Министерство Образования и Науки

Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное

Учреждение Высшего Образования

Вятский Государственный Университет

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра систем автоматизации управления


Математические основы теории систем
Отчет по контрольной работе

Вариант 7


Выполнил студент гр. ИТб-2301-02-20 /___________ / Н. С. Касаткин

Проверил преподаватель /______________________ / В. Г. Ланских

Киров 2023

Задание 1



Задача 1:

Универсум: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

C = {1, 4, 9, 16} (это множество содержит только те элементы универсума, которые являются точными квадратами целых чисел)

Задача 2:

Множество C / A можно записать следующим образом:

C / A = {1, 9}

Здесь мы удалили из множества C (квадратов чисел) все четные квадраты (4 и 16), которые также содержатся в множестве A (четных чисел). Оставшиеся элементы в C / A - это единица и девять, которые являются нечетными квадратами.

Задание 2

Задача 1



Дано:

- Множество X = {x1, x2, x3, x4, x5}

- Множество Y = {y1, y2, y3, y4}

- Бинарное отношение A = {(x1,y3),(x2,y1),(x2,y3),(x2,y4),(x3,y1),(x3,y2),(x4,y3),(x5,y2),(x5,y4)}

Область определения отношения A - это множество всех элементов из X, которые входят в пары этого отношения. То есть, Dom(A) = {x1, x2, x3, x4, x5}.

Область значений отношения A - это множество всех элементов из Y, которые входят в пары этого отношения. То есть, Ran(A) = {y1, y2, y3, y4}.

Сечение по каждому элементу из X = x1 сечение будет {y3}, для x2 - {y1, y3, y4}, для x3 - {y1, y2}, для x4 - {y3}, для x5 - {y2, y4}.

Фактор-множество Y / A = {{y1, y3}, {y2}, {y4}}.

Задача 2

Множество слов длины , состоящее из символов (букв, цифр, знаков и т. п.) конечного алфавита можно рассматривать как метрическое пространство, если ввести на нем соответствующим образом метрику. Например, в качестве расстояния между двумя словами можно принять количество позиций, в которых слова и содержат различные символы.



Для нахождения расстояний между двоичными словами x, y и z можно использовать различные метрики. Например:

1. 
   Расстояние Хэмминга - это количество позиций, в которых два слова отличаются друг от друга. Для слов x и y:
   

p(x,y) = 4

так как в словах x и y различаются символы на позициях 1, 2, 5 и 6.

Для слов x и z:

p(x,z) = 6

так как в словах x и z различаются символы на позициях 2, 3, 7, 8, 9 и 10.

Для слов y и z:

p(y,z) = 6

так как в словах y и z различаются символы на позициях 1, 2, 6, 7, 9 и 10.

2. 
   Евклидово расстояние - это расстояние между точками в n-мерном пространстве, где каждая координата является значением соответствующего бита в двоичном слове. Для слов x и y:
   

p(x,y) = sqrt((1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2) = sqrt(7)

Для слов x и z:

p(x,z) = sqrt((1-1)^2 + (0-1)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2) = sqrt(6)

Для слов y и z:

p(y,z) = sqrt((0-1)^2 + (0-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2) = sqrt(6)

Задание 3

Постройте графы, соответствующие заданным матрицам смежности. Классифицируйте полученные графы и запишите для них матрицы инцидентности.



Для построения графа, соответствующего данной матрице смежности S, мы можем представить каждую вершину в виде узла графа, а каждое ребро - в виде связи между узлами. Если в матрице смежности элемент (i,j) равен 1, то вершины i и j связаны ребром.

Таким образом, граф, соответствующий матрице смежности S, имеет вид:

1 --- 2

/ \ /

/ \ /

5-----3

Граф является связным, так как любые две вершины можно соединить путем. Это ненаправленный граф, так как связь между вершинами i и j не зависит от порядка этих вершин. Граф также содержит три цикла длины 3.

Матрица инцидентности для данного графа имеет размерность n × m, где n - количество вершин, а m - количество ребер. Каждая строка соответствует вершине, а каждый столбец - ребру. Если ребро связывает вершины i и j, то элемент на пересечении строки i и столбца k будет равен 1 (если ребро направлено из вершины i в вершину j) или -1 (если ребро направлено из вершины j в вершину i).

Для данного графа матрица инцидентности будет выглядеть так:

-1 1 0 0

1 -1 1 1

0 0 -1 1

0 0 0 0

0 1 -1 0

Задание 4

Постройте таблицы истинности логических функций, заданных аналитически.

X1	X2	X3	X4	¬x4x3x2¬x1	¬x4x3¬x2x1	¬x4¬x3x2¬x1	¬x4¬x3¬x2¬x1	¬x4¬x3¬x2x1	x4¬x3x2¬x1	F(x)
0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0

---

Задание 5

Задание 6

X1	X2	!x1	!x2	x1 ∨ !x2	!x1 ∨ x2	(x1 V !x2) ∧ (!x1 V x2)	x1x2
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Задание 7



Высказывание ƎxP(x) означает "Существует такое натуральное число x, что оно делится на 8". Это высказывание истинно, потому что, например, число 8 само делится на 8, а также любое число вида 8k (где k - некоторое натуральное число) также будет делиться на 8. Таким образом, существует бесконечно много натуральных чисел, которые делятся на 8, и поэтому это высказывание истинно.

