ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.11.2023
Просмотров: 33
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
весом слова и обозначается W(q).
Расстоянием Хемминга между 2-я кодовыми словами определяется как число компонент, в которых эти слова отличаются друг от друга (
, 
- вес вектора).
При искажении t компонент у некоторого кодового слова полученное на выходе канала слово будет отличаться от переданного в t компонентах, т.е. будет удалено на расстояние t.
Условиями, для обнаружения и исправления ошибок являются:
Линейные коды.
Линейные коды: Пусть
n- мерное векторное пространство над полем Галуа 
, подпространство 
называется линейным блоковым кодом.
Величина
называется кодовым расстоянием.
Расстояние между 2-мя кодовыми словами линейного блокового слова равно весу некоторого не нулевого кодового слова, т.к.
.
Кодовое расстояние для линейного блокового кода равно минимальному весу его не нулевых кодовых слов.
Пример: q=2; n=5;
; 
Код предназначен для кодирования двоичной информации. Его характеристики: большая помехозащищенность и малая скорость передачи информации. Этот код называется кодом кратных повторений.
Пусть G подмножество – линейный код размерности k. Матрица 
составленная из базисных векторов подпространства Gназывается порождающей матрицей кода G.
Для линейного кода G размера k с кодовым расстоянием d используется обозначение
- код. Этот код содержит 
векторов. Поэтому код можно описать перечислением всех кодовых слов, а можно использовать более компактный способ с помощью порождающей матрицей G.
Из курса геометрии известно, что подпространство векторного пространства может быть задано различными базисами, что обуславливает неоднозначность выбора порождающей матрицы кода.
Векторы
называются ортогональными если 
.
Пусть G векторное подпространство размерности k множество всех векторов из
ортогональных к G образуют ортогональное векторное пространство.
Существует матрица
ранга n
,строками которой является базис ортогонального подпространства.
Вектор
,когда 
ортогонален каждой строке матрицы 
(
). В координатной записи это соотношение имеет вид 
. Эти формулы означают, что компоненты кодового слова должны удовлетворять совокупности n-k линейно независимых уравнений, эти уравнения называются обобщенными проверками на четность. Соотношение проверок на четность должны выполняться и для базисных векторов подпространства G (
).
Ортогональное подпространство с порождающей матрицей H называется линейным n-k кодом, двойственным к линейному (n,k) кода
.
Пусть G – линейный (n,k) код с проверочной матрицей H, тогда каждому кодовому слову
соответствует соотношение линейной зависимости связывающей d столбцов матрицы H. Каждому соотношению линейной зависимости включающей d столбцов матрицы H соответствует кодовое слово веса d.
Блоковый код являющийся ортогональным пространством матрицы H имеет минимальный вес равный самое меньшее d тогда и только тогда, когда любая совокупность d -1 и меньшего числа столбцов матрицы H является линейно независимой.
Вероятностью ошибки декодирования для данной схемы декодирования называется вероятность появления кодового слова на выходе декодера отличного от переданного в канал связи. Если все кодовые слова используются с равной вероятностью, вероятность ошибки декодирования
. Для любого канала с независимыми ошибками, 2 кода отличающиеся расположением символов имеют одну и ту же вероятность ошибки.
Расстоянием Хемминга между 2-я кодовыми словами определяется как число компонент, в которых эти слова отличаются друг от друга (
, - вес вектора).При искажении t компонент у некоторого кодового слова полученное на выходе канала слово будет отличаться от переданного в t компонентах, т.е. будет удалено на расстояние t.
Условиями, для обнаружения и исправления ошибок являются:
-
Для обнаружения всех комбинаций из d-1 или меньшего числа ошибок необходимо и достаточно, чтобы минимальное расстояние Хемминга между кодовыми словами было равно d. -
Для того чтобы исправить все комбинации из t или меньшего числа ошибок необходимо и достаточно, чтобы минимально расстояние между кодовыми словами было равно 2t+1.
Линейные коды.
Линейные коды: Пусть
n- мерное векторное пространство над полем Галуа , подпространство называется линейным блоковым кодом.Величина
называется кодовым расстоянием.Расстояние между 2-мя кодовыми словами линейного блокового слова равно весу некоторого не нулевого кодового слова, т.к.
.Кодовое расстояние для линейного блокового кода равно минимальному весу его не нулевых кодовых слов.
Пример: q=2; n=5;
; Код предназначен для кодирования двоичной информации. Его характеристики: большая помехозащищенность и малая скорость передачи информации. Этот код называется кодом кратных повторений.
Пусть G подмножество
– линейный код размерности k. Матрица составленная из базисных векторов подпространства Gназывается порождающей матрицей кода G. Для линейного кода G размера k с кодовым расстоянием d используется обозначение
- код. Этот код содержит векторов. Поэтому код можно описать перечислением всех кодовых слов, а можно использовать более компактный способ с помощью порождающей матрицей G.Из курса геометрии известно, что подпространство векторного пространства может быть задано различными базисами, что обуславливает неоднозначность выбора порождающей матрицы кода.
Векторы
называются ортогональными если .Пусть G векторное подпространство размерности k множество всех векторов из
ортогональных к G образуют ортогональное векторное пространство.Существует матрица
ранга n ,строками которой является базис ортогонального подпространства.Вектор
,когда ортогонален каждой строке матрицы ( ). В координатной записи это соотношение имеет вид . Эти формулы означают, что компоненты кодового слова должны удовлетворять совокупности n-k линейно независимых уравнений, эти уравнения называются обобщенными проверками на четность. Соотношение проверок на четность должны выполняться и для базисных векторов подпространства G ( ).Ортогональное подпространство с порождающей матрицей H называется линейным n-k кодом, двойственным к линейному (n,k) кода
.Пусть G – линейный (n,k) код с проверочной матрицей H, тогда каждому кодовому слову
соответствует соотношение линейной зависимости связывающей d столбцов матрицы H. Каждому соотношению линейной зависимости включающей d столбцов матрицы H соответствует кодовое слово веса d.
Блоковый код являющийся ортогональным пространством матрицы H имеет минимальный вес равный самое меньшее d тогда и только тогда, когда любая совокупность d -1 и меньшего числа столбцов матрицы H является линейно независимой.
Вероятностью ошибки декодирования для данной схемы декодирования называется вероятность появления кодового слова на выходе декодера отличного от переданного в канал связи. Если все кодовые слова используются с равной вероятностью, вероятность ошибки декодирования
. Для любого канала с независимыми ошибками, 2 кода отличающиеся расположением символов имеют одну и ту же вероятность ошибки.