Задание
1. Решить задачу Коши первого порядка на заданном отрезке методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Интерполировать полученное решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.

y^/-x+y-1=0, y(0)=1, [0;1]
2. Решить задачу Коши второго порядка на заданном отрезке. Интерполировать полученное решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.

y^//-5y^/=3x²+sin5x, y(0)=-2, y^/(0)=-3, [0;2]
3. Применяя метод конечных разностей, решить дифференциальное уравнение с краевыми условиями. Интерполировать решение многочленом третьей степени. Построить графики.

(2x+1)y^//+(2x-1)y^/-2y=x²+x, y(0)=3.5, 2y(1)+2y^/(1)=10

Решение в Excel

1 Задание № 1
1.1Метод Эйлера
В ячейки столбца А запишем исходные ряды значений x, в ячейку В2 введём значение у при х равном нулю. Для нахождения y в столбец В вводим:
=B2+0,1*(1+A2-B2)
Растянем столбец В до последнего значения х.Для нахождения точного значения у решим задачу аналитически. В ячейку С2 вводим получившееся значение у аналитического и растягиваем до последнего значения х (рис.1):

рисунок 1
Построим график по значениям х, у и у_точн (рис.2)

рисунок 2

1.2 Метод Рунге-Кутта
Найдём значения у по формуле Рунге-Кутта для этого в столбец А введём значения х ,во вторую ячейку столбца В введём начальное значение у, в столбец С вводим значение k₁⁽ⁱ⁾:

=0,1*(1+A25-B25)

в столбец D вводим значение k₂⁽ⁱ⁾:
=0,1*(1+(A25+0,1/2)-(B25+C25/2))
в столбец Е вводим значение k₃⁽ⁱ⁾:
=0,1*(1+(A25+0,1/2)-(B25+D25/2))
в столбец F вводим значение k₄⁽ⁱ⁾:
=0,1*(1+(A25+0,1)-(B25+E25))
В третью ячейку столбца В вводим расчетную формулу метода Рунге-Кутта:

=B24+(C24+2*D24+2*E24+F24)/6

Растянем столбцы В, С, D, E, F до последнего значения х(рис.3):

Рисунок 3
Построим график по полученным значениям у и по найденным ранее значениям у_точн (рис.4):



Рисунок 4

2 Задание № 2

Решим заданное дифференциальное уравнение методом конечных разностей. В столбец А введём значения х, в ячейку столбца В вводим начальное значение у, затем формулу для вычисления y

---

_i:

=B45-3*0,2
В следующую формулу для вычисления y_i+1:
=B46*3-B45*2+(3*A46^2+SIN(5*A46))*0,2^2
Растянем столбец В до последнего значения х (рис.5):

Рисунок 5

Решим уравнение аналитически, и подставим в ячейку С45 формулу:
=(-9060/6250)+(-3565/6250)*EXP(5*A45)-0,2*A45^3-(3/25)*A45^2-(6/125)*A45-(1/50)*SIN(5*A45)+COS(5*A45)/50
Растянув эту ячейку до последнего значения х, получим точное решение данного уравнения. Построим графики у и у_точн по заданным значениям х (рис.6):

Рисунок 6
3 Задание № 3

Решение данной задачи заключается в преобразовании уравнения и приведению его к системе уравнений.

Выполнив преобразования и записав первое уравнение для i=1; 2…9 получим

Матрицу коэффициентов с неизвестными y₁, y₂…y₉. В результате таких преобразований получаем матрицу вида (рис.7):

1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	-250	120	0	0	0	0	0	0	0	0
0	146	-288	140	0	0	0	0	0	0	0
0	0	164	-326	160	0	0	0	0	0	0
0	0	0	182	364	180	0	0	0	0	0
0	0	0	0	200	402	200	0	0	0	0
0	0	0	0	0	218	-440	220	0	0	0
0	0	0	0	0	0	236	-478	240	0	0
0	0	0	0	0	0	0	254	-516	260	0
0	0	0	0	0	0	0	0	272	-554	280
0	0	0	0	0	0	0	0	0	-20	22

---

Рисунок 7
Решение в MathCad

Задание №1

Для численного решения задачи Коши применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D) – решение на отрезке [x1,x2] методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом, где

y– вектор начальных условий,

m– число узлов на отрезке [x1, x2], результат содержит m+1 строку,

D – имя вектора-функции, содержащего правые части нормальной системы дифференциальных уравнений. В случае уравнения первого порядкаy^/=f(x,y)имеем D=f(x,y).

При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результат вычисления – матрица, в первом столбце которой содержатся узлы сетки x₀, x₁, …, x_n, а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах (рис.8).

Рисунок 8

Запишем теперь уравнений полиноминальной регрессии пятой степени (рис.9):



Рисунок 9
Заданное уравнение – линейное уравнение первой степени. Легко получить его точное аналитическое решение:


Сравним графически значения в узлах сетки точного решения и регрессионного многочлена, точного решения и вектора значений, полученного методом Рунге-Кутта. Очевидно, что эти пары значений равны с высокой степенью точности (рис.10):


Рисунок 10
Задание №2
Применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D),где

- вектор начальных условий (рис.11):


Рисунок 11
Построим матрицу, в нулевом столбце которой – узлы сетки, в первом – значения y(x) в соответствующих узлах, а во втором – значения y^/(x)в тех же узлах. Построим график зависимости y отx, т.е. первого столбца матрицы от нулевого (рис 12):

Рисунок 12
Запишем уравнение полиноминальной регрессии третьей степени fpr(x).Аналитически найдем точное решение f(x). Построим графики, позволяющие сравнить значения на сетке приближенного решения y

---

_i, f(x)(рис.13):


Рисунок 13

Разобьем отрезок [3; 5] на части с шагом h=0.1, получим узлы сетки x₀=3; x₁=3.1; x₂=3.2… x₁₀=5. Данное уравнение и краевые условия заменим конечно-разностными уравнениями.

---

Смотрите также файлы

• По дороге в Дербент.docx

• 3. Ленинкент,Атлы боюн, Долина смерти.doc

• Задачи по логистике Закупочная логистика.docx

• национальный исследовательский томский политехнический универсистет.docx

• Рабочая программа по музыке на уровень основного общего образования составлена в соответствии с Федеральным государственным стандартом основного общего образования,.docx