Файл: Исследование функции и построение её графика.docx

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ



МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

Расчетно-графическая работа

На тему «Исследование функции и построение её графика»

18 вариант

Выполнил: студент гр. ___НБ-22-1_____Занг Атангана Закари Фабрис_____

Проверил: ___доцент Бакеева Лариса Викторовна___

Санкт-Петербург 2023

Содержание

Введение

Цели и задачи: В данной работе я проведу исследование функций, которое содержит в себе несколько этапов, построю графики функций, выявлю закономерности, с которыми столкнусь по ходу решения и продемонстрирую методы решения, которые были изучены в ходе подготовки к данной работе. За теоретическую основу будет взяты записи лекций и методические материалы, описанные в конце документа. Основной задачей данной работы является правильная интерпретация полученных по ходу решения данных для построения графика функции.

Методы решения: Определение области определения функции. Проверка функции на симметричность. Нахождение пересечения графика с осью координат. Вычисление асимптот к графику функций. Нахождение максимумов/минимумов и областей выпуклости функции (точек перегибов) с помощью производных первого и второго порядка соответственно. Построение графика функции для наглядного изучения.

---

Основная часть

Теоретическое описание

При решении данной расчетно-графической работы по теме «Применение производной при построении графика функции» мною были использованы следующие этапы:

1. 
   Определение области определения функции D(y)
   
2. 
   Проверка функции на симметричность
   

• 
  Четность: y(-x)=y(x)
  
• 
  Нечетность: y(-x)=-y(x)
  
• 
  Несоблюдение первых двух условий приводит к выводу о несимметричности функции
  

Нули функции:

• 
  X=0
  
• 
  Y=0
  

Вычисление асимптот к графику или определение их отсутствия с помощью следующих пределов:

• 
  Вертикальные асимптоты: вывод об их отсутствие делается на основе изучения пункта 1: если D(y)R, то вертикальные асимптоты отсутствуют. В ином случае вычисляется предел , в качестве а берутся значения всех граничных точек из области определения функции
  
• 
  Наклонные асимптоты:
  

• 
  
  
• 
  
  

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота - критерий k=0, b=const

4. 
   Нахождение максимумов/минимумов функции производится через вычисление первой производной и соотнесения на числовой оси полученных значений, на основе которых делается вывод об областях возрастания/убывания функции и точках экстремума
   
5. 
   Определение областей выпуклости функции и точек перегиба производится на основе вычисления вторых производных (аналогично пункту 4)
   
6. 
   Построение графика на основе полученных данных
   

Практическая часть

Задание 3. Исследовать функции и построить их графики

2)

Ход решения:

1. 
   Функция
   

1. 
   Область определения функции: ; D(y)=(-∞;1)(1;+∞)
   
2. 
   Проверка критерия четности/нечетности:
   

---

Делаем вывод, что функция является несимметричной (функция общего вида) непериодическая.

Нули функции:

OY: x=0; ; (0;-2)

OX: y=0; y(x)=0;



; -4<0; значит график не имеет пересечений с осью OX.

3. 
   Асимптоты функции:
   

x=1 является точкой разрыва 2го рода, вертикальной асимптотой, т.к.





Ищем наклонную асимптоту:



:

:



Следовательно, наклонной асимптотой является:

4. 
   Области возрастания и убывания. Максимумы/минимумы функции
   

Рассмотрим первую производную функции и найдём её нули:



x=0 или x-2=0; x=2.

y’ + 0 - 1 - 2 +

y
Как можно заметить из графического пояснения: область убывания функции (0;1)

---

(1;2), а область возрастания функции (-∞;0] [2;+ ∞). Из этого делаем вывод, что точкой локального минимума функции является точка:

Min y(x): y(2) = .

Точка локального максимума:

Max y(0) = .

5. 
   Области выпуклости, вогнутости; точки перегиба:
   

Рассмотрим вторую производную функции и найдём её нули:



y’’ - 1 +

y
Так как по ООФ, то точки перегиба нет.

Из графического описания видно, что функция выпукла вверх на промежутке (-∞;1) и выпукла вниз (вогнута) на промежутке (1;+ ∞)

6. 
   Построение графика на основе полученных данных:
   

Рис.1. График функции

2. 
   Функция
   

1. 
   Область определения функции ; D(y)=(-∞;0)(0;+∞)
   
2. 
   Проверка критерия четности/нечетности:
   

Делаем вывод, что функция является несимметричной (функция общего вида) непериодическая.

Нули функции:

OY: Так как по ООФ , то график не имеет пересечений с осью OY.

OX: y=0; y(x)=0;

;

x = -2. Значит с осью ОХ график пересекается в точке (-2;0)

---

3. 
   Асимптоты функции:
   

x=0 является точкой разрыва 2го рода, вертикальной асимптотой, т.к.





Так как хотя бы один из односторонних пределов равен , то x=0 является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонную асимптоту:





Следовательно, наклонной асимптотой является:

4. 
   Области возрастания и убывания. Максимумы/минимумы функции
   

Рассмотрим первую производную функции и найдём её нули:














y’ + -1 - 0 - 2 +




y
Как можно заметить из графического пояснения: область убывания функции [-1;0) (0;2], а область возрастания функции (-∞;-1] [2;+ ∞). Из этого делаем вывод, что точкой локального минимума функции является точка:

---