67

			Таблиця 2.5
Показник порядку	Прямий код показника	Характеристика (показник + 4)	Примітки
+3	011	111	3 + 4=7
+2	010	110	2 + 4 = 6
+ 1	001	101	1+4 = 5
0	000	100	0 + 4 = 4
-1	101	011	-1+4 = 3
-2	11О	010	-2 + 4 = 2
-3	111	001	-3 + 4=1
		000	Ознаку нуля

Як зазначалося, характеристика r - це порядок р з надлишком 1 = 2^k-1 Вона не змінює свого знаку і змінюється від 1 (при р = -2^k-1) до 2^к"' (при р = +2^k-1- 1). Винятком є число 0, яке виражається нульовою характеристикою і нульовою мантисою (не обов'язково).

Основною перевагою представлення чисел у форматі з рухомою комою є великий діапазон машинних чисел і висока точність їхнього подання. Діапазон визначається до­вжиною розрядної сітки, виділеної для характеристики, а точність визначається довжи­ною розрядної сітки, виділеної для мантиси.

Особливості виконання операцій над числами з рухомою комою:

• збільшення мантиси у 2 рази здійснюється зсувом двійкового значення мантиси ліворуч (у бік старших розрядів);

• зменшення мантиси у 2 рази здійснюється зсувом двійкового значення мантиси праворуч (у бік молодших розрядів);

• величина числа не зміниться, якщо збільшити мантису в 2 рази і одночасно змен­шити порядок на 1;

• величина числа не зміниться, якщо зменшити мантису в 2 рази і одночасно збіль­шити порядок на 1.

Тобто формат з рухомою комою має недолік, який полягає у відсутності унікального представлення для кожного числа. Усі числа, що наводяться на рис. 2.7, є еквівалентни­ми. Слід зауважити, що цього недоліку не мають нормалізовані числа.

---

68

У деяких моделях комп'ютерів одержало поширення відображення чисел із рухомою комою з основою порядку, рівною цілому ступеню числа 2 (s =2^r). При цьому порядок р відображається двійковим цілим числом, а мантиса т - числом, в якому групи по r двій­кових розрядів зображають цифри мантиси з основою системи числення s.

Прикладами вживаних основ порядку є числа 8 та 16.

Використання для чисел з рухомою комою недвійкової основи порядку дещо змен­шує точність обчислень (при заданому числі розрядів мантиси), але дозволяє збільшити діапазон чисел, що представляються в машині, і прискорити виконання деяких опера­цій, зокрема нормалізації, за рахунок того, що зсув проводиться відразу на кілька двій­кових розрядів. Крім того, зменшується вірогідність появи ненормалізованих чисел в ході обчислень.

Наприклад, у разі використання шістнадцяткових чисел з рухомою комою число X вважається нормалізованим, якщо старша шістнадцяткова цифра X. відмінна від 0. Тоб­то у нормалізованому числі три старші двійкові цифри можуть дорівнювати 0. Це дещо зменшує точність представлення чисел при фіксованому числі розрядів мантиси. Якщо r старших шістнадцяткових розрядів мантиси рівні 0, то нормалізація в цьому випадку полягає в зсуві вліво мантиси на г шістнадцяткових розрядів і відповідному зменшенні показника порядку на r одиниць. Зсув на один шістнадцятковий розряд виконується як зсув мантиси відразу на чотири двійкові розряди.

Розглянемо кілька прикладів.

Припустимо, що потрібно подати у форматі з рухомою комою число 17. Для десят­кової системи 17 = 17.0 х 10¹⁰ = 1.7 х 10¹ = 0.17х 10². Аналогічно в двійковій системі 17₁₀ = 10001₂ х 2° = 1000.1₂ х 2¹ = 100.01, х 2² = 10.001₂ х 2³ = 1.0001₂ х 2⁴ = 0.10001, х 2⁵. Якщо вико­ристати останній запис, то 8-розрядна мантиса числа буде рівною 10001000, а 5-розряд-ний порядок буде рівним 00101. Тоді число 17 в форматі з рухомою комою в двійковій системі має вигляд, показаний на рис. 2.8 а. Використовуючи формат з рухомою комою можна представляти числа в значно ширшому діапазоні, ніж використовуючи формат з фіксованою комою, при тих самих 14 розрядах. Так, на рис. 2.8 b) показано число 65536 = 0.1₂ х 2¹⁷ у форматі з рухомою комою, для представлення якого у форматі з фіксованою комою потрібно було б 16 розрядів.

Як вже зазначалося, ідея зміщення порядку полягає в перетворенні його значень лише в додатні числа. Зміщення здійснюється шляхом додавання до кожного значення порядку фіксованого числа, рівного середньому значенню величини діапазону можли­вих чисел, яке вибирається для представлення нуля. В приведених вище прикладах як зміщення потрібно взяти число 16, тому що воно є середнім між 0 і 31 (порядок має 5 бітів, тому дозволяє представити 2⁵ = 32 значень). Будь-яке число, більше ніж 16, в полі порядку буде представляти додатне значення, а менше - від'ємне. Зауважимо іще раз, що значення порядку з усіма нулями та одиницями зазвичай резервується для спеціальних випадків (таких як нуль та нескінченість).

---

69

Повернемося до попереднього прикладу. Ми обчислили 17₁₀= 0.10001₂х2⁵. Зміщення порядку рівне 16 + 5 = 21, і число має вигляд, показаний на рис. 2.9 а. Аналогічно для числа 0.25=1.0х2^-2 будемо мати представлення, показане на рис. 2.9 b.

