Контрольная работа №1Задание №2.Найти дифференциалы первого и второго порядков функция нескольких переменных.а) Решение:Находим частные производные:При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:Найдем смешанные частные производные:Для того, чтобы найти ∂²z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:Ответ: + .Задание№3.Вычислить приближенно (считая ). Вычислить приближенно arctg ( ) исходя из значения функции z=arctg(y/x) при x=1,y=1.Значения функции z при x=1,y=1 есть z=arctg(1/1)=π/4≈0,785.найдем приращение функции Δz при Δx=0,02,Δy=-0,03:Δz≈dz= Δx + Δy = = + = = = - 0,025Следовательно, arctg( )=z+Δz≈0,785-0,025 ≈ 0,76.Ответ: arctg ( ) ≈ 0,76.Задание №6.Найтиа) полнуюпроизводную

---

;

а)

Решение:

Находим частные производные:
При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:

Полный дифференциал функции.

dz = (y*e^x-y*e^x*y)dx + (-x*e^x*y+e^x+e^y)dy
Находим вторые частные производные:


Найдем смешанные частные производные:
Для того, чтобы найти ∂²z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

+ -

Ответ: + - .

Задание №7.

Найти производную указанной функции в направлении вектора в точке и градиент этой функции в точке .

б)

Решение:
Градиентом функции u = f(x,y,z) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

---

Тогда величина градиента равна:grad(u)=y·z·i + x·z·j + x·y·kПолный дифференциал функции:dU=y·z·dx + x·z·dy + x·y·dzНайдем градиент в точке А(2;1;1)grad(u)_A = (1·1)i + (2·1)j + (2·1)kилиgrad(u)_A = ·i + 2·j + 2·kМодуль grad(u) - наибольшая скорость возрастания функции:Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-4;5).Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:Модуль вектора |a| равен:тогда направляющие косинусы:Для вектора a имеем:Если ∂u/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.Если ∂u/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Задание№8.Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Sв точке М. Линеаризовать функцию в точке М.

1. 
   
   

Решение.Запишем уравнения касательной в общем виде:z - z₀ = f'_x(x₀,y₀,z₀)(x - x₀) + f'_y(x₀,y₀,z₀)(y - y₀)Найдем частные производные функции f(x,y,z) = x^2+2*y^2:Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

---

Для нашей функции:Тогда:В точке М₀(1,1,3) значения частных производных:f'_x(1;1;3) = ∞f'_y(1;1;3) = ∞Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:z - 3 = ∞(x - 1) + ∞(y - 1)или0 = 0Запишем уравнения нормали в общем виде:Пользуясь формулой, получаем канонические уравнения нормали к поверхности в точке М₀:Задача 2. ВычислитьРешение : = == =( + ) = + 2Ответ: 2.Задача 3. Вычислить.Решение: = dy== -

---

Ответ: 30,82.Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.Решение:

1. 
   Cтроим чертёж :
   

2. 
   Проводим анализ криволинейной трапеции (фигуры). Принимаем решение, что интегрировать будем по переменной
   
3. 
   Пределы интегрирования .
   
4. 
   Определяем точки пересечения графиков функций:
   

, x= или x=

5. 
   Вычислить площадь (определенный интеграл):
   

12 Ответ: 12 Задача 9. Пластинка D задана неравенствами,  - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.Решение: Контрольная работа №2 Задача № 2Варианты 9 – 16. Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно , i=1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных, , и

---

Смотрите также файлы

• Контрольная работа по дисциплине Метрология, стандартизация и сертификация.docx

• Диплом жмысы 6В01501 Математика малімдерін даярлау.docx

• Тема Особенности содержания обновленных фгосооо, фгос соо.docx

• Вопросы к дифференцированному зачету.docx

• Современное использование.docx