Файл: Решение 1 Данная функция существует при любых значениях x 2.docx

Скачать файл (0,13Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.11.2023

Просмотров: 47

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Задание 2

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение:

1) Данная функция существует при любых значениях x:

2)

Т.к. область определения функции симметрична относительно начала координат, то проверим функцию на чётность (нечётность), для этого составим

. Поскольку не выполняется ни равенство

, ни

, то данная функция – общего вида

3)

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с OX , решим уравнение

. Выпишем целые делители свободного члена уравнения 12:

.

Из них подбором найдем первый корень уравнения:

: 1-14+49-36=0. Далее используем теорему Безу: если

корень многочлена n-ой степени

, то его можно представить в виде:

, где

– многочлен степени n −1. В нашем случае

, чтобы найти

, разделим f(x) на x −1.

0

Чтобы найти другие корни, решим уравнение

, его корни

Итак, график функции пересекает OX при х=1, х=4, х=9.

Ось ординат OY график пересекает при у=f(0)=-36

4) определим промежутки знакопостоянства функции:

Для этого нанесем на числовую ось нули функции и определим знак функции в полученных интервалах. При вычислении значений функции удобно использовать формулу

5)

Исследуем наличие асимптот. Составим пределы:

а) для горизонтальной асимптоты

б) для наклонной асимптоты

Т.к. составленные пределы равны +∞ или -∞ , то ни горизонтальной, ни наклонной асимптот нет. Вертикальных асимптот нет, т.к. функция не имеет точек разрыва и везде существует.

6) найдем промежутки возрастания и убывания и исследуем на наличие точек экстремума:

Для этого найдем производную функции

и её критические точки из условия

D=784-4*3*49=196

- точка минимума

- точка максимума

7) найдем промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба/

Из условия

( найдем критическую точку x = 14/3) . Нанесем ее на числовую ось и определим знак второй производной, по которому определим промежутки выпуклости и вогнутости.

- точка перегиба

Отметив характерные точки: экстремумы, точки пересечения с осями координат, строим график функции (приведён на рисунке справа)

Задание 2.

Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен 14м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Решение: