Файл: Основные действия над матрицами Сложение матриц.docx

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.11.2023

Просмотров: 42

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Основные действия над матрицами

Сложение матриц


Суммой двух матриц A и B одних и тех же порядков m×n называется матрица C тех же порядков m×n, элементы cij которой равны

cij=aij+bij   (i=1,2,...,m; j=1,2,...n).

Для обозначения суммы двух матриц используется запись:

C=A+B.

Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

  1. A+B=B+A.

  2. (A+B)+C=A+(B+C).

Здесь A, B, C произвольные m×n матрицы.

Примеры сложения матриц


Рассмотрим пример сложения следующих двух матриц:



В результате сложения получим следующую матрицу:



где c11=a11+b11,   c12=a12+b12, c13=a13+b13,  c21=a21+b21, c22=a22+b22,  c23=a23+b23.

Рассмотрим следующий численный пример:



Сумма матриц A+B будет:


Умножение матриц


Произведением двух матриц A порядка m×n и B порядка n×k называется матрица C такая, что




n







cij=



aiq ·bqj

   (i=1,2,...,m; j=1,2,...k),




q=1








где cij элементы матрицы C стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

 

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C=A·B или C=AB.

Из сформулированного выше определения вытекает, что для умножения матрицы на матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения следует,что эта операция обладает следующими свойствами:

  1. (AB)C=A(BC).

  2. (A+B)C=AC+BC.

  3. A(B+C)=AB+AC.

  4. (αA)B=A(αB)=α(AB)=(AB)α.

Здесь α вещественное число.

Пример умножения двух матриц


Пусть заданы матрица A размера 2×3 и матрица B размера 3×3.



Тогда



где

c11=a11b11+a12b21+a13b31, c12=a11b12+a12b22+a13b32, c13=a11b13+a12b23+a13b33, c21=a21b11+a22b21+a23b31, c22=a21b12+a22b22+a23b32, c23=a21b13+a22b23+a32b33.

Умножение матрицы в общем случае не обладает свойством коммутативности:

AB≠BA.

Пример:



 







Если AB=BA, то матрицы A и B называются коммутативными.

Умножение матрицы на число


Произведением матрицы A на вещественное число β называется матрица C, элементы которой равны

cij=βaij   (i=1,2,...,m; j=1,2,...n).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=βA или С=Aβ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Из определения умножения матрицы на число следует, что эта операция обладает следующими свойствами:

  1. (αβ)A=α(βA)

  2. α(A+B)=αA+αB.

  3. (α+β)A=αA+βB.

Примеры умножения матрицы на число


Пусть задана следующая матрица порядка 2×3:



Умножим матрицу A на число f. Получим следующую матрицу:



Рассмотрим численный пример.

Умножив число 4 на матрицу



получим:




Транспонированная матрица


Пусть   (i=1,2,...,mj=1,2...,n). Транспонированной по отношению к A называется матрица    (p=1,2,...,n; q=1,2...,m), где bpq=aqp (p=1,2,...,n; q=1,2...,m).

Для обозначения транспонированную к A матрицу используют запись AT.

Для построения транспонированной матрицы достаточно взять в качестве столбцов − соответствующие строки исходной матрицы. Например:



Свойства транспонированных матриц


  1. (AT)T=A.

  2. Если матрицы A и B одинакового размера, то (A+B)T=AT+BT.

  3. Если определено произведение AB (т.е. количество строк A равен количеству столбцов B ), то (AB)T=BTAT.

  4. (βA)T=βAT, где β - некоторое число.

  5. Если A квадратная матрица, то определитель исходной и транспонированной матриц равны: det AT=det A.

  6.  Разность матриц

  7. Разностью двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

  8. C=A+(-1)B.

  9. Для обозначения разности двух матриц используется запись:

  10. C=A-B.

  11.  Степень матрицы

  12. Пусть   квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:



  13. A0=E,

  14. где E-единичная матрица.

  15. Из сочетательного свойства умножения следует:



  16. где p,q- произвольные целые неотрицательные числа.

  17.   Симметричная (Симметрическая) матрица

  18. Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется симметричной матрицей.

  19. Для симметричных матриц   имеет место равенство:

  20. aij=aji ;   i=1,2,...n,   j=1,2,...n