Файл: Решение Найдем частные производные первого порядка 3 3 3 2.pdf

1
БИЛЕТ 1
1. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в
n
R
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой).
Открытая окрестность для точки или множества — открытое множество, содержащее данную точку или данное множество.
2. Записать формулу для вычисления частных производных неявной функции
,
z x y , заданной уравнением
, ,
0
F x y z
Если функция
, ,
F x y z
дифференцируема по переменным x,y,z в некоторой пространственной области D и
, ,
0
z
F x y z
, то уравнение
, ,
0
F x y z
определяет однозначную неявную функцию
,
z x y , также дифференцируемую
, ,
, ,
, ,
, ,
y
x
z
z
F x y z
F x y z
z
z
x
F x y z
y
F x y z
3. Сформулировать необходимое условие экстремума ФНП
Если функция
,
f x y дифференцируема в точке
0 0
,
x y и имеет экстремум в этой точке, то ее дифференциал равен нулю:
0 0 0 0 0 0 0
0 0
x
y
f x y
df x y
f
x y
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
3 3
3 5
x
y
z
xyz в точке 2;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
3 3
3 2
2 2
2 2
2
, ,
5 3
5 3 2 5 1 1 12 5 7 3
5 3 1 5 2 1 3 10 7
3 5
3 1 5 2 1 3 10 7
M
M
M
F x y z
x
y
z
xyz
F x
x
yz
F x
F y
y
xz
F y
F z
z
xy
F z
Уравнение касательной плоскости:

2 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
7 2
7 1
7 1
0 7
7 7
0 0
x
y
z
x
y
z
x y z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
2 1
1 7
7 7
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
3 2
4 2
3
z
y
xy
x
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
3 2
2 3
2 2
4 2
3 2
2 0
2 2
0 12 2
0 4
2 3
12 2
0
x
y
z
y
xy x
y
x
y
x
x
z
y
x
y
xy x
y
x
y
Решим данную систему
2 2
1 2
1 2
2 2
0 12 2
0 2
12 0
2 1 6 0
1 0
6 1
0 6
y
x
y
x
y
y
y
y
y
y
x
x
Следовательно, две точки
1 2
1 1 0;0 ,
;
6 6
M
M
2 2
2 2
2 2;
2;
24
z
z
z
A
B
C
y
x
x y
y
Для точки
1 0;0
M
2 2
2 2
2 2;
2;
24 0 0
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
2 0 2 4 0
AC B
не является точкой экстремума

3
Для точки
2 1 1
;
6 6
M
2 2
2 2
2 1
2;
2;
24 4
6
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
2 4 2 8 4 4 0
AC B
и
0
A
точка
2 1 1
;
6 6
M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
1 1
z
x
y
при условии
2 2
1 1
1 4
x
y

4
БИЛЕТ 2
1. Дать определение предельной точки, граничной точки множества и замкнутого множества в
n
R
2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
Для функции двух переменных cos cos
A
A
z
z
z
a
x
y
Для функции трех переменных cos cos cos
A
A
A
u
u
u
u
a
x
y
z
3. Сформулировать достаточное условие экстремума ФНП
Пусть функция нескольких переменных f: R
n
→ R определена в окрестности
U(a) точки a, дважды непрерывно дифференцируема в U(a) и df(a) = 0. Тогда:
1)если квадратичная форма d
2
f(a) в точке a положительно определенная, то в этой точке функция f(x) имеет строгий локальный минимум;
2)если квадратичная форма d
2
f(a) в точке a отрицательно определенная, то в этой точке функция f(x) имеет строгий локальный максимум;
3)если квадратичная форма d
2
f(a) в точке a знакопеременная, то в этой точке функция f(x) не имеет экстремума.
Или
Пусть функция f(x, y) определена в окрестности U(a, b) точки P (a, b), дважды непрерывно дифференцируема в U(a, b) и df(a, b) = 0. Тогда:
1) если A > 0 и AC − B
2
> 0, то в точке P (a, b) функция f(x, y) имеет строгий локальный минимум;
2)если A < 0 и AC − B
2
> 0, то в точке P функция f(x, y) имеет строгий локальный максимум;
3)если AC − B
2
< 0, то функция f(x, y) не имеет в точке P экстремума. где
2 2
2 2
2
;
;
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности ln
x
z
y
z
в точке 1;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:

5
, ,
ln ln ln
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
M
M
M
x
F x y z
y
z
y
x
z z
z
F x
F x
x
F y
F y
F z
F z
z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
1 1
1 1
2 1
0 1
1 2 2 0 2
0
x
y
z
x
y
z
x y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 1
1 1
1 2
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 2
11 16 6
60 44
z
x
xy
y
x
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
2 2
2 2
11 16 6
60 44 22 16 60 0 22 16 60 0 16 12 44 0 11 16 6
60 44 16 12 44 0
x
y
z
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
z
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
y
Решим данную систему
22 16 60 0 11 8
30 16 12 44 0 4
3 11 44 32 120 44 33 121 1
1 2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
Следовательно, одна точка
2; 1
M
2 2
2 2
2 22;
16;
12
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
Для точки
2; 1
M

6 2
2 22 12 16 264 256 8 0
AC B
и
0
A
точка
2; 1
M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
4 9
10
z
x
y
при условии
3 2
xy

