Файл: Лекция Кольца. Поля.pdf

Лекция 2. Кольца. Поля.
Кольцо – непустое множество K с двумя бинарными алгебраическими операциями + (сложение) и ⋅
(умножение), такими, что:
1) K является абелевой группой относительно операции сложения +;
2) операция умножения ассоциативна, т. е.
(a
⋅b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) для всех a, b, c∈K;
3) операции умножения и сложения связаны законами дистрибутивности (умножение дистрибутивно по сложению): для произвольных a, b, c∈K
(a + b)
⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c
⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅b.
В этом случае структура (K,+) называется аддитивной группой кольца, а (K,⋅) – его мультипликативной
полугруппой.
Условимся нейтральный элемент аддитивной группы кольца называть нулем и обозначать символом 0;
противоположный к элементу а элемент обычно обозначают через −a; вместо a + (−b) пишут a −b. Знак ⋅ операции умножения при записи произведений элементов кольца будем, как правило, опускать.
Иногда множество, удовлетворяющее всем трем условиям определения, называют ассоциативным кольцом.
Под неассоциативным кольцом понимается множество, в котором выполняются условия 1) и 3), но не выполняется условие 2) ассоциативности умножения.

Пример. 1) (Z,+,⋅) – кольцо целых чисел.
2) (Z
m
,+,
⋅) – кольцо классов вычетов по модулю m > 1.
3) Множество всех вещественных функций, определенных на данном интервале (a; b) числовой оси с обычными операциями сложеия и умножения функций.
4) Кольцо полиномов R[x] с вещественными коэффициентами от переменной x с естественными операциями сложения и умножения.
5) Множество всех квадратных матриц данного порядка n с элементами из Z, Q, R или C с операциями матричного сложения и умножения.
6) Множество векторов (V
3
,+, ×) c операциями сложения и векторного умножения представляет собой
неассоциативное кольцо, поскольку
Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна, т. е. ab = ba для всех a, b
∈K.
Кольцо K называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т. е. такой элемент e, что ea = ae = a для каждого a∈K.
Пример. Все кольца из предыдущего примера являются коммутативными кольцами с единицей.
Множество квадратных матриц данного порядка представляет собой пример некоммутативного кольца с единицей.
Примером коммутативного кольца без единицы является при m > 1 кольцо mZ ={ma : a∈Z} – множество целых чисел, кратных m.
Если в кольце K найдутся ненулевые элементы a и b такие, что ab = 0, то их называют делителями нуля.
Пример. 1) Кольца чисел (Z,Q, R,C) – кольца без делителей нуля.
2) В кольце классов вычетов Z
m с m = pq классы p и q являются делителями нуля.
3) В кольце матриц M
3
(R) примерами делителей нуля являются матрицы
, так как AB =O.
4) В кольце (V
3
, +, ×) каждый отличный от нуля элемент является делителем нуля:

Свойства колец
1. В любом кольце K уравнение a + x = b имеет единственное решение для любых a, b∈K: x = b + (−a).
2. Умножение в кольце дистрибутивно относительно вычитания: для произвольных a, b, c∈K
(a − b)c = ac − bc; c(a − b) = ca − cb.
3. a
⋅0 = 0⋅ a = 0 для любого a∈K.
4. Правила знаков: a(−b) = (−a)b = −ab; (−a)(−b) = ab.
5. Если K – кольцо с единицей, содержащее более одного элемента, то в нем e ≠ 0 (единичный элемент не равен нулю).
6. В кольце с единицей делители нуля не обратимы.
Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется целостным (или кольцом целостности, или областью целостности).
Пример. Примерами целостных колец являются:
1) кольца чисел (Z,Q, R,C);
2) кольцо классов вычетов Z
p по простому модулю.
Теорема (критерий целостности кольца). Нетривиальное коммутативное кольцо K с единицей является целостным тогда и только тогда, когда в нем выполняется правило сокращения: если a, b, c∈K, a ≠ 0, то из равенства ab = ac следует, что b = c.
Теорема. Если K – кольцо с единицей, то множество K* обратимых относительно умножения элементов кольца
K есть группа относительно умножения.
Множество K* обратимых относительно умножения элементов кольца K называют мультипликативной
группой кольца K.

Пример. 1) В кольце целых чисел Z обратимы относительно умножения только два числа: 1 и −1, поэтому Z*
={±1}.
2) Q* =Q\{0}, R* = R\{0},C* =C\{0}.
3) В кольце M
n
(R) квадратных матриц порядка n обратимы только матрицы с ненулевым определителем, поэтому M
n
(R)* =GL
n
(R).
4) В кольце Z
m множество Z*
m обратимых классов вычетов содержит классы вычетов, взаимно простых с модулем, т. е.
Понятие поля
Поле – коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Пример. 1) Q – поле рациональных чисел; R – поле вещественных чисел; C – поле комплексных чисел c естественными операциями сложения и умножения.
2) Множество классов вычетов Z
m является полем тогда и только тогда, когда m = p – простое число. При этом Z
p
– конечное поле из p элементов.
Свойства полей
1. Для полей справедливы все свойства колец.
2. В поле нет делителей нуля.
3. Уравнение ax = b, b∈P, a∈ P*, имеет единственное решение x = a
−1
b.
4. Мультипликативная группа поля содержит все его ненулевые элементы: Р * = Р \{0}.
5. Если (P,+,⋅) – поле, то (P,+) – аддитивная абелева группа, (P*,⋅) – мультипликативная абелева группа.
(Здесь P* = P \{0}.)

