Файл: Содержание Введение 3 Зарождение линейной алгебры 4 Становление линейной алгебры 4 Развитие линейной алгебры 6 Заключение 12 Список литературы 13 Введение.docx
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 31
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Содержание
Введение 3
Зарождение линейной алгебры 4
Становление линейной алгебры 4
Развитие линейной алгебры 6
Заключение 12
Список литературы 13
Введение
Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторные пространства и их подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на векторных пространствах.
Исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений. В связи с решением систем линейных уравнений возникло понятие определителя. В 1750 году были получены формулы Крамера для решения системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 году был предложен метод Гаусса, который используется с различными изменениями для практических вычислений систем линейных уравнений.
В связи с изучением систем линейных уравнений и определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы, предложенное Г. Фробениусом в 1877 году, позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой системы. Тем самым в конце XIX века было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.
Если в XVIII и XIX веках основное содержание линейной алгебры составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в XX веке центральное положение в линейной алгебре занимают понятия векторного пространства и связанные с ним понятия линейного отображения, линейной, билинейной и полилинейной функции на векторном пространстве.
1.Зарождение линейной алгебры
Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей, и естественно привело к появлению теории векторных пространств.
Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов
, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).
2.Становление линейной алгебры
Методы, сформировавшие линейную алгебру как самостоятельную отрасль математики, уходят корнями в другие разделы. Ферма в 1630-е годы, создав классификацию плоских кривых, ввёл в математику (ключевой для линейной алгебры) принцип размерности и разделил задачи аналитической геометрии по числу неизвестных (с одним неизвестным - отыскание точки, с двумя - кривой или геометрического места на плоскости, с тремя - поверхности). Эйлер создал классификацию кривых по порядкам обратив внимание на линейный характер преобразований координат, ввёл в оборот понятие аффинного преобразования (и само слово «аффинность»).
Первое введение понятия определителя для целей решения систем линейных уравнений относят к Лейбницу (1678 или 1693 год), но эти работы не были опубликованы. Также определитель обнаруживается в трудах Сэки Такакадзу 1683 года, в которых он обобщил метод решения систем линейных уравнений из древнекитайской «Математики в девяти книгах» до уравнений с неизвестными. Маклорен, фактически используя простейшие определители в трактате вышедшем 1748 году приводит решения систем их двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трёх уравнений с тремя неизвестными.
Крамер и Безу в работах по проблеме отыскания плоской кривой, проходящей через заданную точку, вновь построили это понятие (правило Крамера сформулировано в 1750 году), Вандермонд и Лагранж дали индуктивное определение для случаев , а целостное определение и окончательные свойства определителей дали Коши (1815) и Якоби (1840-е годы). Гауссу (около 1800 года) принадлежит формализация метода последовательного исключения переменных для решения этих задач, ставшего известным под его именем (хотя по существу для решения систем линейных уравнений именно этот метод и использовался с древности) [6, с. 82-85].
3. Развитие линейной алгебры.
Знакомство с математикой (греч. mathêmatikê – наука, познание), и тем самым с алгеброй, обычно начинается с арифметики (греч. arithmos - число). Один из первых русских учебников, написанный Л.Ф. Магницким в 1707 г., начинался словами: «Арифметика или числительница есть художество честное, независтное и всем удобопонятное …». Арифметика изучает действия над числами, учит решать задачи, сводящиеся к арифметическим операциям: сложению, умножению, вычитанию и делению. Изучение свойств самих чисел составляет предмет теории чисел. Основные этапы развития арифметики: создание учения о величинах, числе, буквенного аппарата алгебры, разработка аксиоматической системы. В современном изложении, арифметика – область знаний о числе и арифметических операциях в числовых множествах. Арифметику можно представлять и как начальную ступень математики, на которой, когда возникла необходимость в поиске общих приемов решения однотипных арифметических задач, и появилась алгебра. Следует отметить и роль геометрии (как части математики, изучающей пространственные формы и телá), в становлении алгебры, появившейся, возможно, раньше арифметики. В III в. до н.э., древнегреческий ученый Евклид написал книгу «Начала», в которой пытался дать логически законченное аксиоматическое изложение геометрии; главы с седьмой по девятую (из двенадцати) Евклид посвятил арифметике. В школьном курсе алгебры, после изучения алгебраических уравнений 1-ой степени (линейных уравнений), выделяются два направления изучения предмета: решение квадратных и биквадратных уравнений и решение систем из двух или трех алгебраических уравнений. Эти направления развивались и в высшей алгебре: «Алгебра многочленов одного или нескольких неизвестных» и 11 «Линейная алгебра», исходной задачей которой являлось изучение систем линейных уравнений. В первом случае следует отметить вклад Э. Галуа (1811- 1832). Работы Галуа содержали окончательное решение проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (1831). Сегодня это называется теорией Галуа 9 и составляет один из самых глубоко проработанных разделов алгебры. Во втором случае, исследование систем уравнений привело к созданию теории определителей, а затем и алгебры матриц. Появление теоремы Кронекера-Капелли (1883-1891) завершило построение общей теории систем линейных уравнений. Оба направления оказались настолько плодотворными, что из них возникло несколько новых разделов алгебры,
стимулируемых запросами, не только математическими, но и естественно научными дисциплинами. Казалось, что развитие алгебры пойдет по традиционному пути. Будут искать новые классы уравнений, доказывать новые тождества и т.д., тем более что после создания комплексных чисел возникли гиперкомплексные числа 5 , которые построил ирландский математик У. Гамильтон (1788-1856), но в середине XIX в. появилось понятие множества, а к его завершению, стараниями Б. Больцано (B. Bolzano) 1781-1848, Р. Дедекинда (R. Dedekind) 1831-1916, Ф. Хаусдорфа (F. Hausdorff) 1868-1942 и, особенно, Г. Кантора (G. Cantor) 1845-1918, была создана теория множеств – учение о свойствах множеств элиминирующих (лат. eliminare – исключать, устранять) свойства элементов, из которых эти множества состоят 10 . Важным здесь оказались именно свойства множеств как носителя информации, а не его природа (т.е. его элементов). К свойствам множеств, как объекта для алгебры относятся операции алгебраические и аналогичные им по смыслу, результат применения которых к элементам множества дает элемент того же множества. Анализ применения арифметических операций (сложения, умножения, вычитания и деления) и арифметических действий 12 (наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного и др.) на многочисленных примерах с числовыми множествами показал, что разумно использовать только сложение и умножение, а остальные рассматривать при необходимости их введения, как свойства (аксиомы), дополнительные к свойствам (аксиомам) сложения и умножения. Более того, оказалось, что и для нечисловых множеств (например, векторов или подобных треугольников) выполняются операции сложения и умножения, не в смысле их обозначения или названий, а в содержательном смысле, представленном в виде свойств. Так возникло абстрактное понятие операции композиции, как обобщение алгебраической операции. Тем самым был осуществлен переход от алгебры первого уровня абстракции - использование вместо чисел букв, при поиске общих приемов решения арифметических задач - к алгебре более высокого уровня абстракции: рассмотрение множеств, в которых носителями информации задаются операции композиции, каждая представленная в виде систем аксиом, которым удовлетворяют элементы множеств; остальные свойства элементов элиминируются (игнорируются). Изучение системы аксиом, определяющих операцию композиции, привело к мысли, что можно изучать только их свойства независимо от объектов, к которым они применяются. Это означает, что два множества с заданными операциями, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие и они удовлетворяют одной и той же системе аксиом, одинаковы.
Такие множества называются изоморфными, т.е. обладают одинаковыми свойствами. Другими словами, изучая одно из них, мы, тем самым, узнаем свойства другого. Поскольку различных множеств, с заданными в них операциями, очень велико, то стали классифицировать множества, хотя и не изоморфные, но обладающие общими свойствами частично. Классы таких множеств получили название алгебраической системы, т.е. системы генерирующей множества с операциями (универсальные алгебры). Ясно, что алгебраическая система сама является универсальной алгеброй.
Заключение.
На основе вышеизложенного можно отметить, что линейная алгебра — это наука о линейном множестве уравнений и их трансформационных свойствах. Линейная алгебра позволяет проводить анализ вращения в пространстве, выравнивание методом наименьших квадратов, решение двойных дифференциальных уравнений, определение окружности с помощью трех известных точек, точно также, как и решение других задач в области математики, физики и инженерии. Линейная алгебра не является алгеброй в технологическом смысле этого слова. Матрица и определитель являются необходимыми составляющими в области линейной алгебры. Одной из центральных проблем линейной алгебры является решение уравнения матрицы.
Направление линейной алгебры используется также для того, чтобы описать специфическую часть алгебры. В частности, линейная алгебра имеет свою структуру с наличием определенных аксиом квадратного суммирования и умножения, которые рассматриваются согласно, так называемому, распределительному закону. В рамках линейной алгебры происходит более детальное исследование структуры.
Линейная алгебра также допускает осуществление внешних операций функции умножения с помощью скалярных значений. Примером может быть система всех линейных преобразований, начиная с векторного пространства и заканчивая самим широким понятием линейной алгебры.
На сегодняшний день очевидным представляется тот факт, что теория линейной алгебры получила успешное свое развитие, а ее методы имеют место и в других специфических областях математики. В модульной теории рассматривается феномен скалярных величин. В полилинейной алгебре особое место уделяется для исследования переменных линейных преобразований. К тому же широкое распространение в рамках линейной алгебры получило положение о тензорном произведении. Необходимо к тому же отметить, что исследование различного рода направлений в рамках изучения линейной алгебры, тесным образом сопряжено еще и с математическим анализом.