Задание 8



Для данного сигнала, динамическое представление будет иметь вид:

s(t) = A * u(t) * t^2

где u(t) - единичная ступенька Хевисайда (u(t) = 0 при t < 0 и u(t) = 1 при t > 0).

Таким образом, мы получаем функцию времени для заданного сигнала, которая описывает изменение амплитуды сигнала в зависимости от времени.

Значение параметра A определяет масштаб и интенсивность сигнала, а форма кривой определяется функцией t^2, где t - время.

Итак, динамическое представление сигнала s(t) равно A * u(t) * t^2.

Задание 9



Для периодической импульсной последовательности с периодом T = 20 мкс и параметрами Um = 10 B, tu = 10 мкс мы можем записать ряд Фурье следующим образом:

---

f(x) = a_0/2 + Σ(n=1, ∞)[a_ncos(nπx/T) + b_nsin(nπx/T)]

где a_0 - коэффициент постоянного члена, a_n и b_n - коэффициенты косинусных и синусных членов соответственно, определяемые следующими формулами:

a_0 = (1/T) * ∫(0,T)f(x)dx

a_n = (2/T) * ∫(0,T)f(x)*cos(nπx/T)dx для n > 0

b_n = (2/T) * ∫(0,T)f(x)*sin(nπx/T)dx для n > 0

Изображение импульсной последовательности на рисунке показывает, что она является суммой двух прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды Um и длительности tu, смещенных друг относительно друга на половину периода T/2. Поэтому, мы можем записать эту последовательность в виде функции f(x), используя периодические функции прямоугольного импульса p(t):

f(x) = p(x - T/4) + p(x - 3T/4)

где p(t) = Um, при |t| ≤ tu/2, и p(t) = 0, в остальных случаях.

Коэффициент постоянного члена a_0 можно найти следующим образом:

a_0 = (1/T) * ∫(0,T)f(x)dx = (1/T) * ∫(0,T/2)(Um + Um)dt = Um

Таким образом, коэффициент постоянного члена a_0 равен Um.

Коэффициенты косинусных и синусных членов a_n и b_n можно вычислить следующим образом:

a_n = (2/T) * ∫(0,T)f(x)cos(nπx/T)dx для n > 0 = (2/T) * [∫(0,T/4)Umcos(nπx/T)dx + ∫(3T/4,T)Umcos(nπx/T)dx] = (2/T) * [Um(T/4)sin(nπ/2) + Um(T/4)*sin(nπ/2)] = 0

b_n = (2/T) * ∫(0,T)f(x)sin(nπx/T)dx для n > 0 = (2/T) * [∫(0,T/4)Umsin(nπx/T)dx + ∫(3T/4,T)Umsin(nπx/T)dx] = (2/T) * [Um(T/πn)cos(nπ/2) - Um(T/πn)*cos(nπ/2)] = 0

Таким образом, ряд Фурье имеет вид:

f(x) = Um/2 + Σ(n=1, ∞)[0cos(nπx/T) + 0sin(nπx/T)]

f(x) = Um/2

Спектр имеет только одну гармонику с амплитудой Um/2 вокруг нулевой частоты. Таким образом, спектр состоит из единственной гармоники с амплитудой Um/2 и отсутствуют другие гармоники.

Задание 10



Для определения шага дискретизации и требуемого количества отсчетов необходимо использовать критерий Найквиста-Шеннона. Согласно этому критерию, минимальная частота дискретизации должна быть в два раза больше максимальной частоты сигнала, то есть:

fs > 2*fв

где fs - частота дискретизации, fв - верхняя частота полосы пропускания ФНЧ.

Таким образом, частота дискретизации должна быть не менее 400 кГц.

Шаг дискретизации △t можно определить как обратное значение частоты дискретизации:

△t = 1/fs

Таким образом, △t = 2.5 мкс.

Количество отсчетов N можно определить как произведение длительности сигнала на частоту дискретизации:

---

N = Tc / △t = 20 000 отсчетов.

Итак, для данного сигнала необходимо провести дискретизацию с частотой не менее 400 кГц, шагом дискретизации 2.5 мкс и количеством отсчетов 20 000.

Задание 11

1+j2	4	2-j3
-j	2	4+j2
5-j3	1	-j5

Матрица А =

1-j2	-j4	5+j3
j	2	-4-j2
2+j3	1	j5

A* =

Задание 12



Для того чтобы найти обратную матрицу A^-1 методом исключения, нужно выполнить следующие шаги:

1. 
   Дополнительная матрица: создаем расширенную матрицу (A|E), где E - единичная матрица размерности 4x4.
   

(0, 0, 1, -1 | 1, 0, 0, 0;

0, 3, 1, 4 | 0, 1, 0, 0;

2, 7, 6, -1 | 0, 0, 1, 0;

1, 2, 2, -1 | 0, 0, 0, 1)

2. 
   Прямой ход: приводим матрицу (A|E) к верхнетреугольному виду путем элементарных преобразований строк. Для этого вычтем из второй строки первую, умноженную на 2; вычтем из третьей строки первую, умноженную на коэффициент 1/2, и вычтем из четвертой строки первую, умноженную на коэффициент 1/2.
   

