Министерство науки и высшего образования Российской ФедерацииСаратовский государственный технический университетимени Гагарина Ю.А.Энгельсский технологический институтЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
«Определение момента инерции маховика» Лабораторная работа разработана преподавателями кафедры «Естественные и математические науки» ЭТИ СГТУ им. Гагарина Ю.А.Энгельс, 2023
Цель работы: изучение вращательного движения твердых тел, определение момента инерции маховика.
Основные понятияВращательное движение твердых телВращательным движением тела называется такое движение, при котором траекториями всех точек тела являются концентрические окружности с центрами на одной прямой, называемой осью вращения.Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью или циклической частотой и обозначается . Она равна изменению угловой координаты на единицу времени :
|
(1)
|
Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением :
|
(2)
|
Рис. 1
|
Скорость и ускорение – векторные величины. Вектор  направлен по оси вращения. Его направление определяется правилом правой руки. Согните четыре пальца правой руки по направлению вращения.
|
Тогда большой палец будет направлен по оси в направлении, совпадающим с направлением вектора (рис. 1). Вектор углового ускорения  при ускоренном движении совпадает по направлению с вектором , а при замедленном движении противоположен ему.
|
Если к телу с определенной осью вращения приложена сила, то вращающее действие этой силы зависит от ее величины, точнее, приложения и направления ее действия по отношению к оси. Вращающее действие силы характеризуется моментом этой силы М. Момент силы относительно данной оси численно равен произведению проекции силы F на плоскость, перпендикулярную к оси, на кратчайшее расстояние r между осью и точкой приложения силы.
|
(3)
|
Вектор момента силы направлен по оси так, что, смотря на тело в направлении вектора , мы видим вращение, проходящее по часовой стрелке (рис. 1). Момент силы равен нулю, если сила параллельна оси (F=0) или проходит через нее (r=0).
Момент инерцииМомент инерции играет туже роль во вращательном движении, что и масса при движении по прямой. Чем больше момент инерции, тем больший требуется момент силы, чтобы изменить угловую скорость.Момент инерции тела относительно данной оси – это мера инертности тела при вращении вокруг этой оси.Момент инерции тела – скалярная величина. Нужно иметь ввиду, что эта величина существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и радиальным распределением массы. Если рассмотреть отдельную материальную точку массой m, вращающуюся вокруг оси на расстоянии r, то ее момент инерции равен:
|
(4)
|
Если любое вращающееся тело разбить на малые элементы с массой , вращающиеся вокруг оси на расстоянии , то полный момент инерции тела относительно данной оси будет равен сумме моментов инерции отдельных малых элементов, из которых составлено тело:
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:
|
(5)
|
В качестве примера найдем момент инерции однородного диска высотой h и радиусом  относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 2). Выразим в (5) массу через плотность:
|
Рис. 2
|
.Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя , поскольку диск однороден, можно вынести за знак интеграла. Выведем массу всего диска и получим:Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:
момент инерции тела J относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J0 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния 
между осями:
|
(6)
|
Момент силы, момент инерции относительно той же оси и угловое ускорение тела связаны основным законом динамики для вращательного движения, аналогичным второму закону Ньютона:
|
(7)
|
Этот закон можно записать в виде:
|
(8)
|
Вектор называется моментом импульса тела. Тело, вращающееся вокруг оси, обладает кинетической энергией:
|
(9)
|
Принцип измерения и вывод рабочей формулыВращательное движение тела вокруг неподвижной оси описывается основным уравнением динамики вращательного движения (8).
|
(10)
|
где – угловое ускорение;М – момент сил, действующих на тело;J – момент инерции тела относительно оси. Рассмотрим опыт, позволяющий на основании уравнения (10) определять момент инерции вращающегося тела. Схема опыта представлена на рис. 3. Тело вращения – маховик 1 со шкивом 2, укрепленный на горизонтальной оси. Вращающий момент сил создается грузом 3, привязанным к навитой на шкив нити:
|
(11)
|
где Т – сила натяжения нити, r – радиус шкива.На груз действует сила тяжести
mg и сила натяжения нити, под действием которых он движется с ускорением
a. Согласно второму закону Ньютона: в проекциях на ось y:Или, преобразовав,
 
|
(12)
|
Если шнур разматывается без проскальзывания, то пройденное грузом расстояние
h связано с углом поворота шкива соотношением:
|
(13)
|
Продифференцировав (13) соответственно один и два раза по времени с учетом постоянства r, получим связь между линейной скоростью , ускорением груза, угловой скоростью и ускорением маховика:
|
(14)
|
Подставив в (10) выражение для из (14) и для М из (4) и (12), получим:
|
(15)
|
Из этого выражения видно, что для определения момента инерции маховика
J необходим радиус вала
r, масса груза
m и ускорение движения груза
a. Первые две величины могут быть измерены прямым путем, а ускорение – косвенным, через путь, проходимый грузом, и его время движения
t. Учитывая, что начальная скорость груза равна нулю, запишем уравнение кинематики его поступательного прямолинейного движения:
|
(16)
|
и выразим из этого уравнения ускорение
a:
|
(17)
|
Подставляя (17) в уравнение (15), получим рабочую формулу для экспериментального определения момента инерции маховика через величины, измеряемые прямым путем: радиус вала r, массу груза m, время движения груза t, пройденный грузовой путь h и известную величину – ускорение свободного падения ≈ 10 м/с
2.
|
(18)
|
Эта же рабочая формула может быть выведена из энергетических представлений. Груз массой