. Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям



Пусть , тогда . Система примет вид



Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид



Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.
V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)
Решение.

1. 
   При любом а :
   
2. 
   Если , то ;
   

если , то .

3. 
   Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .
   
4. 
   По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.
   

---

Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?
Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если

---

, то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде



Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

0. 
   если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
   
1. 
   если , то система (3) имеет три решения;
   
2. 
   если , то система (3) имеет четыре решения.
   

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ:

2. 
   Неравенства с параметрами
   

1. 
   Основные определения
   

Неравенство

---

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, при некоторой функции

(a, b, c, …, k, x) и

(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, k, x) и

(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, …, k, x₀)>(a, b, c, …, k, x₀)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x) и (1)

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

2. 
   Алгоритм решения
   

1. 
   Находим область определения данного неравенства.
   
2. 
   Сводим неравенство к уравнению.
   
3. 
   Выражаем а как функцию от х.
   
4. 
   В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
   
5. 
   Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
   
6. 
   Исследуем влияние параметра на результат.
   

• 
  найдём абсциссы точек пересечения графиков.
  
• 
  зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+
  

7. 
   Записываем ответ.
   

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

3. 
   Примеры
   

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство


Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

---

данное неравенство равносильно системе неравенств



Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система


Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен



сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы



а значения и находятся из системы



Решая эти системы, получаем, что



Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.

1. 
   Находим область допустимых значений –
   
2. 
   Построим график функции в системе координат хОу.
   

• 
  при неравенство решений не имеет.
  
• 
  при для решение х удовлетворяет соотношению , где
  

---

Смотрите также файлы

• Реферат По дисциплине Социология и политология.docx

• Суреттерді растыру арылы топа бліну Пернетата Монитор Миа шабуыл.pptx

• Задание создание заголовка текста.doc

• Границы абзацев (абзацные отступы) должны задаваться специальными средствами, а не с использованием пробелов.docx

• Уважаемая Мадина Жаныбековна!.docx