Файл: Контрольная работа 1. Вариант Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры.docx

Скачать файл (0,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.11.2023

Просмотров: 70

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Контрольная работа №1. Вариант 9.

Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры.

1.9 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

, . Сделать чертеж.

Решение

(ед³)

2.9. Даны уравнения двух медиан треугольника х-2у+1=0 и у-1=0 и одна из его вершин А(1;3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

Решение.

Пусть т.В имеет координаты (х₁;у₁), т.к. точка К по условию есть середина отрезка АВ, то ее координаты равны

и удовлетворяют уравнению х-2у+1=0, то

. Кроме того координаты точки В(х₁;у₁) удовлетворяют уравнению у-1=0, получаем систему линейных алгебраических уравнений

, т. В(5;1)

Аналогично найдем координаты точки С(х₂;у₂). Пусть N – середина отрезка АС, тогда координаты точки находятся по формулам

т. С(-3,-1).

Если даны две точки (х₁,у₁) и (х₂,у₂) , то уравнение линии, проходящей через эти точки вычисляется по формуле :

Уравнение АВ:

или

или х+2у-7=0 (АВ)

Уравнение ВС:

или

или х-4у-1=0 (ВС)

Уравнение АС:

или

или х-у+2=0 (АС)

Ответ: х-у+2=0 (АС), х-4у-1=0 (ВС), х+2у-7=0 (АВ)

3.9. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса. Сделать проверку.

Решение.

1) Метод Крамера. Если

¹0, то систему можно решить по формулам Крамера:

х₁=

, х₂=

, ..., х_n=

, – где D=

, а D_k – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

Тогда решение системы находим по формулам:

x₁ =

= 0; x₂ =

= 2; x₃ =

=1

2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [умножаем первую строчку на -3 и складываем со второй, умножаем первую на -2 и складываем с третьей] =

= умножаем вторую строку на

и складываем с третьей] =

Получаем систему:

Получаем х=0, у=2, z=1.

Проверка: Подставим полученные значения переменных в исходную систему уравнений:

Получаем верные равенства

Ответ: х=0, у=2, z=1

Введение в математический анализ. Производная и ее приложения.

4.9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

а)

б)

в)

г) использовали второй замечательный предел

Ответ:

а)

б)

в)

г)

5.9. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

Решение.

Данная функция определена для всех значений х

и на каждом из участков задания (-∞,0), (0,1), (1, +∞) является элементарной и, следовательно, непрерывной. Непрерывность функции может нарушиться лишь в точках, где изменяется ее аналитическое значение, то есть в точках х=0 и х=1.

Исследуем эти точки на непрерывность, находя односторонние пределы:

При х=0

Так как в точке х=0 односторонние пределы – конечные числа, но не равны между собой, то х=0 – точка разрыва 1-го рода.

При х=1

в точке х=1 f(1-0)=f(1+0)=f(1), значит х=1 точка непрерывности функции.

Построим схематический график.

у=х²+1

у=-2х

у=2
О твет: х=0 – точка разрыва 1-го рода.

6.9. Методами дифференциального исчисления:

А) исследовать функцию для и по результатам исследования построить ее график;

Б) найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [-2;2].

Решение.