Розглянемо іще один приклад числа з рухомою комою, в даному випадку нормалі­зованого. Виразимо 0.03125₁₀ в форматі з рухомою комою із зміщенням порядку на 16. Тоді 0.03125₁₀ = 0.00001₂ х 2° = 0.0001 х 2^-1 = 0.001 х 2^-2 = 0.01 х 2^-3 = 0.1 х 2^-4. Додавши до порядку зміщення отримаємо 16 - 4 = 12. Повний вигляд числа показано на рис. 2.10.

На рис. 2.11 наведено два приклади використовуваного в комп'ютерах формату пред­ставлення чисел з рухомою комою. Зверху наведено формат, який був використаний в комп'ютерах CDC 6600, CDC 7000, та CYBER 170 фірми СКС, а знизу - формат, який був використаний в комп'ютерах системи ІВМ/370 фірми IBM, причому тут основою поряд­ку є число 16, тому мантиса вважається нормалізованою, якщо є хоча б одна одиниця в перших її чотирьох розрядах.

Існує велика кількість задач, коли обробці підлягають масиви чисел, які змінюються в вузькому діапазоні значень. В цьому випадку з метою більш ефективного використання розрядної сітки для представлення чисел використовують так звану поблоково-рухому кому, коли для всього масиву чисел є лише один порядок. В спеціалізованих комп'ютерах це дозволяє суттєво зменшити витрати обладнання на побудову арифметико-логічного пристрою.

---

70

При потребі іще більшого розширення діапазону представлення даних використо­вується так званий формат з рухомою-рухомою комою. Тут використовується два поля порядку, як це показано на рис, 2.12.

Тут значення числа визначається з виразу А = 2^е, де e = Р₁ 2^P2.

2.6.4. Стандарт ІЕЕЕ-754

Для представлення чисел з рухомою комою у більшості сучасних комп'ютерів ви­користовується стандарт ІЕЕЕ-754. В попередньому пункті ми розглянули можливі варі­анти представлення даних в форматі з рухомою комою. До середини 80-х років в різних комп'ютерах використовувались різні варіанти цього представлення, що суттєво усклад­нювало виконання на них тих самих програм. У 1985 році Інститут інженерів електро­техніків і радіоелектроніків (IEEE) розробив стандарт для чисел з рухомою комою, який офіційно відомий як ІЕЕЕ-754 (1985).

Стандарт ІЕЕЕ-754 для чисел з одинарною точністю використовує зміщення 8-роз-рядного порядку на 127. Це ще один спосіб представлення чисел із знаком без викорис­тання знаку мінус. Мантиса має 23 біти. Із знаковим розрядом включно повна довжина слова складає 32 біти (рис. 2.13).

Значення числа обчислюється за формулою:

число = (-1)^S *2^E-127*(1, М).

Мантиса представляється в прямому коді без знаку, знак мантиси представляється окремо. Суть нормалізації полягає в тому, що мантиса приводиться до вигляду 1.ххххх, тобто вона знаходиться в межах від 1,000...0 до 1,111...1. Слід зауважити, що оскільки кожна мантиса після нормалізації починається з 1, то нема сенсу зберігати цей розряд, тому він не зберігається разом з числом. Його необхідно просто враховувати під час операцій над числами.

Числа з подвійною точністю в стандарті ІЕЕЕ-754 подаються 64-розрядним словом, яке має знаковий розряд, 11-розрядний порядок і 52-розрядну мантису (рис. 2.14). Змі­щення порядку дорівнює 1023.

---

71

Значення числа обчислюється за формулою:

число = (-1)^S *2^E-1023*(1, М).

Діапазон чисел, які можуть бути представлені в цьому форматі, показаний на рис. 2.15.

У табл. 2.6 наведено характеристики форматів подання двійкових чисел в стандарті ІЕЕЕ-754 з одинарною та подвійною точністю.

		Таблиця 2.6
Характеристика	Формат з одинарною точністю	Формат з подвійною точністю
Довжина слова	32 біти	64 біти
Мантиса (зі знаком)	24 біти	53 біти
Порядок	8 бітів	11 бітів
Зміщення	127	1023
Наближений діапазон	2128=3.8 1038	21024=9 10307
Найменше нормалізоване число	2-126=10-38	2-1022=10-308
Наближена точність представлення чисел	2-23=10-7	2-52=10-15

Як числа з одинарною точністю, так і числа з подвійною точністю в стандарті ІЕЕЕ-754 мають для нуля два варіанти представлення. Коли порядок і мантиса рівні нулю - число є нулем. При цьому значення знаку є несуттєвим. На цю обставину потрібно звертати увагу при проведенні операції порівняння числа з рухомою комою на збіжність з нулем.

Стандарт ІЕЕЕ-754 передбачає використання певної кількості значень мантиси та порядку для представлення нескінчених, невизначених та малих значень. Так мінус та плюс нескінченість подаються максимальним значенням порядку (377₈для числа з оди-

---

Смотрите также файлы

• Екологія посібник.doc

• LR3_[5405].doc

• Питання до модуля 1 з АК.doc

• Питання до 1 модуля з КЕ.doc

• ДБН В.3.2-2-2009_Жил_здания_реконст_кап_ремонт.doc