7
БИЛЕТ 3
1. Дать определение ограниченного и связного множества в R
n
2. Перечислить основные свойства градиента ФНП
Свойства градиента:
· Градиент направлен по нормали к поверхности z=ƒ(х; у) в точке М
0
· Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания функции и равен по величине мгновенной скорости возрастания функции (то есть производной по этому направлению).
· Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору
, равна нулю.
3. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП
Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию
Лагранжа:
F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)
(параметр
λ
называют множителем
Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
Или составляем функцию Лагранжа:
, ,
,
,
L x y
z x y
x y
Необходимое условие условного экстремума:
, ,
0
, ,
0
, ,
0
x
y
L x y
L x y
L x y
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
0
xz
xy e
в точке
1 5;
;0 5
Решение:

8
Найдем частные производные первого порядка:
5 0 5 0
, ,
1 1
0 5
5 5
5 5
xz
xz
M
M
xz
M
F x y z
xy e
F x
y e
z
F x
e
F y
x
F y
F z
e
x
F z
e
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
1 1
5 5
5 0
0 5
5 1
1 5 1 5 0
5 1
5 5
2 0 5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 5
0 5
1 5
5 5
y
x
z
5. Исследовать на экстремум функцию
3 3
2
z
x
y
xy
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
3 3
2 2
2 3
3 2
2 3
0 3
0 3
0 2
3 0
x
y
z
x
y
xy
x
y
x
y
x
z
y
x
x
y
xy
y
x
y
Решим данную систему

9 2
2 2
2 2
4 3
3 1
2 2
2 1
2 3
0 3
3 0
3 3
0 27 0
27 1
0 0
27 1 0 1
3 1
1 3 0 3
3 3
x
y
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
Следовательно, две точки
1 2
1 1
0;0 ,
;
3 3
M
M
2 2
2 2
2 6 ;
1;
6
z
z
z
A
x B
C
y
x
x y
y
Для точки
1 0;0
M
2 2
2 2
2 6 0 0;
1;
6 0 0
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
0 0 1 1 0
AC B
не является точкой экстремума
Для точки
2 1
1
;
3 3
M
2 2
2 2
2 1
1 6
2;
1;
6 2
3 3
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
2 2
1 4 1 3 0
AC B
и
0
A
точка
2 1
1
;
3 3
M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
x
z e
y при условии
5
y
x
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
, ,
5
x
L x y
e
y
y x
Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точки подозрительные на локальный экстремум:
0 0
1 0
5 1
5 0
x
x
y
L
e
x
L
y
L
y x

10
Находим вторые производные:
;
0;
0
x
xx
xy
yy
L
e
L
L
Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции
Лагранжа
1
Составим матрицу:
0 0
1 1 1
1 0
0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 0
x
y
x
xx
xy
y
xy
yy
L
L
L
L
следовательно, точка (0;5) является точкой условного минимума.

11
БИЛЕТ 4
1. Дать определение предела ФНП по множеству и непрерывной ФНП
2. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
, ,
0
F x y z
в точке
0 0
0
; ;
x y z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
3. Сформулировать достаточное условие условного экстремума
Если в стационарной точке d
2
F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d
2
F<0, то условный максимум, где d
2
F=F′′
xx dx
2
+2F′′
xy dxdy+F′′
yy dy
2
или
Из уравнения связи получаем: φ′
x dx+φ′
y dy=0,
x
y
dy
dx , поэтому в любой стационарной точке имеем:

12 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( (
)
(
)
2 2
)
(
)
2
x
xx
xy
yy
xx
xy
y
x
yy
y
xx
x
y
xy
x
yy
y
y
d F
F
dx
F
dxdy
F
dy
F
dx
F
dx
dx
dx
F
dx
F
F
F
Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:
Красным цветом выделены элементы определителя, который является гессианом функции Лагранжа. Если H>0, то d
2
F<0, что указывает на условный максимум. Аналогично, при H<0 имеем d
2
F>0, т.е. имеем условный минимум функции z=f(x,y).
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
3 2
3 0
z
yz xy
x
в точке 1;0;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
3 2
3 2
2 2
2 2
2
, ,
3 0
3 1 3
2 1 2 1 0 1 3
3 1 0 3
M
M
M
F x y z
z
yz xy
x
F x
y
x
F x
F y
z
xy
F y
F z
z
y
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
3 1
1 0
3 1
0 3
3 3
3 0 3
3 0
x
y
z
x
y
z
x y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 0
1 3
1 3
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
3ln
4ln
z
x
y xy x
y

13
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
3 3
3ln
4 ln
1 0 1 0 4
4 3ln
4 ln
1 0 1 0
x
y
z
x
y xy x y
y
y
x
x
x
z
x
y xy x y
x
x
y
y
y
Решим данную систему
2 2
2 2
1 2
1 2
3 1 0 3
3 1
4 1 0 4
1 0 3
4 1 0 3
4 3
3 0
3 2
3 0,
3 4
2 4 1 3
4 12 16 2 4 2 4 1
3 2
2 3
3 1 2 1
2 1
3
y
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
D b
ac
x
x
y
y
Следовательно, две точки
1 2
1;2 ,
3; 2
M
M
2 2
2 2
2 2
2 3
4
;
1;
z
z
z
A
B
C
x
x
x y
y
y
Для точки
1 1;2
M
2 2
2 2
2 2
2 3
4 3;
1;
1 1
2
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
3 1
1 3 1 2 0
AC B
и
0
A
точка
1 1;2
M
является точкой максимума
Для точки
2 1
1
;
3 3
M
2 2
2 2
2 2
2 3
1 4
;
1;
1 3
3 2
z
z
z
A
B
C
x
x y
y

14 2
2 1
1 2
1 1
1 0
3 3
3
AC B
не является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию z
xy при условии
2 2
6
x
y

15
0>