Файл: Лекция Первый и второй замечательные пределы Преподаватель Белоусова И. Е.pptx

Лекция 2. Первый и второй замечательные пределы

Преподаватель: Белоусова И. Е.

Содержание

Теорема 1. Первый замечательный предел.
Следствия и свойства первого замечательного предела.
Теорема 2. Второй замечательный предел.
Решение примеров на данную тему.

Первый замечательный предел

Теорема 1.  – первый замечательный предел. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство. Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х.
Пусть 0 < x < . На рисунке |AM|= sinx, 
дуга МВ численно равна центральному углу x, |BC| = tgx. 

Первый замечательный предел

Очевидно, имеем SΔМОВ < Sсектора МОВ < SΔCОВ. На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенства на  получим или  Так как  и , то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Первый замечательный предел

Пусть теперь x < 0. Имеем где –x > 0.
Поэтому

Следствия первого замечательного предела

1.
2.
3.

Свойства первого замечательного предела

1.
2.
3.

Второй замечательный предел

Теорема 2.  – второй замечательный предел.
Доказательство. Рассмотрим переменную величину . Так как для любого действительного х, справедливо неравенство , то, очевидно, .
Следует, что а, значит, по теореме о промежуточной переменной

Задания для закрепления

1.
2.
3.
4.

---