Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.

Энгельсский технологический институт




ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

«Определение момента инерции маховика»


Лабораторная работа разработана преподавателями кафедры

«Естественные и математические науки» ЭТИ СГТУ им. Гагарина Ю.А.


Энгельс, 2023

Цель работы: изучение вращательного движения твердых тел, определение момента инерции маховика.

Основные понятия

Вращательное движение твердых тел

Вращательным движением тела называется такое движение, при котором траекториями всех точек тела являются концентрические окружности с центрами на одной прямой, называемой осью вращения.

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью или циклической частотой и обозначается . Она равна изменению угловой координаты на единицу времени :

(1)

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением :

		(2)
Рис. 1	Скорость и ускорение – векторные величины. Вектор направлен по оси вращения. Его направление определяется правилом правой руки. Согните четыре пальца правой руки по направлению вращения.
Тогда большой палец будет направлен по оси в направлении, совпадающим с направлением вектора (рис. 1). Вектор углового ускорения при ускоренном движении совпадает по направлению с вектором , а при замедленном движении противоположен ему.

---

Если к телу с определенной осью вращения приложена сила, то вращающее действие этой силы зависит от ее величины, точнее, приложения и направления ее действия по отношению к оси. Вращающее действие силы характеризуется моментом этой силы М. Момент силы относительно данной оси численно равен произведению проекции силы F на плоскость, перпендикулярную к оси, на кратчайшее расстояние r между осью и точкой приложения силы.

(3)

Вектор момента силы направлен по оси так, что, смотря на тело в направлении вектора , мы видим вращение, проходящее по часовой стрелке (рис. 1). Момент силы равен нулю, если сила параллельна оси (F=0) или проходит через нее (r=0).

Момент инерции

Момент инерции играет туже роль во вращательном движении, что и масса при движении по прямой. Чем больше момент инерции, тем больший требуется момент силы, чтобы изменить угловую скорость.

Момент инерции тела относительно данной оси – это мера инертности тела при вращении вокруг этой оси.

Момент инерции тела – скалярная величина. Нужно иметь ввиду, что эта величина существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и радиальным распределением массы. Если рассмотреть отдельную материальную точку массой m, вращающуюся вокруг оси на расстоянии r, то ее момент инерции равен:

(4)

Если любое вращающееся тело разбить на малые элементы с массой , вращающиеся вокруг оси на расстоянии , то полный момент инерции тела относительно данной оси будет равен сумме моментов инерции отдельных малых элементов, из которых составлено тело:

---

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

(5)

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска высотой h и радиусом относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 2). Выразим в (5) массу через плотность:

Рис. 2

.

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя , поскольку диск однороден, можно вынести за знак интеграла.



Выведем массу всего диска и получим:



Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J₀ относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями:

(6)

Момент силы, момент инерции относительно той же оси и угловое ускорение тела связаны основным законом динамики для вращательного движения, аналогичным второму закону Ньютона:

(7)

---

Этот закон можно записать в виде:

(8)

Вектор называется моментом импульса тела. Тело, вращающееся вокруг оси, обладает кинетической энергией:

(9)

Принцип измерения и вывод рабочей формулы

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси описывается основным уравнением динамики вращательного движения (8).

(10)

где – угловое ускорение;

М – момент сил, действующих на тело;

J – момент инерции тела относительно оси.

Рассмотрим опыт, позволяющий на основании уравнения (10) определять момент инерции вращающегося тела. Схема опыта представлена на рис. 3. Тело вращения – маховик 1 со шкивом 2, укрепленный на горизонтальной оси. Вращающий момент сил создается грузом 3, привязанным к навитой на шкив нити:

(11)

где Т – сила натяжения нити, r – радиус шкива.

На груз действует сила тяжести mg и сила натяжения нити, под действием которых он движется с ускорением a. Согласно второму закону Ньютона: в проекциях на ось y:



Или, преобразовав,

(12)

Если шнур разматывается без проскальзывания, то пройденное грузом расстояние

---

h связано с углом поворота шкива соотношением:

(13)

Продифференцировав (13) соответственно один и два раза по времени с учетом постоянства r, получим связь между линейной скоростью , ускорением груза, угловой скоростью и ускорением маховика:

(14)

Подставив в (10) выражение для из (14) и для М из (4) и (12), получим:

(15)

Из этого выражения видно, что для определения момента инерции маховика J необходим радиус вала r, масса груза m и ускорение движения груза a. Первые две величины могут быть измерены прямым путем, а ускорение – косвенным, через путь, проходимый грузом, и его время движения t. Учитывая, что начальная скорость груза равна нулю, запишем уравнение кинематики его поступательного прямолинейного движения:

(16)

и выразим из этого уравнения ускорение a:

(17)

Подставляя (17) в уравнение (15), получим рабочую формулу для экспериментального определения момента инерции маховика через величины, измеряемые прямым путем: радиус вала r, массу груза m, время движения груза t, пройденный грузовой путь h и известную величину – ускорение свободного падения ≈ 10 м/с².

(18)

Эта же рабочая формула может быть выведена из энергетических представлений. Груз массой

---

Смотрите также файлы

• Эмоциональная сфера личности.docx

• Венера марченко м. А общие сведения о планете.pptx

• Инструкция для студентов, выполняющих итоговую контрольную работу по д исциплине.doc

• ытану кафедрасы Бж таырыбы Отбасы жне азіргі заман абылдаананыбекова Орындаан Жарыласын н тобы ЗТ111.docx

• На конкретных примерах покажите применение менеджером различных методов управления и стилей. Когда стиль руководства сдерживает развитие предприятия и вступает в противоречие с эффективными методами управления.docx