Контрольная работа №1. Вариант 9.Элементы векторной алгебры аналитической геометрии и линейной алгебры.1.9 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:, . Сделать чертеж.Решение (ед³)2.9. Даны уравнения двух медиан треугольника х-2у+1=0 и у-1=0 и одна из его вершин А(1;3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.Решение.Пусть т.В имеет координаты (х₁;у₁), т.к. точка К по условию есть середина отрезка АВ, то ее координаты равны и удовлетворяют уравнению х-2у+1=0, то . Кроме того координаты точки В(х₁;у₁) удовлетворяют уравнению у-1=0, получаем систему линейных алгебраических уравнений , т. В(5;1)Аналогично найдем координаты точки С(х₂;у₂). Пусть N – середина отрезка АС, тогда координаты точки находятся по формулам , т. С(-3,-1).Если даны две точки (х₁,у₁) и (х₂,у₂) , то уравнение линии, проходящей через эти точки вычисляется по формуле : Уравнение АВ: или или х+2у-7=0 (АВ)Уравнение ВС:

---

или или х-4у-1=0 (ВС)

Уравнение АС: или или х-у+2=0 (АС)



Ответ: х-у+2=0 (АС), х-4у-1=0 (ВС), х+2у-7=0 (АВ)

3.9. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса. Сделать проверку.



Решение.

1) Метод Крамера. Если ¹0, то систему можно решить по формулам Крамера:

х₁ = , х₂ = , ..., х_n = , – где D= , а D_k – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:



Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.







Тогда решение системы находим по формулам:

x₁ = = 0; x₂ = = 2; x₃ = =1

2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [умножаем первую строчку на -3 и складываем со второй, умножаем первую на -2 и складываем с третьей] =

---

= умножаем вторую строку на и складываем с третьей] = Получаем систему:Получаем х=0, у=2, z=1.Проверка: Подставим полученные значения переменных в исходную систему уравнений: Получаем верные равенстваОтвет: х=0, у=2, z=1Введение в математический анализ. Производная и ее приложения.4.9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.Решение:а)б)в) г) использовали второй замечательный пределОтвет:а) б) в) г) 5.9. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.Решение.Данная функция определена для всех значений х и на каждом из участков задания (-∞,0), (0,1), (1, +∞) является элементарной и, следовательно, непрерывной. Непрерывность функции может нарушиться лишь в точках, где изменяется ее аналитическое значение, то есть в точках х=0 и х=1.

---

Исследуем эти точки на непрерывность, находя односторонние пределы:

При х=0Так как в точке х=0 односторонние пределы – конечные числа, но не равны между собой, то х=0 – точка разрыва 1-го рода.При х=1в точке х=1 f(1-0)=f(1+0)=f(1), значит х=1 точка непрерывности функции.Построим схематический график. у=х²+1 у=-2х у=2О твет: х=0 – точка разрыва 1-го рода. 6.9. Методами дифференциального исчисления:А) исследовать функцию для и по результатам исследования построить ее график;Б) найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [-2;2].Решение.

1. 
   Область определения функции функция непрерывна
   
2. 
   Точки пересечения с осями координат:
   

---

Ох: при , получаем точку О(0;0) Оу: х=0 y=0 т.(0; 0) – точка пересечения.

3. 
   Функция является нечетной, т.к.
   

4. 
   Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную
   

Находим критические точки при х=

х	(-∞; )		( ; )		( ;+∞)
	−	0	+	0	−
у		min		max

5. 
   Выпуклость и точки перегиба. Вычислим вторую производную
   

Найдем точки перегиба при х=0 и х=

х	(-∞; )		( ;0)	0	( ; )		( ;+∞)
	-	0	+	0	-	0	+
у	выпукла	0	вогнута	0	выпукла	0	вогнута

---

Смотрите также файлы

• Конкурс подчеркивает роль дизайниндустрии как драйвера развития инновационных, высокотехнологичных и производственных проектов, демонстрирует связь исследований,.pdf

• .docx

• Роль формальных и неформальных отношений в управлении персоналом оао.pdf

• Как поддерживать оптимальные температурные режимы при экструзии полимерных материалов с большим диссипативным тепловыделением Какие меры необходимо осуществить при изготовлении изделий на экструдерах с диаметром шнека больше 120мм,.docx

• Сопроводительное письмо. Чащина Полина Викторовна.docx