Файл: Программа для подготовки к рубежному контролю 2 по фнп.pdf

Программа для подготовки к рубежному контролю № 2 по ФНП
ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2018-2019 уч. год
Теоретические вопросы
(как они сформулированы в билетах рубежного контроля)
Часть А
1. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в R
n
2. Дать определение предельной точки, граничной точки множества, и за- мкнутого множества в R
n
3. Дать определение ограниченного и связного множества в R
n
4. Дать определение предела функции нескольких переменных (ФНП) по множеству и непрерывной ФНП.
5. Дать определение частной производной ФНП в точке.
6. Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.
7. Сформулировать теорему о связи непрерывности и дифференцируемости
ФНП.
8. Сформулировать теорему о необходимых условиях дифференцируемости
ФНП.
9. Сформулировать теорему о достаточных условиях дифференцируемости
ФНП.
10. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.
11. Дать определение второго дифференциала ФНП и матрицы Гессе.
12. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производ- ных от порядка дифференцирования.
13. Сформулировать теорему о необходимых и достаточных условиях того,
чтобы выражение P (x, y) dx + Q(x, y) dy было полным дифференциалом.
14. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функ- ции вида z = f(u(x, y), v(x, y)).
15. Записать формулу для вычисления производной сложной функции вида u = f (x(t), y(t), z(t))
16. Сформулировать теорему о неявной функции.
17. Записать формулы для вычисления частных производных неявной функ- ции z(x, y), заданной уравнением F (x, y, z) = 0.
18. Дать определение градиента ФНП и производной ФНП по направлению.
19. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.
20. Перечислить основные свойства градиента ФНП.
21. Сформулировать теорему Тейлора для функции двух переменных.
22. Сформулировать теорему об условиях существовании касательной плос- кости к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0.
23. Записать уравнения касательной и нормали к поверхности F (x, y, z) = 0
в точке (x
0
, y
0
, z
0
)
1 24. Дать определение (обычного) экстремума (локального максимума и ми- нимума) ФНП.
25. Сформулировать необходимые условия экстремума ФНП.
26. Сформулировать достаточные условия экстремума ФНП.
27. Дать определение условного экстремума ФНП.
28. Дать определение функции Лагранжа и множителей Лагранжа задачи на условный экстремум ФНП.
29. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП.
30. Сформулировать достаточные условия условного экстремума ФНП.
Часть Б
1. Доказать теорему о необходимых условиях дифференцируемости ФНП.
2. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.
3. Доказать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования (для вторых производных функции двух пере- менных).
4. Вывести формулу для дифференцирования сложной ФНП (можно огра- ничиться случаем функции вида z = f(x(t), y(t))).
5. Сформулировать теорему о неявной функции. Вывести формулы для част- ных производных неявной функции.
6. Вывести уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной урав- нением F (x, y, z) = 0.
Примеры задач
Часть А
1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S в точке M:
а) S : z = 2x
2
− 3y
2
+ x + y
, M(1, 1, 1);
б) S : x
3
+ y
4
+ z
2
= 10
, M(2, −1, −1);
в) S : e x+y+z
= sin(x
− 2y − z), M(1, 2, −3).
2. Исследовать на экстремум следуюшие функции:
а) z = 9x
2
− 4xy + 6y
2
+ 16x
− 8y − 2;
б) z = 1 + 6x + 8y − 2x
2
− 4xy − 5y
2
;
в) z = y
3
− x
2
+ 2xy
− y
2
− 3y.
3. Исследовать на экстремум функцию а) z = x
2
+ y
2
при условии x + y = 1;
б) z = x + y при условии x
2
+ y
2
= 1
;
в) z = xy при условии x
2 3
+
y
2 1
= 1 2

Часть Б

1. В каких точках поверхности 4x + 9y + 25z = −xyz касательная плоскость параллельна одной из координатных плоскостей?
2. Найти такие a, b, c, чтобы однополостный гиперболоид x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1
касался плоскости 4x + y + 2z = 1 в точке (4, 5, −10).
3. Найти те нормали к гиперболическому параболоиду x
2
− y
2
= 2z
, которые проходят через точку (6, 0, 0).
4. Среди касательных к эллипсоиду x
2 75
+
y
2 48
+
z
2 12
= 1
найти ту, которая отсекает от положительного октанта x > 0, y > 0, z > 0
тетраэдр наименьшего объёма.
5. Среди эллипсоидов x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
, проходящих через точку (1, 2,
√
5)
,
найти тот, который имеет наименьший объём.
(Указание: Объём эллипсоида с полуосями a, b, c равен
4 3
πabc
.)
6. На кривой
4x
2
+ 8xy + 3y
2
+ 1 = 0
найти точки, наименее удалённые от оси OX.
7. Среди эллипсоидов x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
, касающихся плоскости 7x + 4y + 4z =
= 9
найти тот, который имеет наибольший объём.
(Указание: сначала найти точку M на эллипсоиде с полуосями a, b, c, в которой касательная плоскость имеет нормальный вектор (7, 4, 4); условие принадлежности точки M плоскости 7x + 4y+
+4z = 9
даст уравнение связи.)
3
Примерный вариант билета рубежного контроля
Часть А
необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса и решить не менее 2 задач;
оценка 21 балл
Теория
1. Дать определение предельной точки, граничной точки множества,
замкнутого множества в R
n
2. Записать формулы для вычисления частных производных сложной функции вида z = f(u(x, y), v(x, y)).
3. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНП.
Задачи
4. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно- сти z = x −
p x
2
+ y
2
в точке (4, 3, −1).
5. Исследовать на экстремум функцию z = e
2x
+ e
2y
− x − y.
6. Исследовать на экстремум функцию z = e
−2xy при условии x
2 9
+
y
2 4
= 1.
Часть Б
засчитывается, только если выполнена часть А;
необходимо решить задачу; оценка 5–14 баллов
Теория
7. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости
ФНП.
Задача
8. На поверхности
27
x
+
8
y
+
8
z
= 1
найти точку, наименее удалённую от точки O(0, 0, 0).