиСО». – Челябинск, 2013. – 36 с. Пособие содержит методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе № 1 по дисциплине Математика (направления Менеджмент и Управление персоналом) и по дисциплине Линейная алгебра (направления Экономика и Прикладная информатика, выполняемой студентами заочной и очной форм обучения. Составители
Алябьева Ю.В., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ
Кравченко Е.А., канд. пед. наук, доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ
Морозова Е.В., канд. пед. наук, доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ Рецензент
Сафронова ИВ, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ
Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом
УрСЭИ (филиал) ОУП ВПО «АТиСО»
© Уральский социально-экономический институт филиал) Образовательного учреждения профсоюзов высшего профессионального образования Академия труда и социальных отношений, 2013
© Алябьева Ю.В., Кравченко Е.А., Морозова Е.В., 2013

3 СОДЕРЖАНИЕ Общие указания ................................................................................................ 4 Тема 1. Действия с матрицами ........................................................................ 6 Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений ................................ 9 Тема 3. Скалярное произведение векторов ................................................... 15 Тема 4. Уравнения прямой на плоскости ...................................................... 18 Список литературы ........................................................................................ 23 Приложение 1. Индивидуальные задачи ...................................................... 24 Приложение 2. Образец оформления титульного листа .............................. 34

4 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Контрольная работа № 1 по дисциплине Математика выполняется студентами заочной и очной форм обучения направлений Менеджмент и Управление персоналом. Контрольная работа № 1 по дисциплине Линейная алгебра выполняется студентами заочной и очной форм обучения направлений Экономика, Прикладная информатика. Дисциплина изучается студентами очной и заочной форм обучения в первом семестре и содержит следующие разделы математики
1. Элементы линейной алгебры.
2. Элементы векторной алгебры.
3. Элементы аналитической геометрии. При выполнении контрольной работы № 1 необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для доработки
1. Каждая контрольная работа №1 должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, вариант, название дисциплины, номер контрольной работы здесь же следует указать название учебного заведения (см. приложение 2). В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие.
5. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия походу решения и делая необходимые чертежи. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата (в виде десятичного числа
6. В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

5 7. После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензента при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно сне зачтенной ранее работой и рецензией к ней.
8. На экзамен/зачет студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.
9. Номера задач индивидуального задания (см. приложение 1) контрольной работы определяются по таблице с помощью первой буквы фамилии студента Первая буква фамилии студента А Б В ГДЕ Ж Вариант
1 2
3 4
5 6
7 Первая буква фамилии студента З ИК Л МН О Вариант
8 9
10 11 12 13 14 Первая буква фамилии студента ПР СТ УФ Х Вариант
15 16 17 18 19 20 21 Первая буква фамилии студента Ц Ч Ш Щ Э Ю Я Вариант
22 23 24 25 26 27 28

6 ТЕМА 1. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ Определение 1.1. Матрицей размерности
m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строки столбцов. Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2 1
2 22 21 1
12 Сокращенно матрица А записывается в виде
 а 
, где указывает номер строки, а номер столбца Определение 1.2. Числа aij, образующие матрицу А называются ее элементами и обозначаются прописными буквами. Определение 1.3. Количество строк на количество столбцов матрицы
(m×n) называют размером (размерностью) матрицы. Пример 1) матрица








6 4
2 0
1 1
A
размером 2x3. Обозначение –
3 2
A
;
2) матрица размером 3x1. Обозначение –
1 Действия над матрицами
1. Сложение матриц Определение 1.4. Суммой двух матриц А = аи) одинаковой размерности mxn называется матрица С = (с, элементы которой определяются равенством с а+ В этом случае пишут С = A + B.




































mn
mn
m
m
n
n
mn
m
n
mn
m
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
1 1
1 1
11 11 1
1 11 1
1 11
2. Умножение матрицы на число Определение 1.5. Произведением двух матриц А = (а) (i = 1, 2, …, m) размерности mxn на число  называется матрица С = (стой же размерности mxn, элементы которой определяются равенством с а

7 В этом случае пишут С = A или С = A.





























mn
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a










2 1
2 22 21 1
12 11 2
1 2
22 21 1
12 11
3. Вычитание матриц Определение 1.6. Разностью двух матриц А = аи) одинаковой размерности mxn, называется матрица С = (с) элементы которой определяются равенством с а Это операция сложения матрицы с противоположной А. Умножение матриц Определение 1.7. Произведение матрицы А на матрицу В, определено тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы А совпадает с числом строк второй матрицы В, ив этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В для умножения. Если тогда
k
m
k
n
n
m
C
B
À





и
k
j
m
i
b
a
b
a
b
a
c
nj
in
j
i
j
i
ij
,...,
1
;
,...,
1
,
2 2
1 Итак, элемент той строки иго столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов той строки матрицы А на соответствующие элементы го столбца матрицы B. Для обозначения произведения матрицы Аи используют запись С = А · B или С = AB. Если применить указанное правило умножения матриц к квадратным матрицам второго порядка, получим
























22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
à
à
à
à
5. Транспонирование матриц Определение 1.8. Матрица, полученная изданной матрицы А заменой местами строки столбцов с сохранением порядка их следования, называется транспонированной к матрице Аи обозначается через А или АТ размер этой матрицы nxm). Если матрица А = (а) размерности mxn, то транспонированная матрица АТ (а.

