Файл: Тема 2 Основы алгебры логики. Логические элементы логические элементыосновы алгебры логики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 27
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема 4.2 Основы алгебры логики. Логические элементы
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Цифровой сигнал можно представить в виде временной диаграммы.
В природе дискретных сигналов не существует, поэтому их заменяют аналоговыми. Аналоговый сигнал не может перейти из 0 в 1 мгновенно, поэтому такой сигнал обладает фронтом и срезом.
Если изображать его упрощенно, то это выглядит так:
1 — низкий уровень сигнала,
2 — высокий уровень сигнала,
3 — нарастание сигнала (фронт),
4 — спад сигнала (срез).
Сигналы можно преобразовывать. Для этого на практике используются логические элементы. Вот основные логические функции:
Отрицание
— инвертирует сигнал. На схемах обозначается так:
Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
На схеме:
Логическое И (логическое умножение, конъюнкция)
На схеме:
Последние два могут иметь отрицание на выходе (И-НЕ, ИЛИ-НЕ).
Значения их логических функций инвертируются, а на схеме выход рисуется кружочком.
В дальнейшем мы посмотрим, как логические элементы используются для построения логических схем, на которых основана работа всех автоматов и вычислительных систем, включая компьютерную технику.
начало
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.
В алгебре логики высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре логики введены три основные логические операции с высказываниями:
Сложение, Умножение, Отрицание
Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций.
Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.
Логические выражения могут быть простыми и сложными.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».
Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.
В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:
• НЕ (логическое отрицание, инверсия);
• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);
• И (логическое умножение, конъюнкция).
Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для
всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например:
таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции;
в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки:
4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции;
если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2
N
строк, так как существует 2
N
различных комбинаций возможных значений аргументов.
Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)
Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, not A, -А
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
A
не А
0 1
1 0
Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.
Приведем примеры отрицания.
Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания.
Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)
Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое
выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое бу¬дет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения:
А или В, А V В, A or B.
Результат операции ИЛИ опреде¬ляется следующей таблицей истинности:
A
B
А или B
0 0
0 0
1 1
1 0
1 1
1 1
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.
Приведем примеры логического сложения.
Кто хоть однажды использовал елочную гирлянду с параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех пор, пока цела хотя бы одна лампочка. Логическая операция ИЛИ чрезвычайно схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.
Операция И — логическое умножение (конъюнкция)
Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов). Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения:
А и В, A & B, A and B
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
A
B
А и B
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
1 1
Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.
Приведем примеры логического умножения.
Логическую операцию И можно сравнить с последовательным соединением лампочек в гирлянде. При наличии хотя бы одной неработающей лампочки электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает. Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.
Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А? В
Таблица истинности:
A
B
А ? B
0 0
1 0
1 1
1 0
0 1
1 1
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность,
равнозначность)
Применяемое обозначение:
А ? В, А В
Таблица истинности:
A
B
А?B
0 0
1 0
1 0
1 0
0 1
1 1
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Приведем примеры операции эквивалентности:
1. День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом;
2. Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий.
Приоритет логических операций
Действия в скобках
Инверсия
Конъюнкция ( & )
Дизъюнкция ( V )
Импликация ( ? )
Эквивалентность ( ? )
Основные аксиомы и законы алгебры логики
начало
Тема 4.2 Основы алгебры логики. Логические элементы
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Цифровой сигнал можно представить в виде временной диаграммы.
В природе дискретных сигналов не существует, поэтому их заменяют аналоговыми. Аналоговый сигнал не может перейти из 0 в 1 мгновенно, поэтому такой сигнал обладает фронтом и срезом.
Если изображать его упрощенно, то это выглядит так:
1 — низкий уровень сигнала,
2 — высокий уровень сигнала,
3 — нарастание сигнала (фронт),
4 — спад сигнала (срез).
Сигналы можно преобразовывать. Для этого на практике используются логические элементы. Вот основные логические функции:
Отрицание
— инвертирует сигнал. На схемах обозначается так:
Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
На схеме:
Логическое И (логическое умножение, конъюнкция)
На схеме:
Последние два могут иметь отрицание на выходе (И-НЕ, ИЛИ-НЕ).
Значения их логических функций инвертируются, а на схеме выход рисуется кружочком.
В дальнейшем мы посмотрим, как логические элементы используются для построения логических схем, на которых основана работа всех автоматов и вычислительных систем, включая компьютерную технику.
начало
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.
В алгебре логики высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре логики введены три основные логические операции с высказываниями:
Сложение, Умножение, Отрицание
Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций.
Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.
Логические выражения могут быть простыми и сложными.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».
Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.
В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:
• НЕ (логическое отрицание, инверсия);
• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);
• И (логическое умножение, конъюнкция).
Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для
всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например:
таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции;
в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки:
4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции;
если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2
N
строк, так как существует 2
N
различных комбинаций возможных значений аргументов.
Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)
Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:
• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, not A, -А
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
A
не А
0 1
1 0
Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.
Приведем примеры отрицания.
Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания.
Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)
Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое
Применяемые обозначения:
А или В, А V В, A or B.
Результат операции ИЛИ опреде¬ляется следующей таблицей истинности:
A
B
А или B
0 0
0 0
1 1
1 0
1 1
1 1
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.
Приведем примеры логического сложения.
Кто хоть однажды использовал елочную гирлянду с параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех пор, пока цела хотя бы одна лампочка. Логическая операция ИЛИ чрезвычайно схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.
Операция И — логическое умножение (конъюнкция)
Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов). Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения:
А и В, A & B, A and B
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
A
B
А и B
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
1 1
Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.
Приведем примеры логического умножения.
Логическую операцию И можно сравнить с последовательным соединением лампочек в гирлянде. При наличии хотя бы одной неработающей лампочки электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает. Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.
Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А? В
Таблица истинности:
A
B
А ? B
0 0
1 0
1 1
1 0
0 1
1 1
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность,
равнозначность)
Применяемое обозначение:
А ? В, А В
Таблица истинности:
A
B
А?B
0 0
1 0
1 0
1 0
0 1
1 1
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Приведем примеры операции эквивалентности:
1. День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом;
2. Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий.
Приоритет логических операций
Действия в скобках
Инверсия
Конъюнкция ( & )
Дизъюнкция ( V )
Импликация ( ? )
Эквивалентность ( ? )
Основные аксиомы и законы алгебры логики
начало