Подкольца. Подполя
Подмножество R кольца K называется подкольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно имеющихся в K операций сложения и умножения и само является кольцом относительно этих операций.
Теорема (критерий подкольца). Непустое подмножество R кольца K является подкольцом тогда и только тогда, когда для произвольных a, b∈R элементы a −b∈R и ab∈R.
Пример. 1) R = {0}, R = K – тривиальные (несобственные) подкольца любого кольца K.
2) Кольцо целых чисел Z– подкольцо кольца Q рациональных чисел; Q – подкольцо кольца R вещественных чисел; R – подкольцо кольца C комплексных чисел. (Все эти кольца коммутативны.)
3) M
n
(Z)
⊂M
n
(Q)
⊂M
n
(R)
⊂M
n
(C). (При n > 1 все эти кольца некоммутативны.)
4) Кольцо mZ целых чисел, кратных m, – подкольцо кольца Z целых чисел, причем mZ – это кольцо без единицы (при m > 1), хотя само кольцо Z с единицей.
5) Матричное кольцо M
2
(R) содержит подкольцо матриц
, которое, в свою очередь, содержит подкольцо скалярных матриц
. Это коммутативные подкольца некоммутативного кольца
M
2
(R).
Подмножество F поля P называется подполем поля P, если оно замкнуто относительно имеющихся операций сложения и умножения и само является полем относительно этих операций. При этом поле P называют расширением поля F.
Пример. Поле рациональных чисел Q является подполем поля вещественных чисел R, которое, в свою очередь, является подполем поля комплексных чисел C.

Идеалы колец
В теории колец наибольшее значение имеют подкольца-идеалы.
Пусть J ⊂ K – подкольцо кольца K. Обозначим
JK = { jk : j
∈J , k ∈K}; KJ = {kj : j∈J , k ∈K}.
Подкольцо J кольца K называется левым идеалом кольца K, если JK ⊆ J. Подкольцо J кольца K называется
правым идеалом кольца K, если KJ ⊆ J. Двусторонний идеал – идеал, являющийся одновременно и левым, и правым.
Ясно, что в коммутативном кольце все идеалы – двусторонние.
Пример. 1) {0}, K – тривиальные (несобственные) двусторонние идеалы любого кольца K.
2) Множество целых чисел Z является подкольцом поля рациональных чисел Q, но не является идеалом.
3) Кольцо mZ целых чисел, кратных m, – двусторонний идеал кольца целых чисел Z для всякого натурального m.
Очевидно, что
2Z
⊃ 4Z ⊃8Z ⊃16Z ⊃...;
2Z
⊃ 6Z ⊃12Z ⊃....
4) В кольце Z
m c m = pq, p > 1, q > 1, множество классов вычетов Jp = {p; 2 p; ...; (q −1) p; 0} замкнуто относительно операций сложения и умножения классов вычетов и, следовательно, образует подкольцо. Легко видеть, что Jp – идеал.
5) В матричном кольце M
2
(R) множества являются подкольцами, причем J
1
и J
2
являются правыми идеалами в кольце M
2
(R), но не являются левыми, а J
3
и J
4
являются левыми и не являются правыми идеалами в кольце M
2
(R).

Для каждого элемента a кольца K множества aK = {ak : k
∈K} и Ka = {ka : k ∈K} являются соответственно левым и правым идеалами кольца К.
Пусть K – коммутативное кольцо. Множество aK = {ak : k ∈K} называется главным идеалом, порожденным
элементом a.
Если кольцо K не коммутативно, то понятие главного идеала превращается в понятие главного левого идеала. Аналогично, в случае некоммутативного кольца вводится понятие главного правого идеала.
Кольцо, в котором каждый идеал главный, называется кольцом главных идеалов.
Теорема. Z – кольцо главных идеалов, т. е. в кольце Z всякий идеал J – главный.
На множестве идеалов каждого кольца существует отношение частичного порядка по отношению включения их друг в друга как множеств. В связи с этим вводится понятие максимального идеала.
Собственный (т. е. нетривиальный) идеал M (левый, правый, двусторонний) кольца K называется
максимальным, если он не является подмножеством никакого другого собственного идеала кольца K.
Теорема. В кольце целых чисел Z идеал J максимален тогда и только тогда, когда J = pZ для некоторого простого числа p.
В кольце целых чисел Z все идеалы главные, причем (−m)Z = mZ – множество целых чисел, кратных числу m.