8















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2 1
2 22 21 1
12 11
















mn
n
n
m
m
Ò
a
a
à
a
a
à
a
a
à
À
2 1
2 22 12 1
21 Задача Найти значение выражения 2BA – Где матрицы













0 5
9 1
3 1
2 А,








1 0
1 1
4 2
B
,







3 1
1 3
С
Решение. Произведение матриц А существует, так как матрица B имеет размерность ха матрица Ахи число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы А. Произведение матриц AB не существует, так как число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B.






















0 5
9 1
3 1
2 1
3 1
0 1
1 А 1
1 0
)
2
(
1
)
5
(
1 3
0 1
1 9
1 1
0 3
1 0
1 1
)
4
(
)
2
(
2
)
5
(
1 3
)
4
(
1 2
9 1
1
)
4
(
3 2
































2 4
12 8
15 11 0
0 2
5 0
1 9
0 3
0 4
4 5
12 2
9 4
6























4 8
24 16 30 22 2
4 12 8
15 11 Произведение матриц С существует, так как матрица С имеет размерность ха матрицах, и число столбцов матрицы С совпадает с числом строк матрицы B. Матрицы







3 1
1 Си








1 0
1 1
4 2
B



















































4 4
5 4
12 7
1 3
1 1
0 3
)
4
(
1 1
3 2
1 1
1 1
3 0
1
)
4
(
3 1
1 2
3 1
0 1
1 4
2 3
1 С 4
5 4
12 СТЕМА. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Определение 2.1. Системой
m линейных уравнений с
n неизвестными (СЛУ) называется система уравнений



















,
,
2 2
1 1
2 2
2 22 1
21 1
1 2
12 1
11
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
, где x
1
, x
2
, … x
n
– неизвестные, подлежащие определению числа a
ij
, i = 1, 2,
… m; j = 1, 2, ... n называются коэффициентами системы, а числа b
i
– ее свободными членами. Число уравнений системы необязательно совпадает с числом неизвестных, возможны следующие случаи m>n, m=n, m. Определение 2.2. Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю b
1
= b
2
= …b
m
= 0. Если хотя бы один из свободных членов b
1
, b
2
, …b
m
, отличен от нуля, то СЛУ называется неоднородной. Определение 2.3. Система линейных уравнений называется квадратной, если число уравнений этой системы равно числу ее неизвестных m = n. Определение 2.4. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Определение 2.5. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Определение 2.6. Матрица А составленная из коэффициентов системы линейных уравнений называется основной матрицей системы. А 1
2 22 21 1
12 11

10 Определение 2.7. Матрицы X и B называются матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.
,
2 1
2 Определение 2.8. Матричная форма записи системы линейных уравнений
B
ÀX Пример. Записать в матричной форме

















4 3
,
0 2
,
3
,
0 3
2 3
2 1
2 1
3 1
3 Обозначим












































4 0
3 0
,
,
1 3
1 0
2 1
1 0
1 1
3 2
3 Следовательно, имеем AX = B. Определение 2.9. Решением СЛУ называется любой упорядоченный набор из n чисел α
1
, α
2
, …α
n
, которые при подстановке их в систему вместо неизвестных x
1
, x
2
, … x
n превращают все уравнения системы в числовые тождества. Пример. Система









0
,
12 5
3 3
1 3
2 является неоднородной системой из двух уравнений стремя неизвестными, для которой тройка чисел (8, 3, 3) является решением системы, т.к. имеем











0 3
3 12 3
5 3
8 Определение 2.10. Две системы уравнений называются эквивалентными, если всякое решение одной из них является решением другой, и наоборот, то есть они имеют одно и тоже множество решений. Элементарными называются следующие преобразования системы
1. Перестановка местами двух уравнений системы.

11 2. Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к одному уравнению системы другого её уравнения, предварительно умноженного на некоторое число.
4. Изменение порядка следования неизвестных. Теорема. При элементарных преобразованиях системы приходим к новой системе эквивалентной данной. Определение 2.11. Матрица (А, В) которая получается из матрицы А приписыванием столбца из свободных членов называется расширенной матрицей системы















m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
B
A
|
|
|
|
)
,
(
2 1
2 2
22 21 1
1 12 Теорема
Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы этой системы равен рангу ее основной матрицы rang(A, B)= rangA. Определение 2.12. Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные































,
,
1 1
2 1
1 2
2 2
1 1
1 1
1 Определение 2.13. Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных. Определение 2.14. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных. Задача 2. Исследовать систему уравнений и решить ее методом Гаусса, если она совместна:
 найти ее общее решение
 базисное решение

12
 частное решение
 сделать проверку.


















1 2
3
,
3 2
2
,
4 3
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 Решение. Дана неоднородная линейная система из х уравнений с 4-мя неизвестными (m = 3, n = 4). Выпишем матрицы системы линейных уравнений















2 1
3 1
1 2
1 2
1 3
2 1
A















4 3
2 1
х
х
х
х
Х












1 3
4
B