Сплайн-функцииПусть на отрезке задано разбиение , в узлах которого известны значения достаточно гладкой функции : , . Узлы разбиения делят отрезок на отрезков , ,..., .Сплайном называется составная функция , которая вместе с производными нескольких порядков непрерывна на всем отрезке , а на каждом частичном отрезке в отдельности является составляющей функцией Рассмотрим частный случай, когда функции являются алгебраическими многочленами вида где — коэффициенты, определяемые для каждого частичного отрезка.Максимальная по всем частичным отрезкам степень
многочлена называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на производной — дефектом сплайна.
Линейный сплайн
Сплайн состоит из линейных многочленов вида
(7.10)
Параметры сплайна , , , определим из условия непрерывности на и требования совпадения значений сплайна с функцией в узловых точках
(7.11)
(7.12)
Обозначим . Тогда для каждого из многочленов можно записать
и для определения коэффициентов линейного сплайна (7.10) получим уравнения ПримерДля значений , , , построим линейный сплайн.Коэффициенты сплайна имеют следующие значения На рис. 7.2 в виде точек приведены заданные значения, линейный сплайн (ломаная линия), а также для сравнения график функции , значения которой являются исходными данными для построения сплайна.
Рис. 7.2
Параболический сплайнСплайн состоит из парабол, то есть многочлен имеет вид Для определения коэффициентов сплайна дополнительно к условиям (7.11), (7.12) потребуем непрерывности первой производной сплайна на интервале , то есть
(7.13)
Обозначив
, , и, учитывая, что
в соответствии с формулами (7.11), (7.12) и (7.13) получим
(7.14)
(7.15)
(7.16)
Тогда коэффициенты , , определяются согласно (7.14), а (7.15) можно записать в виде
(7.17)
Если теперь запишем выражения для и в виде (7.17) и подставим их в (7.16), то получим
(7.18)
где Таким образом, уравнения (7.14), (7.17) и (7.18) образуют систему из уравнений для определения
коэффициентов сплайна. Недостающее уравнение получается из дополнительного условия, которое накладывается на значение производной сплайна на конце интервала , в виде
(7.19)
Если подставить в (7.19) выражение для из (7.17), то формулу (7.19) можно переписать в виде где Тогда
(7.20)
(7.21)
Таким образом, параметры параболического сплайна вычисляются в следующем порядке: сначала в обратном порядке вычисляются коэффициенты , , по (7.20), (7.21), затем , , по (7.16)или (7.17), а затем , , по (7.14).ПримерДля значений ,
производной — дефектом сплайна.
состоит из линейных многочленов вида
, и, учитывая, что 
