Файл: Решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 52
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задание1. Решить задачу Коши первого порядка на заданном отрезке методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Интерполировать полученное решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.y/-x+y-1=0, y(0)=1, [0;1]2. Решить задачу Коши второго порядка на заданном отрезке. Интерполировать полученное решение многочленом третьей степени. Найти точное решение. Построить графики.y//-5y/=3x2+sin5x, y(0)=-2, y/(0)=-3, [0;2]3. Применяя метод конечных разностей, решить дифференциальное уравнение с краевыми условиями. Интерполировать решение многочленом третьей степени. Построить графики.(2x+1)y//+(2x-1)y/-2y=x2+x, y(0)=3.5, 2y(1)+2y/(1)=10Решение в Excel1 Задание № 11.1Метод ЭйлераВ ячейки столбца А запишем исходные ряды значений x, в ячейку В2 введём значение у при х равном нулю. Для нахождения y в столбец В вводим:=B2+0,1*(1+A2-B2)Растянем столбец В до последнего значения х.Для нахождения точного значения у решим задачу аналитически. В ячейку С2 вводим получившееся значение у аналитического и растягиваем до последнего значения х (рис.1):рисунок 1Построим график по значениям х, у и уточн (рис.2) рисунок 21.2 Метод Рунге-КуттаНайдём значения у по формуле Рунге-Кутта для этого в столбец А введём значения х ,во вторую ячейку столбца В введём начальное значение у, в столбец С вводим значение k1(i):=0,1*(1+A25-B25)в столбец D вводим значение k2(i):=0,1*(1+(A25+0,1/2)-(B25+C25/2))в столбец Е вводим значение k3(i):=0,1*(1+(A25+0,1/2)-(B25+D25/2))в столбец F вводим значение k4(i):=0,1*(1+(A25+0,1)-(B25+E25))В третью ячейку столбца В вводим расчетную формулу метода Рунге-Кутта:=B24+(C24+2*D24+2*E24+F24)/6Растянем столбцы В, С, D, E, F до последнего значения х(рис.3):Рисунок 3Построим график по полученным значениям у и по найденным ранее значениям уточн (рис.4):Рисунок 42 Задание № 2Решим заданное дифференциальное уравнение методом конечных разностей. В столбец А введём значения х, в ячейку столбца В вводим начальное значение у, затем формулу для вычисления y
i:=B45-3*0,2В следующую формулу для вычисления yi+1:=B46*3-B45*2+(3*A46^2+SIN(5*A46))*0,2^2Растянем столбец В до последнего значения х (рис.5):Рисунок 5Решим уравнение аналитически, и подставим в ячейку С45 формулу:=(-9060/6250)+(-3565/6250)*EXP(5*A45)-0,2*A45^3-(3/25)*A45^2-(6/125)*A45-(1/50)*SIN(5*A45)+COS(5*A45)/50Растянув эту ячейку до последнего значения х, получим точное решение данного уравнения. Построим графики у и уточн по заданным значениям х (рис.6):Рисунок 63 Задание № 3Решение данной задачи заключается в преобразовании уравнения и приведению его к системе уравнений.Выполнив преобразования и записав первое уравнение для i=1; 2…9 получим Матрицу коэффициентов с неизвестными y1, y2…y9. В результате таких преобразований получаем матрицу вида (рис.7):
Рисунок 7Решение в MathCadЗадание №1Для численного решения задачи Коши применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D) – решение на отрезке [x1,x2] методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом, гдеy– вектор начальных условий,m– число узлов на отрезке [x1, x2], результат содержит m+1 строку,D – имя вектора-функции, содержащего правые части нормальной системы дифференциальных уравнений. В случае уравнения первого порядкаy/=f(x,y)имеем D=f(x,y).При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результат вычисления – матрица, в первом столбце которой содержатся узлы сетки x0, x1, …, xn, а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах (рис.8). Рисунок 8Запишем теперь уравнений полиноминальной регрессии пятой степени (рис.9):Рисунок 9Заданное уравнение – линейное уравнение первой степени. Легко получить его точное аналитическое решение:Сравним графически значения в узлах сетки точного решения и регрессионного многочлена, точного решения и вектора значений, полученного методом Рунге-Кутта. Очевидно, что эти пары значений равны с высокой степенью точности (рис.10):Рисунок 10Задание №2Применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D),где - вектор начальных условий (рис.11):Рисунок 11Построим матрицу, в нулевом столбце которой – узлы сетки, в первом – значения y(x) в соответствующих узлах, а во втором – значения y/(x)в тех же узлах. Построим график зависимости y отx, т.е. первого столбца матрицы от нулевого (рис 12): Рисунок 12Запишем уравнение полиноминальной регрессии третьей степени fpr(x).Аналитически найдем точное решение f(x). Построим графики, позволяющие сравнить значения на сетке приближенного решения y
i, f(x)(рис.13):Рисунок 13Разобьем отрезок [3; 5] на части с шагом h=0.1, получим узлы сетки x0=3; x1=3.1; x2=3.2… x10=5. Данное уравнение и краевые условия заменим конечно-разностными уравнениями.
