Файл: Решение Найдем частные производные первого порядка 3 3 3 2.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2023
Просмотров: 32
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
БИЛЕТ 5
1. Дать определение частной производной ФНП в точке
2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции вида
,
,
,
z
f u x y v x y
z
f
u
f
v
x
u
x
v
x
z
f
u
f
v
y
u
y
v
y
16 3. Сформулировать теорему о связи непрерывности и дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
3
z
e
z
xy
в точке 2;1;0
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
0
, ,
3 1
2 1
1 0
z
M
M
z
M
F x y z
e
z xy
F x
y
F x
F y
x
F y
F z
e
F z
e
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
1 2
2 1
0 0
0 2 2 2 0 2
4 0
x
y
z
x
y
x
y
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
2 1
0 1
2 0
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 6
z
y x
x
y
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
17 2
2 6
1 0 1 0 2
2 6
2 6 0 2
6 0
x
y
z
y
y
y x
x y
y
x
x
x
z
y x
x y
y
x
y
x
y
y
Решим данную систему
1 0 2
2
,
0 2
6 0 2 2 6 0 3
6 2
4 2 4 4
y
x
y
x x
x
y
x
x
x
x
x
y
Следовательно, одна точка
4;4
M
Находим частные производные второго порядка
2 2
2 2
2 3
1
;
;
2 2
4
z
y
z
z
A
B
C
x
x y
y
x
x
Для точки
4;4
M
2 2
2 2
2 3
4 1
1 1
;
;
2 8
4 2 4 4 4
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
1 1
1 1
3 2
0 8
4 4 16 16
AC B
и
0
A
точка
4;4
M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 3
2
z
x
y
при условии
2 2
1
x
y
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
2 2
, ,
2 3
2 1
L x y
x
y
x
y
Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точки подозрительные на локальный экстремум:
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2 0
2 2
3 2 0
3 3
0,5 0,5 1 0
x
y
L
x
x
x
L
y
y
y
L
x
y
Получили две точки
Находим вторые производные:
18 2 ;
0;
2
xx
xy
yy
L
L
L
Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции
Лагранжа
0,5
Составим матрицу:
0 0
4 2 3 4
1 0
0 0 0 12 16 0 4 0 2 3 0
1
x
y
x
xx
xy
y
xy
yy
L
L
L
L
следовательно, точка
2; 3 является точкой условного максимума.
0,5
Составим матрицу:
0 0
4 2 3 4
1 0
0 0 0 12 16 0 4 0 2 3 0
1
x
y
x
xx
xy
y
xy
yy
L
L
L
L
следовательно, точка
2;
3 является точкой условного минимума.
19
БИЛЕТ 6
1. Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.
2. Записать формулы для вычисления производной сложной функции вида
,
,
u
f x t y t z t
du
u dx
u dy
u dz
dt
x dt
y dt
z dt
3. Сформулировать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП
Если функция x,
z
f
y дифференцируема в точке М(х,у) то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
2 2
2 3
2 0
x yz
x z
xyz
в точке 1;0; 1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
2 3
2 2
4 3
2 1 0 1
4 1 1
3 0 1
4 3
1 1
3 1 1
2 2
3 1 0 2 1 3 1 0 2
M
M
M
F x y z
x yz
x z
xyz
F x
xyz
xz
yz
F x
F y
x z
xz
F y
F z
x y
x
xy
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
4 1
2 0
2 1
0 4
4 2 2
2 0 4
2 2
6 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 0
1 4
2 2
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 2
2 12 17 2
z
x
xy
y
y
20
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
2 2
2 2
2 12 17 2
4 12 0
4 12 0
12 34 2 0 2
12 17 2
12 34 2 0
x
y
z
x
xy
y
y
x
y
x
y
x
z
x
y
x
xy
y
y
x
y
y
Решим данную систему
4 12 0
12 34 2 0
x
y
x
y
3 0
6 17 1 0 6
18 0
6 17 1 0 1 0 1
3 3
1 3
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
y
Следовательно, одна точка
3; 1
M
2 2
2 2
2 4;
12;
34
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
Для точки
3; 1
M
2 2
4 34 12 136 144 0
AC B
не является точкой экстремума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
4 4
y
z
x
при условии
2
xy
21
БИЛЕТ 7
1. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.
2. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функции
,
z x y , заданной уравнением
, ,
0
F x y z
Если функция
, ,
F x y z дифференцируема по переменным x,y,z в некоторой пространственной области D и
, ,
0
z
F x y z
, то уравнение
, ,
0
F x y z
определяет однозначную неявную функцию
,
z x y , также дифференцируемую
, ,
, ,
, ,
, ,
y
x
z
z
F x y z
F x y z
z
z
x
F x y z
y
F x y z
3. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
4 2
2
z
x
x y xy
x
в точке 1;0;2
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
22 4
2 3
3 2
2
, ,
2 4
4 1
4 1 4 1 0 1 1 4 2
2 1 1 1 1
1
M
M
M
F x y z
x
x y xy x z
F x
x
xy x
F x
F y
x
x
F y
F z
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
4 1
1 0
1 2
0 4
4 2 0 4
2 0
x
y
z
x
y z
x y z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 0
2 4
1 1
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
50 20
, ,
0
z
xy
x y
x
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
2 2
2 2
50 20 50 50 0
0 20 0
50 20 20 0
x
y
z
xy
y
y
x
x
y
x
x
x
z
xy
x
y
y
x
y
y
Решим данную систему
2 2
50 0
20 0
y
x
x
y
23 2
2 2
4 2
2 3
1 3
3 2
2 50 0
50
,
0 20 0
20 20 0
0 2500 50 20 1
0 2500 0
20 1
0 125 5
2500 50 50 2
5 25
y
x
y
x y
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
не удов
x
x
x
y
Следовательно, одна точка
5;2
M
2 2
2 2
3 2
3 100 40
;
1;
z
z
z
A
B
C
x
x
x y
y
y
Для точки
5;2
M
2 2
2 2
3 2
3 100 100 4
40 40 0,8;
1;
5 5
125 5
2 8
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
0,8 5 1 4 1 3 0
AC B
и
0
A
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
z
y x
при условии
2 2
1
y
x
24
БИЛЕТ 8
1. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе.
Второй дифференциал является квадратичной формой от переменных
. Как известно из курса алгебры, квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае имеющая вид
2 2
2 2
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
n
n
n
n
n
z
z
z
x
x x
x x
z
z
z
x x
x
x x
z
z
z
x x
x x
x
где все производные вычислены в рассматриваемой точке и называемая иногда матрицей Гессе.
2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
Для функции двух переменных cos cos
A
A
z
z
z
a
x
y
Для функции трех переменных cos cos cos
A
A
A
u
u
u
u
a
x
y
z
25 3. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
4 3
2 3
3 4
4 4
1 0
x
y z
xyz
xz
в точке 1;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
4 3
2 3
3 2
3 3
2 3
2 2
2 2
3 2
3 2
, ,
3 4
4 4
1 12 4
4 12 1 4 1 1 4 1 12 12 4
12 1 1 4 1 1 8
4 8
12 4 1 8 1 1 1 12 1 1 8
M
M
M
F x y z
x
y z
xyz
xz
F x
x
yz
z
F x
F y
y z
xz
F y
F z
y
xyz
xz
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
12 1
8 1
8 1
0 12 12 8 8 8 8 0 12 8
8 4 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 1
1 12 8
8
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 2
3 6
z
x
xy
y
x
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
26 2
2 2
2 3
6 2
3 0 2
3 0 2
6 0 3
6 2
6 0
x
y
z
x
xy
y
x
y
x y
x y
x
z
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
y
Решим данную систему
2 3 0 2
6 0 4
2 6
2 6
3 0
0 3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
Следовательно, одна точка
0;3
M
2 2
2 2
2 2;
1;
2
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
2 2 1 4 1 3 0
AC B
и
0
A
точка
0;3
M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
z
x
y при условии
2 2
2 4
x
y
27
Билет 9
1. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по направлению
Градиентом функции называется вектор
Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:
Производная по направлению.
Пусть задана функция двух переменных и произвольный вектор
Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного вектора т.е. вектор коллинеарный по отношению к вектору . Длина приращения аргумента
Производной по некоторому направлению называется предел отношения приращения функции вдоль данного направления на длину приращения аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.
2. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
, ,
0
F x y z
в точке
0 0
0
; ;
x y z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
3. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования
28 4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
2 2
2 2
3 2
16 0
x
y
z
xy
yz
xz
в точке 1;2;3
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
2 2
2
, ,
2 3
2 16 2
2 2 1 2 2 3 2
4 4 2 1 3 12 6
2 6 3 2 2 1 18
M
M
M
F x y z
x
y
z
xy
yz
xz
F x
x y
z
F x
F y
y x z
F y
F z
z
y
x
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
2 1
12 2
18 3
0 2
2 12 24 18 54 0 2
12 18 32 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 2
3 2
12 18
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
3 2
2 3
2 4
z
x
y
x
y
1. Дать определение частной производной ФНП в точке
2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции вида
,
,
,
z
f u x y v x y
z
f
u
f
v
x
u
x
v
x
z
f
u
f
v
y
u
y
v
y
16 3. Сформулировать теорему о связи непрерывности и дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
3
z
e
z
xy
в точке 2;1;0
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
0
, ,
3 1
2 1
1 0
z
M
M
z
M
F x y z
e
z xy
F x
y
F x
F y
x
F y
F z
e
F z
e
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
1 2
2 1
0 0
0 2 2 2 0 2
4 0
x
y
z
x
y
x
y
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
2 1
0 1
2 0
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 6
z
y x
x
y
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
17 2
2 6
1 0 1 0 2
2 6
2 6 0 2
6 0
x
y
z
y
y
y x
x y
y
x
x
x
z
y x
x y
y
x
y
x
y
y
Решим данную систему
1 0 2
2
,
0 2
6 0 2 2 6 0 3
6 2
4 2 4 4
y
x
y
x x
x
y
x
x
x
x
x
y
Следовательно, одна точка
4;4
M
Находим частные производные второго порядка
2 2
2 2
2 3
1
;
;
2 2
4
z
y
z
z
A
B
C
x
x y
y
x
x
Для точки
4;4
M
2 2
2 2
2 3
4 1
1 1
;
;
2 8
4 2 4 4 4
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
1 1
1 1
3 2
0 8
4 4 16 16
AC B
и
0
A
точка
4;4
M
является точкой максимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 3
2
z
x
y
при условии
2 2
1
x
y
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
2 2
, ,
2 3
2 1
L x y
x
y
x
y
Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точки подозрительные на локальный экстремум:
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2 0
2 2
3 2 0
3 3
0,5 0,5 1 0
x
y
L
x
x
x
L
y
y
y
L
x
y
Получили две точки
Находим вторые производные:
18 2 ;
0;
2
xx
xy
yy
L
L
L
Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции
Лагранжа
0,5
Составим матрицу:
0 0
4 2 3 4
1 0
0 0 0 12 16 0 4 0 2 3 0
1
x
y
x
xx
xy
y
xy
yy
L
L
L
L
следовательно, точка
2; 3 является точкой условного максимума.
0,5
Составим матрицу:
0 0
4 2 3 4
1 0
0 0 0 12 16 0 4 0 2 3 0
1
x
y
x
xx
xy
y
xy
yy
L
L
L
L
следовательно, точка
2;
3 является точкой условного минимума.
19
БИЛЕТ 6
1. Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.
2. Записать формулы для вычисления производной сложной функции вида
,
,
u
f x t y t z t
du
u dx
u dy
u dz
dt
x dt
y dt
z dt
3. Сформулировать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП
Если функция x,
z
f
y дифференцируема в точке М(х,у) то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
2 2
2 3
2 0
x yz
x z
xyz
в точке 1;0; 1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
2 2
2 2
2 2
2 2
, ,
2 3
2 2
4 3
2 1 0 1
4 1 1
3 0 1
4 3
1 1
3 1 1
2 2
3 1 0 2 1 3 1 0 2
M
M
M
F x y z
x yz
x z
xyz
F x
xyz
xz
yz
F x
F y
x z
xz
F y
F z
x y
x
xy
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
4 1
2 0
2 1
0 4
4 2 2
2 0 4
2 2
6 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 0
1 4
2 2
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 2
2 12 17 2
z
x
xy
y
y
20
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
2 2
2 2
2 12 17 2
4 12 0
4 12 0
12 34 2 0 2
12 17 2
12 34 2 0
x
y
z
x
xy
y
y
x
y
x
y
x
z
x
y
x
xy
y
y
x
y
y
Решим данную систему
4 12 0
12 34 2 0
x
y
x
y
3 0
6 17 1 0 6
18 0
6 17 1 0 1 0 1
3 3
1 3
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
y
Следовательно, одна точка
3; 1
M
2 2
2 2
2 4;
12;
34
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
Для точки
3; 1
M
2 2
4 34 12 136 144 0
AC B
не является точкой экстремума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
4 4
y
z
x
при условии
2
xy
21
БИЛЕТ 7
1. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.
2. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функции
,
z x y , заданной уравнением
, ,
0
F x y z
Если функция
, ,
F x y z дифференцируема по переменным x,y,z в некоторой пространственной области D и
, ,
0
z
F x y z
, то уравнение
, ,
0
F x y z
определяет однозначную неявную функцию
,
z x y , также дифференцируемую
, ,
, ,
, ,
, ,
y
x
z
z
F x y z
F x y z
z
z
x
F x y z
y
F x y z
3. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
4 2
2
z
x
x y xy
x
в точке 1;0;2
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
22 4
2 3
3 2
2
, ,
2 4
4 1
4 1 4 1 0 1 1 4 2
2 1 1 1 1
1
M
M
M
F x y z
x
x y xy x z
F x
x
xy x
F x
F y
x
x
F y
F z
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
4 1
1 0
1 2
0 4
4 2 0 4
2 0
x
y
z
x
y z
x y z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 0
2 4
1 1
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
50 20
, ,
0
z
xy
x y
x
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
2 2
2 2
50 20 50 50 0
0 20 0
50 20 20 0
x
y
z
xy
y
y
x
x
y
x
x
x
z
xy
x
y
y
x
y
y
Решим данную систему
2 2
50 0
20 0
y
x
x
y
23 2
2 2
4 2
2 3
1 3
3 2
2 50 0
50
,
0 20 0
20 20 0
0 2500 50 20 1
0 2500 0
20 1
0 125 5
2500 50 50 2
5 25
y
x
y
x y
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
не удов
x
x
x
y
Следовательно, одна точка
5;2
M
2 2
2 2
3 2
3 100 40
;
1;
z
z
z
A
B
C
x
x
x y
y
y
Для точки
5;2
M
2 2
2 2
3 2
3 100 100 4
40 40 0,8;
1;
5 5
125 5
2 8
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
0,8 5 1 4 1 3 0
AC B
и
0
A
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
z
y x
при условии
2 2
1
y
x
24
БИЛЕТ 8
1. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе.
Второй дифференциал является квадратичной формой от переменных
. Как известно из курса алгебры, квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае имеющая вид
2 2
2 2
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
n
n
n
n
n
z
z
z
x
x x
x x
z
z
z
x x
x
x x
z
z
z
x x
x x
x
где все производные вычислены в рассматриваемой точке и называемая иногда матрицей Гессе.
2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
Для функции двух переменных cos cos
A
A
z
z
z
a
x
y
Для функции трех переменных cos cos cos
A
A
A
u
u
u
u
a
x
y
z
25 3. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП
4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
4 3
2 3
3 4
4 4
1 0
x
y z
xyz
xz
в точке 1;1;1
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
4 3
2 3
3 2
3 3
2 3
2 2
2 2
3 2
3 2
, ,
3 4
4 4
1 12 4
4 12 1 4 1 1 4 1 12 12 4
12 1 1 4 1 1 8
4 8
12 4 1 8 1 1 1 12 1 1 8
M
M
M
F x y z
x
y z
xyz
xz
F x
x
yz
z
F x
F y
y z
xz
F y
F z
y
xyz
xz
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
12 1
8 1
8 1
0 12 12 8 8 8 8 0 12 8
8 4 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 1
1 12 8
8
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
2 2
3 6
z
x
xy
y
x
y
Решение:
Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условием существования экстремума
26 2
2 2
2 3
6 2
3 0 2
3 0 2
6 0 3
6 2
6 0
x
y
z
x
xy
y
x
y
x y
x y
x
z
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
y
Решим данную систему
2 3 0 2
6 0 4
2 6
2 6
3 0
0 3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
Следовательно, одна точка
0;3
M
2 2
2 2
2 2;
1;
2
z
z
z
A
B
C
x
x y
y
2 2
2 2 1 4 1 3 0
AC B
и
0
A
точка
0;3
M
является точкой минимума
6. Исследовать на экстремум функцию
2 2
z
x
y при условии
2 2
2 4
x
y
27
Билет 9
1. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по направлению
Градиентом функции называется вектор
Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:
Производная по направлению.
Пусть задана функция двух переменных и произвольный вектор
Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного вектора т.е. вектор коллинеарный по отношению к вектору . Длина приращения аргумента
Производной по некоторому направлению называется предел отношения приращения функции вдоль данного направления на длину приращения аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.
2. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
, ,
0
F x y z
в точке
0 0
0
; ;
x y z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
3. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования
28 4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
2 2
2 2
3 2
16 0
x
y
z
xy
yz
xz
в точке 1;2;3
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
2 2
2
, ,
2 3
2 16 2
2 2 1 2 2 3 2
4 4 2 1 3 12 6
2 6 3 2 2 1 18
M
M
M
F x y z
x
y
z
xy
yz
xz
F x
x y
z
F x
F y
y x z
F y
F z
z
y
x
F z
Уравнение касательной плоскости:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
0
x
y
z
x y z
x y z
x y z
F
x x
F
y y
F
z z
2 1
12 2
18 3
0 2
2 12 24 18 54 0 2
12 18 32 0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Уравнение нормали:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(
;
; )
(
;
; )
(
;
; )
x
z
y
x y z
x y z
x y z
x x
y y
z z
F
F
F
1 2
3 2
12 18
x
y
z
5. Исследовать на экстремум функцию
3 2
2 3
2 4
z
x
y
x
y
1 2 3