МинистерствонаукиивысшегообразованияРоссийскойФедерацииФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образованияАМУРСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ(ФГБОУВО«АмГУ»)ФакультетМатематикииинформатикиКафедраИнформационныхиуправляющихсистемНаправлениеподготовки09.03.01«Информатика и вычислительная техника»ЛАБОРАТОРНАЯРАБОТА№1Тема:МетодпространствасостоянийНомерварианта:5

Исполнитель Студент группы 053-об (подпись, дата)		А.Е. Калинин
Руководитель профессор, д.т.н. (подпись, дата)		Е. Л. Еремин

Благовещенск2023Цель: изучение понятия пространства состояния и способа прямогопрограммирования.Выполнениеработы:

1. В соответствии с вариантами заданий, с помощью прямого преобразования Лапласа запишите передаточную функцию соответствующего дифференциального уравнения.

Всоответствиисвариантомпредставленыследующиеисходныеданные:????₁=1 и????₂=2.3 k=1.Рассматриваемоедифференциальноеуравнениеимеетследующий вид:ПользуясьпрямымпреобразованиемЛапласа,приведемДУкследующему виду:Применималгебраическиепреобразования:

---

2. На основании полученного в п.1 результата, используя метод прямого программирования, представьте ее математическое описание исследу емой функции в векторно-матричном виде, записав при этом все необходи мые числовые значения матриц и векторов.

Переведемуравнение ввекторно-матричнуюформуметодомпрямогопрограммирования:

1. 
   Разделим числитель и знаменатель функции W(s)на слагаемое с максимальной степенью sв знаменателе (в данном случае – это ????₁????³), в результате получим уравнение:
   

2) Введем в рассмотрение дополнительное обозначение3) перепишем последнее уравнение эквивалентным образом4) запишем уравнение5) введем в рассмотрение изображения переменных состояния и запишем уравнения:6) в результате, объединяя полученные уравнения, находим:в векторно-матричной форме записи, имеющие следующий вид:Подставим значения T₁=1 T₂=2.3.

3. Используя программную среду MATLAB, задайте передаточную функцию, полученную в п.1, путем ввода ее числителя и знаменателя; получите векторно-матричное описание передаточной функции с помощью встроенного оператора MATLAB tf2ss.

---

Построим листинг файла, вычисляющего параметры векторно-матричнойформызаписи:T1=1; T2=2.3;n=[1 0 0];d=[T1 T2 0 1];[A,B,C,D]=tf2ss(n,d)Результат работы представлен на рисунке 1.Рисунок 1 – Результат работы файла

4. Сравните числовые значения матриц и векторов передаточной функции, полученные аналитическим и программным способом.

Какможноувидеть,значениявекторовиматрицпередаточнойфункции,полученныханалитическим способом:ипрограммнымспособом(рис.1)имеютодинаковыечисловыезначения,однако этизначениякакбы«отзеркалены»повертикали.Т.е.третьястрокаматрицы A, полученная аналитически, соответствует первой строки матрицы A,полученнойвMatlab.Иприэтомзначенияпостолбцамзаписанызадомнаперед.Т.е., например, та же строка, полученная аналитически выглядит так: -1, 0, -2.3.АвMatlabэтастрока выглядитиначе:-2.3,0,-1.

5. 
   Используя преобразование Лапласа, получите вторую стандартную форму записи в векторно-матричном виде.
   

Определим уравнениеОпределим векторно-матричный аналог второй формы записи.Выполним ряд преобразований над уравнением системыгде ???? – единичная матрица соответствующего размера.Подставим полученное выражение во второе уравнение системы, и получим выражение передаточной функции в векторно-матричной форме:

---

где (???????? − ????) равно:Тогда (???????? − ????)⁺ – присоединенная матрица и ????????????(???????? − ????) – определитель матрицы будут равны:????????????(???????? − ????) = s³+4????² + 2Тогда будет равна:В этом случае передаточная функция ????(????) будет равна:

6. 
   Подставьте числовые значения матриц в выражение, полученное в п.5 и получите выражение передаточной функции. Сравните результат с передаточной функцией из п.1.
   

Передаточная функция, полученная из предыдущего пункта, с подставленными числовыми значениями выглядит следующим образом:Передаточная функция, полученная в пункте 1, выглядит следующим образом:Где ????1=1 и ????2=2.3.Разница в коэффициентах отличается в 2 раза, так как числитель и знаменатель были разделены на Т₂.

7. 
   С помощью оператора MATLAB ss2tf переведите полученное в п.3 векторно-матричное описание исследуемой функции в эквивалентную запись в виде числителя и знаменателя передаточной функции.
   

T1=1; T2=2.3;n=[1 0 0];d=[T1 T2 1];[A,B,C,D]=tf2ss(n,d);pause;[nn,dd]=ss2tf(A,B,C,D);Результат выполнения программы представлен на рисунке 2.Рисунок 2 - Числитель и знаменатель передаточной функции

8. 
   Сравните полученный результат с результатами, полученными в п.1 и п.6.
   

Результат полностью совпадает с передаточной функцией из п.6 и равен передаточной функции из п.1, в которой и числитель и знаменатель были бы разделены на ????1. В результате лабораторной работы было получено векторноматричное описание САУ. Произведен сравнительный анализ данный полученных аналитическим путем и расчётов в математическом пакете MATLAB.

---

Контрольные вопросы

1. 
   Раскройте сущность понятия «пространство состояний». Пространство состояний – это метрическое пространство, каждый элемент которого полностью определяет состояние рассматриваемой динамической системы (процесса) в каждый конкретный момент времени. Пространство состояний применяется при описании замкнутых систем, которые не взаимодействуют с другими системами и внешней средой, так и для описания систем, в которых имеет место указанное взаимодействие.
   
2. 
   Перечислите известные типовые формы записи математического описания САУ. Приведите примеры. В первой форме записи выходная переменная y(t) и все ее производные записываются в левой части ДУ, причем сама выходная переменная y(t) должна входить в уравнение с коэффициентом, равным 1. Все входные переменные и их производные записываются в правой части уравнения. Пример дифференциального уравнения третьего порядка
   

где T₁, T₂, k – некоторые постоянные коэффициенты; y(t)∈R 2 – выходной сигнал объекта; u(t)∈R – скалярный вход объекта. Вторая форма записи опирается на использование интегральных преобразований Лапласа с применением аппарата передаточных функций. Прямое преобразование Лапласа служит для преобразования функции действительной переменной t (оригинал) в функцию комплексной переменной s (изображение). Если применить преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, приведенному выше, можно получить следующее уравнение

3. 
   Дайте строгое определение передаточной функции. Передаточная функция – результат отношения выходного сигнала к входному сигналу, записанный в форме преобразований Лапласа при нулевых начальных условиях. Знаменателем передаточной функции называют характеристическим уравнением.
   
4. 
   Преобразование Лапласа. Изображение производной. Прямое преобразование Лапласа служит для преобразования функции действительной переменной t (оригинал) в функцию комплексной переменной s (изображение).
   

---

Смотрите также файлы

• Основы сердечнолегочной реанимации.doc

• Лазерная связь новый экономичный способ передачи информации.doc

• Образовательная программа (2) Показатель Основная образовательная программа доо.pdf

• Лазерная связь новый экономичный способ передачи информации.doc

• Зал іші мерекеге сай безендірілген. 1жргізуші.docx