i:=B45-3*0,2В следующую формулу для вычисления yi+1:=B46*3-B45*2+(3*A46^2+SIN(5*A46))*0,2^2Растянем столбец В до последнего значения х (рис.5):Рисунок 5Решим уравнение аналитически, и подставим в ячейку С45 формулу:=(-9060/6250)+(-3565/6250)*EXP(5*A45)-0,2*A45^3-(3/25)*A45^2-(6/125)*A45-(1/50)*SIN(5*A45)+COS(5*A45)/50Растянув эту ячейку до последнего значения х, получим точное решение данного уравнения. Построим графики у и уточн по заданным значениям х (рис.6):Рисунок 63 Задание № 3Решение данной задачи заключается в преобразовании уравнения и приведению его к системе уравнений.Выполнив преобразования и записав первое уравнение для i=1; 2…9 получим Матрицу коэффициентов с неизвестными y1, y2…y9. В результате таких преобразований получаем матрицу вида (рис.7):
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -250 | 120 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 146 | -288 | 140 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 164 | -326 | 160 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 182 | 364 | 180 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 200 | 402 | 200 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 218 | -440 | 220 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 236 | -478 | 240 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 254 | -516 | 260 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 272 | -554 | 280 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -20 | 22 |
Рисунок 7Решение в MathCadЗадание №1Для численного решения задачи Коши применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D) – решение на отрезке [x1,x2] методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом, гдеy– вектор начальных условий,m– число узлов на отрезке [x1, x2], результат содержит m+1 строку,D – имя вектора-функции, содержащего правые части нормальной системы дифференциальных уравнений. В случае уравнения первого порядкаy/=f(x,y)имеем D=f(x,y).При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результат вычисления – матрица, в первом столбце которой содержатся узлы сетки x0, x1, …, xn, а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах (рис.8). Рисунок 8Запишем теперь уравнений полиноминальной регрессии пятой степени (рис.9):Рисунок 9Заданное уравнение – линейное уравнение первой степени. Легко получить его точное аналитическое решение:Сравним графически значения в узлах сетки точного решения и регрессионного многочлена, точного решения и вектора значений, полученного методом Рунге-Кутта. Очевидно, что эти пары значений равны с высокой степенью точности (рис.10):Рисунок 10Задание №2Применим функцию rkfixed(y,x1,x2,m,D),где - вектор начальных условий (рис.11):Рисунок 11Построим матрицу, в нулевом столбце которой – узлы сетки, в первом – значения y(x) в соответствующих узлах, а во втором – значения y/(x)в тех же узлах. Построим график зависимости y отx, т.е. первого столбца матрицы от нулевого (рис 12): Рисунок 12Запишем уравнение полиноминальной регрессии третьей степени fpr(x).Аналитически найдем точное решение f(x). Построим графики, позволяющие сравнить значения на сетке приближенного решения y
i, f(x)(рис.13):Рисунок 13Разобьем отрезок [3; 5] на части с шагом h=0.1, получим узлы сетки x0=3; x1=3.1; x2=3.2… x10=5. Данное уравнение и краевые условия заменим конечно-разностными уравнениями.