(0, 0, 1, -1 | 1, 0, 0, 0;

0, 3, 1, 4 | 0, 1, 0, 0;

0, 7, 5, 1 | 0, 0, 1/2, 0;

0, 2, 3/2, -1/2 | 0, 0, 0, 1)

3. 
   Обратный ход: приводим матрицу (A|E) к диагональному виду путем элементарных преобразований строк. Для этого вычтем из третьей строки вторую, умноженную на коэффициент 7/3; вычтем из четвертой строки вторую, умноженную на коэффициент 2/3, и вычитаем из четвертой строки третью, умноженную на коэффициент 9/5.
   

(0, 0, 1, -1 | 1, 0, 0, 0;

0, 3, 1, 4 | 0, 1, 0, 0;

0, 0, 16/5, -38/15 | 0, -7/15, 1/6, 0;

0, 0, 1/5, 13/15 | 0, -2/15, -3/10, 1)

4. 
   Нормирование: делим каждую строку полученной матрицы на соответствующий элемент главной диагонали.
   

(0, 0, 1, -1 | 1, 0, 0, 0;

0, 1, 1/3, 4/9 | 0, 1/3, 0, 0;

---

0, 0, 1, -19/32 | 0, 7/80, 1/96, 0;

0, 0, 1/16, 13/48 | 0, 1/24, -1/20, 1)

Таким образом, обратная матрица равна:

A^-1 = (1, 0, 0, 0;

0, 1/3, 0, 0;

0, 7/80, 1/96, 0;

0, 1/24, -1/20, 1)

Задание 13



Для нахождения соответствующей присоединенной матрицы G(λ) и коэффициентов характеристического многочлена Δ(λ) с помощью алгоритма Фаддеева нужно выполнить следующие шаги:

1. 
   Вычислить определитель матрицы A: det(A) = 4 * (-9) * (-1) + 5 * 1 * 4 + 1 * (-8) * (-6) - 1 * (-9) * 4 - 5 * (-8) * (-1) - 1 * 1 * (-6) = -16
   
2. 
   Найти матрицу алгебраических дополнений C: C = ((-54, -4, -22), (20, -4, 24), (-29, 36, -4))
   
3. 
   Транспонировать матрицу C: C' = ((-54, 20, -29), (-4, -4, 36), (-22, 24, -4))
   
4. 
   Вычислить присоединенную матрицу G(λ): G(λ) = λ^2 * I - λ * A + det(A) * I^-1 * C' = λ^2 * | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 1 | - λ * | 4 5 1 | |-8 -9 1 | | 4 -6 -1 | + (-16) * | -54 20 -29 | | -4 -4 36 | |-22 24 -4 | = | λ^2+16 -5λ 22λ | | 8λ λ^2-9 -24λ | |-4λ 6λ λ^2+16 |
   
5. 
   Найти коэффициенты характеристического многочлена Δ(λ): Δ(λ) = det(G(λ)) = (λ^2+16) * (λ^2-9) * (λ^2+16) + 40λ^2 + 132λ = λ^6 + 32λ^4 - 273λ^2 - 2304
   

Таким образом, соответствующая присоединенная матрица G(λ) имеет вид: G(λ) = | λ^2+16 -5λ 22λ | | 8λ λ^2-9 -24λ | |-4λ 6λ λ^2+16 |

А коэффициенты характеристического многочлена Δ(λ) равны: Δ(λ) = λ^6 + 32λ^4 - 273λ^2 - 2304

Задание 14



Найдем нули передаточной функции W(p) путем решения уравнения числителя:

p^2 + 3 = 0

Отсюда получаем два комплексно-сопряженных нуля:

p1 = i*sqrt(3)

p2 = -i*sqrt(3)

Найдем полюсы передаточной функции W(p) путем решения уравнения знаменателя:

p^3 + 7p^2 + 21p = 0

Выносим p за скобку и получаем:

p*(p^2 + 7p + 21) = 0

Уравнение в скобках имеет комплексные корни:

p1 = (-7 + i*sqrt(83))/2

p2 = (-7 - i*sqrt(83))/2

Таким образом, нули передаточной функции W(p) расположены на мнимой оси комплексной плоскости, а полюсы - в левой полуплоскости.

Задание 15



Матрицы для данной системы имеют следующий вид:

A = [(-7/3) (1/3) (8/3); (2/3) (-11/3) 0; 1 -1 -2]

B = [5; 0; -3]

C = [(2/3) (1/3) (1/3)]

D = 0

Тогда уравнение системы в матричной форме будет выглядеть следующим образом:

dx/dt = Ax + Bu y = Cx + Du

---

Смотрите также файлы

• Метод Характеристика метода.docx

• Раннее развитие ребенка.docx

• Реферат виды транспорта.docx

• Основы прекращения горения на пожаре. Огнетушащие вещества.docx

• Утверждена приказом директора от 202 года.docx